【精品】基于有限元和邊界元方法的軸類感應加熱分析及數(shù)值模擬.doc

【精品】基于有限元和邊界元方法的軸類感應加熱分析及數(shù)值模擬 天津大學碩士學位論文基于有限元和邊界元方法的軸類感應加熱分析及數(shù)值模擬姓名張媛媛申請學位級別碩士專業(yè)控制理論與控制工程指導教師周躍慶xx1201中文摘要感應加熱具有加熱速度快、物料內部發(fā)熱效率高、加熱均勻，且具有產品質量好、幾乎無污染、可控性好及易于實現(xiàn)生產自動化等一系列優(yōu)點，因此近年來得到了迅速發(fā)展。 隨著對其工藝與精度要求的不斷提高，對感應加熱進行數(shù)值模擬就顯得更加重要。 隨著有限元技術的高速發(fā)展，很多研究人員開始了基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬研究，并已經(jīng)取得了一定的成果，但是也存在諸如計算量大，需人為設定邊界的不足；邊界元方法是從有限元方法發(fā)展而來的一種比較新的數(shù)值模擬方法，在處理電磁場仿真計算中有著獨特的優(yōu)勢，如可以降低求解問題的維數(shù)、比較簡單地處理無窮遠邊界條件等，為感應加熱的數(shù)值模擬技術開辟了新的途徑。 本文以電磁場和溫度場的基本原理為基礎，分別建立軸對稱工件的有限元和邊界元分析模型，并運用通用有限元分析軟件ANSYS實現(xiàn)了感應加熱中電磁一熱耦合場的有限元仿真計算，運用MATLAB實現(xiàn)了感應加熱中電磁場的邊界元仿真計算。 首先，給出了軸類工件感應加熱的電磁一熱耦合場有限元模型，在電磁場建模過程中，重點介紹了矢量磁勢與標量電勢法數(shù)學模型的運用；在溫度場建模過程中，主要分析了非線性瞬態(tài)溫度場的控制方程。 最后給出了電磁場和溫度場耦合計算的原理和流程。 其次，給出了軸類工件感應加熱的電磁場邊界元模型，并利用一種表面電流的近似方法，用拉普拉斯方程的基本解代替亥姆霍茲方程基本解用于感應加熱電磁場的邊界積分方程，降低了基本解在邊界上的奇異性，避免了細分邊界及其所帶來的大計算量。 最后，利用有限元分析軟件ANSYS，對諧性電磁場和瞬態(tài)溫度場進行耦合計算，得到了軸類工件在相同載荷不同加熱時間的溫度分布；利用MATLAB編程實現(xiàn)了諧性電磁場的邊界元計算，得到了工件在加熱過程中電磁場的分布。 試驗結果與理論分析和實際測量結果基本一致。 關鍵詞感應加熱；有限元法；邊界元法電磁場；溫度場ABSTRACTInduction heating is fast，efficient andwell-proportioned，and itpossesses manyadvantagessuch ashigh-grade production，no pollution，good controllabilityand easytobe automatized，SO itdeveloped veryfast in the recentyearsAs therequiredtechniques andprecision forinduction heatingget higherand hi【gher,the numericalsimulation of itbees moreand moreimportantAs thefast developmentof finiteelementmethod(FEM)，many researchersbegin todo thenumerical simulationby it,and manyachievements havebeenmade，but italso hassome disadvantagessuch asvastputationandintroducingarbitrary boundaries；Boundary elementmethod(BEM)is anew numericalsimulation methoddeveloped fromFEMit hasuniqueadvantages insimulating electromagic field，reducing thedimension of theproblem，dealing with the infiniteboundary simplyand SOon，blazing anew wayinthe numericalsimulationofinduction heatingIn thisthesis，the2D axisymmetricFEMand BEMmodel isbuilt basedon thefoundational principlesofelectromagicfield and thermal field，theelectromagicthermal couplingfield ofinductionheating issimulated withFEM byuniversal FEMsoftware ANSYSand theelectromagic field of the induction heatingissimulated withBEM byMATLABFirstly,the FEMmodel ispresented forsolving the coupling fieldsofaxisymmetric billetin inductionheating processThe choiceofthepotential isemphasizedin the electromagic fieldmodel，and thecontrol equationof nonlineartransientthermal field is analyzedinthe thermal fieldmodelThe principleand theputationflow ofthe couplingof electromagic and thermal fields arealsopresentedSecondly,the BEMmodel ispresented forsolving the electromagicfieldofaxisymmetric billetininductionheatingprocess，and withthe useof asurface currentapproximation，the Greenfunction ofHelmholtzS equationis replacedby theGreenfunction ofLaplaceS equationwhich hasa weaksingularity onthe boundary,SO thevastputation duetO shortelements onthe boundaryis avoidedIn theend，the FEManalysis ofthecouplingoftheelectromagicandthermalfields iscarried outusing ANSYS，thethermaldistribution ofthe billetat differentheatingtime is obtainedThe BEManalysis oftheelectromagicfieldiscarried outusingMATLAB，theelectromagicdistribution inthe heatingprocessisobtainedThe simulationresults ageshown tobe consistentwiththetest resultsandthepracticalmeasure resultsKEYWORDSinduction heating；finite elementmethod；boundary elementmethod；electromagicfield；thermalfield獨創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導下進行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特另UDii以標注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得鑫奎盤堂或其他教育機構的學位或證書而使用過的材料。 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 學位論文作者簽名徽罐簽字日期工1年71日學位論文版權使用授權書本學位論文作者完全了解鑫鲞盤塋有關保留、使用學位論文的規(guī)定。 特授權基盜盤堂可以將學位論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，并采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編以供查閱和借閱。 同意學校向國家有關部門或機構送交論文的復印件和磁盤。 (保密的學位論文在解密后適用本授權說明)學位論文作者簽名鍘妣菱導師簽名廠司紗锍簽字日期蛔-7年月日簽字日期哆年月2日第一章緒論11感應加熱的原理和優(yōu)點第一章緒論根據(jù)初級線圈中電流的變化，可以在鄰近的閉合次級線圈中產生感應電流的現(xiàn)象，法拉第(Michael faraday)創(chuàng)立了感應加熱的概念。 對金屬工件的感應加熱，其工作原理是在被加熱金屬工件外繞上一組感應線圈。 當線圈中流過某一頻率的交變電流時，就會產生相同頻率的交變磁通，交變磁通又在金屬工件中產生感應電勢，從而產生感應電流(渦流)，產生熱量，實現(xiàn)對工件的加熱。 感應加熱方式是通過感應線圈把電能傳遞給被加熱的金屬工件，然后電能再在金屬工件內部轉化為熱能，感應線圈與金屬工件并非直接接觸，能量是通過電磁感應傳遞的，因而，我們把這種加熱方式稱為感應加熱。 感應加熱技術之所以得到廣泛應用，是因為感應加熱較之煤、石油產品、煤氣等為燃料的加熱方式具有如下優(yōu)點? (1)節(jié)約能源消耗采用煤、石油產品或煤氣加熱，不僅公害嚴重，而且由于廢熱往往未能回收利用，其熱效率遠遠低于感應加熱。 (2)加熱速度快、效率高一般的爐內加熱，靠三種傳熱方式來加熱零件或毛坯，即輻射、對流及傳導，都屬于間接加熱，加熱速度緩慢。 而感應加熱靠物體內部所產生的渦流直接加熱，因而具有加熱速度快、加熱效率高的顯著特點，這是一般間接加熱難以達到的。 (3)加熱質量高對于爐內間接加熱，由于加熱速度慢，加熱時間長，導致零件或毛坯表面氧化脫炭嚴重。 倘若加熱過快，表面和內部溫差過大，可能產生嚴重的熱應力，導致零件變形甚至開裂；而加熱時間過長，則可能導致晶粒嚴重長大(指鍛造前加熱)，給隨后的熱處理帶來困難，甚至造成不良后果。 上述問題，有些是難以克服的，而感應加熱的時間短，加熱過程容易控制，加熱質量也能得到顯著改善。 (4)沒有公害一般爐內加熱均不能避免地產生大量煙塵、廢氣及廢熱，污染環(huán)境與惡化工第一章緒論作條件，而感應加熱屬于無公害加熱，不產生任何廢氣。 (5)易于實現(xiàn)機械化和自動化一般情況下，對于爐內加熱要實現(xiàn)機械化和自動化比較困難，而感應加熱卻易于實現(xiàn)。 并且只有實現(xiàn)機械化和自動化才能充分發(fā)揮這種加熱地高效特點。 隨著自動控制技術飛躍發(fā)展，自動化儀表不斷更新，感應加熱過程的自動化程度越來越高。 (6)操作簡便，安全可靠采用一般燃料爐加熱時，升溫和降溫過程很長，浪費大量熱能，而感應加熱起動和停止所需的輔助時間短，且操作簡單，安全可靠。 12感應加熱技術的發(fā)展及應用乜】十九世紀七十年代，F(xiàn)oucault和Heaviside提出了有關渦流和感應加熱的理論，使感應加熱的工程應用成為可能，隨后在這一方面展開了一系列的研究和討論。 雖然當時所做的工作大多屬于理論研究的范疇，卻為后來感應加熱的實際應用與工程設計打下了基礎。 1890年瑞典人發(fā)明了第一臺感應熔煉爐一開槽式有心爐，但由于受點動力的作用，波動太大，其容量受到了限制，同時阻抗變化也太大，致使功率不穩(wěn)定，所以現(xiàn)在已經(jīng)被淘汰了。 1916年美國人制造了閉槽式有心爐，用于有色金屬的熔煉，打下了有心爐結構的基礎。 1921年無心爐在美國出現(xiàn)，采用火花式中頻電源。 中頻機組電源、晶閘管變頻電源、高頻電源和倍頻電源也因不同工藝的要求而相繼出現(xiàn)。 十九世紀末期感應加熱開始應用于表面熱處理。 感應電熱技術已廣泛應用于各個領域，尤其在冶金、機械制造、輕工化學、實驗研究以及尖端技術領域。 例如，在機械制造與冶金工業(yè)中，產品或零件的生產過程一般需要加熱金屬、合金的熔化與熔煉，粉末冶金制品的燒結，零件或毛坯的加熱以及零件的感應熱處理等。 作為感應加熱設備來說，可分為工頻設備、中頻設備以及高頻設備，高頻設備除用于金屬的感應加熱外，還可用于非金屬電介質的電場加熱。 13數(shù)值模擬方法的發(fā)展與現(xiàn)狀131數(shù)值模擬方法的分類及發(fā)展 (1)有限差分法(FDM)第一章緒論FDM以離散數(shù)學為基礎，其實質是把研究物體從時間、空間上分割成許多小單元，對這些單元用差分方程式近似代替微分方程式，設定初始條件和邊界條件，逐個計算各個單元。 因其算法公式容易推導，易于程序實現(xiàn)，網(wǎng)格剖分算法簡單，且計算費用低，得到廣泛應用。 然而有限差分法必須對所有的邊界條件和交界條件進行算法處理，特別是對復雜的邊界和場域內各種介質的處理有一定的困難，也難于實現(xiàn)自動化處理。 (2)積分方程法(IEM)IEM的基礎是麥克斯韋方程的積分形式，通過對場中源區(qū)的離散，便可以獲得對應的代數(shù)方程并數(shù)值求解。 但是，對于非線性問題，其最終形成的代數(shù)方程具有非對稱性、非稀疏性的系數(shù)矩陣，特別是該矩陣中各元素是由二重積分或三重積分而獲得的，具有超越函數(shù)或橢圓函數(shù)形式，計算量較大。 (3)有限元法(FEM)啼1FEM是目前工程技術領域中實用性最強，應用最為廣泛的數(shù)值模擬方法。 它的基本思路是將求解區(qū)域離散為有限個按一定方式相互聯(lián)結在一起的單元的組合體，通過構造插值函數(shù)，根據(jù)變分原理或加權余量法，建立有限元方程。 由于有限元法節(jié)點配置的方式任意性，對于形狀復雜的形體可以使邊界節(jié)點完全落在區(qū)域邊界上，使邊界有較好的逼近。 經(jīng)過離散化得到與微分方程初值問題等價的積分表達式。 與其它數(shù)值方法相比，F(xiàn)EM的突出優(yōu)點是能夠求解具有復雜的幾何邊界條件、幾何形狀和不均勻材料問題，所以更適合用于對鑄造系統(tǒng)等各種復雜問題進行分析。 FEM是1943年由Courant提出來，但直到六十年代，隨著電子數(shù)值計算機技術的發(fā)展，F(xiàn)EM的發(fā)展速度才顯著加快。 到七十年代中期，全世界已有300多個通用有限元程序，其中較著名的有ADINA,NASTRAN，SAP等，但多數(shù)只是計算程序，沒有前后處理功能。 到了八十年代，隨著計算機技術的迅速發(fā)展，有限元程序吸取了計算機圖形學、數(shù)據(jù)庫技術等方面的成果，已由單一的計算程序發(fā)展為一門綜合性技術一一有限元軟件技術，并成為工程數(shù)值分析的有力工具。 近幾年，通用有限元軟件有了突飛猛進的發(fā)展，國外已出現(xiàn)了許多大型的融合計算數(shù)學、力學、計算圖形學等最新成果的功能齊全的通用有限元軟件，如NSTRAN、ANSYS、PATRAN等。 感應加熱過程電磁一熱耦合場數(shù)值模擬技術的研究發(fā)展緩慢，專用有限元軟件很少。 由于有限元商業(yè)軟件功能不斷擴大，前、后處理技術逐漸完善，使用起來更加方便，并且多采用開放式結構，有很大的開發(fā)潛力，所以感應加熱的數(shù)值模擬計算主要是利用通用的有限元商業(yè)軟件，本文的有限元法數(shù)值模擬采用大型通用有限元軟件ANSYS來完成。 第一章緒論 (4)邊界元法(BEM)邊界元法是近十余年來發(fā)展形成的一種數(shù)值計算方法。 該方法的工程應用起始于彈性力學，進而應用于流體力學、熱力學、電磁工程、土木工程等諸多領域，并已從線性、靜態(tài)問題沿拓到非線性、時變問題的研究范疇。 邊界元法也是以積分方程為基礎的。 它主要采用分部積分如格林定理等，在一定條件下，把該積分方程轉化為關于邊界的積分方程，并據(jù)此進行離散，獲得相應的代數(shù)方程，求解這些變量的具體數(shù)值，然后再求出場域中變量的數(shù)值。 它的特點是數(shù)值方法和解析方法相結合，盡管增加了數(shù)學處理過程的復雜性，但起到了降維的作用。 邊界元方法的主要特點是【4l1)降低問題求解的空間維數(shù)。 本方法將給定空間區(qū)域的邊值問題通過包圍該區(qū)域邊界面上的邊界積分方程來表示，從而降低了問題求解的空間維數(shù)。 2)方程組階數(shù)降低，輸入數(shù)據(jù)量減少。 如前所述，待求量將僅限于邊界節(jié)點，這不僅簡化了問題的前處理過程，而且大幅度降低了待求離散方程組的階數(shù)。 3)計算精度高。 本方法直接求解的是邊界廣義場源的分布。 根據(jù)不同的問題，廣義場源可以是位勢、場源或等效場源。 場域中任一點的場量將通過線性疊加各離散的廣義場源的作用而求得，無須再經(jīng)微分運算。 此外，由于只對邊界離散，離散化誤差僅僅邊界。 所以邊界元法較之有限元法，可望有較高的計算精度。 4)易于處理開域問題。 本方法只對有限場域或無限場域的有限邊界進行離散化處理并求解，因此特別適合于開域問題。 132數(shù)值模擬方法的研究現(xiàn)狀及熱點有限元法的主要缺點是對于形狀和分布復雜的三維問題，由于其變量多和剖分要求細往往因計算機內存而受限制，特別是包含開域自由空間的電磁計算問題，其建模及求解比較困難。 因此綜合有限元法和邊界元法優(yōu)點的混合法的研究正深入展開。 混合法在包含非線性材料介質和復雜區(qū)域邊界及交界的場域內采用有限元解法，在其余區(qū)域，特別如開域部分采用邊界元法求解。 克服了三維場問題求解要求計算機內存量大、消耗機時長等難點。 其副作用是使得所求解的代數(shù)方程的系數(shù)矩陣失去了對稱性和稀疏性等特點。 當前在數(shù)值模擬中的幾個研究熱點是耦合問題。 在具體的應用分析中，不同物理現(xiàn)象具有相同或相似的變化規(guī)律，既具有相同或相似的邊值問題，又為在對其進行統(tǒng)一考慮時帶來極大的方第一章緒論便。 對于不同物理場可以應用相似的處理方法，從而簡化分析過程。 【5】【6】2)自適應網(wǎng)格劃分【71。 對電磁數(shù)值計算方法的誤差分析，具有較高的實用價值，特別適合于對于數(shù)值計算不太熟悉的研究和設計人員。 現(xiàn)在很多商用化的有限元分析軟件都集成了自適應網(wǎng)格劃分技術。 使用時可以容易地得到合理的網(wǎng)格劃分，為進一步的解算打下基礎。 3三維場的分析中規(guī)范的研究。 在三維場情況下，不僅有解的唯一性問題，還需要選取適當?shù)囊?guī)范加以限制，針對不同的介質區(qū)域采用不同的場量表征形式，可以達到減少數(shù)個數(shù)的目的，相應產生了各種各樣的計算方法。 嘲133感應加熱數(shù)值模擬技術的概述感應加熱數(shù)值模擬的研究對象是感應線圈與被加熱的工件組成的系統(tǒng)，通過各種數(shù)值模擬方法計算出當線圈中通以不同頻率的電流時在工件周圍空間所激發(fā)的電磁場，進而得到工件中產生的渦流場的分布和強度，然后將渦流產生的焦耳熱作為溫度場的熱源，再對溫度場進行計算。 在分析中一般對電磁場進行諧性分析，對溫度場進行瞬態(tài)分析。 感應加熱的計算方法在初期是基于電路和電磁場定律以及變壓器的分析原理，計算模型過于簡化，計算結果近似程度很低，尤其對于形狀復雜的感應加熱器，難以應用經(jīng)典的電磁理論進行分析。 為了設計感應加熱器和確定重要的積分參數(shù)，只能進行試驗研究，在材料和時間上造成了巨大的浪費。 雖然通過試驗可以確定電源提供的總功率、電氣效率和功率因數(shù)等參數(shù)，但無法獲得渦流與溫度的分布，對于完全了解感應加熱的過程是不充分的，因而難以對感應加熱裝置進行優(yōu)化設計。 隨著現(xiàn)代數(shù)值計算方法的發(fā)展，感應加熱的應用研究達到了一個新的階段，各種計算方法應用于感應加熱的研究。 文獻91l】采用邊界元法，文獻【12】采用有限差分法，文獻【13】采用積分方程法，但絕大多數(shù)文獻采用有限元法，也有文獻14】用邊界元法與有限元法相結合的方法。 近年來，由于有限元商業(yè)軟件的空前發(fā)展，大量功能強大的通用有限元軟件的出現(xiàn)使得利用有限元方法對感應加熱過程進行數(shù)值模擬變得十分便利，加之有限元方法在處理多重物理場相耦合問題中的優(yōu)勢，很多研究人員選擇利用有限元方法對感應加熱負載的電磁一熱耦合場進行數(shù)值模擬，來對生產實踐進行預測。 但是有限元方法的原理決定了它不能達到很高的精度，而且由于計算量大需耗費大量機時。 由于感應加熱的集膚效應的存在，利用有限有進行數(shù)值模擬時在集膚深度層需要劃分至少三層網(wǎng)格，才能保證計算的精度。 所以在此過程中有限元方法的缺點也表現(xiàn)的比較明顯。 第一章緒論邊界元方法作為一種新興的數(shù)值計算方法，具有易于處理開域問題，準備工作量小、解析時間短，計算精度高等特點。 非常適合處理渦流問題，為感應加熱的數(shù)值模擬提供了一條新的途徑。 國外的一些學者已經(jīng)在這方面做了一定的工作，但國內的文獻中還沒有過這方面的記載。 而且目前專門用于邊界元計算的軟件非常的少，而且很不成熟。 這就使得邊界元法在感應加熱數(shù)值模擬中的應用受到了一定的限制。 用有限元法和邊界元法相耦合的方法來對感應加熱過程進行數(shù)值模擬也是一種很好的嘗試，它可以結合有限元方法和邊界元方法的優(yōu)點，在保證計算精度的條件下，加快計算速度。 14課題研究的意義和所做的工作感應加熱本身是一個復雜的物理過程，它牽涉電、磁、熱、相變、力學方面的綜合知識，至今仍無一個完整的耦合理論可以用數(shù)學方法來精確耦合該物理過程。 計算機技術的快速發(fā)展使得通過計算機數(shù)值模擬來描述感應加熱過程成為可能，目前已有許多科研工作者將精力投入到這方面的工作中來。 由于有限元方法和邊界元方法近年來在理論上的日趨完善和商業(yè)軟件的迅猛發(fā)展，目前對感應加熱的數(shù)值模擬主要采用這兩種方法來實現(xiàn)。 應用有限元方法來進行的數(shù)值模擬，目前國內對于這一課題的相關研究多數(shù)還僅限于單一場中負荷狀態(tài)的模擬，不能充分揭示感應加熱中多種物理場的相互作用。 在一些考慮到電磁場和溫度場耦合作用的研究中，往往假定加熱時，材料的各向物理參數(shù)為常值，這與實際情況有很大差異，尤其是對于鐵磁材料的磁導率，在溫度達到居里點時，將變?yōu)檎婵盏拇艑?，對加熱效果影響很大，因此計算結果必然會有較大的誤差。 由于邊界元方法在電磁場的數(shù)值計算方面有著很大的優(yōu)勢，可以使計算大大簡化，而且沒有引入人為邊界，計算的精度也有希望大大改善，所以運用邊界元的方法對感應加熱過程進行數(shù)值模擬是一個重要課題。 本課題分別運用有限元和邊界元兩種方法對感應加熱過程進行數(shù)值模擬。 在基于有限元方法的數(shù)值模擬中，側重于諧性電磁場與瞬態(tài)溫度場的耦合研究，建立相關分析模型，并用大型通用有限元軟件ANSYS15l進行仿真計算，得到軸對稱工件在相同載荷不同加熱時間的溫度分布；在基于邊界元方法的數(shù)值模擬中，側重利用邊界元方法計算感應加熱中諧性電磁場的分布情況，這部分分析采用MATLABtM】編程實現(xiàn)。 仿真結果表明，利用有限元法和邊界元法得到的實驗結果與理論分析和實際測量結果基本一致，為制定感應加熱優(yōu)化工藝奠定了基礎，-第一章緒論使得提高加工精度成為可能。 本論文所做工作的主要創(chuàng)新之處在于，在基于有限元方法的分析中考慮了感應加熱問題中電磁場和溫度場的相互作用，利用耦合的計算流程使得每一步計算都能考慮到負載各項物理參數(shù)隨溫度的變化，使得仿真結果更加接近真實值；在基于邊界元方法的分析中利用一種表面電流的近似方法，用拉普拉斯方程的基本解代替亥姆霍茲方程基本解用于感應加熱電磁場的邊界積分方程，降低了基本解在邊界上的奇異性，避免了細分邊界所帶來的大計算量，在保證計算精度的前提下，降低了計算量，節(jié)約了機時。 第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬21有限元方法概述有限單元的思想最早由Courant于1943年提出。 五十年代初期，由于工程分析的需要，有限元在復雜的航空結構分析中最先得到應用，而有限元法(FiniteElement Method)這個名稱則由Clough于1960年在其著作中首先提出。 四十多年來，以變分原理為基礎建立起來的有限元法。 因其理論依據(jù)的普遍性，不僅廣泛地被應用于各種結構工程，而且作為一種聲譽很高的數(shù)值分析方法已被普遍推廣并成功地用來解決其它工程領域中的問題，例如熱傳導、滲流、流體力學、空氣動力學、土壤力學、機械零件強度分析、電磁場工程問題等等。 1965年，Winslow首先將有限元法應用于電氣工程問題，其后，1969年Silvester將有限元法推廣應用于時諧電磁場問題。 發(fā)展至今，對于電氣工程領域，有限元法已經(jīng)成為各類電磁場、電磁波工程問題定量分析與優(yōu)化設計的主導數(shù)值計算方法，并且無一例外地是構成各種先進、實用計算軟件包的基礎。 總之，有限元法在眾多的數(shù)值計算方法中已經(jīng)確立其主導地位，它的發(fā)展與應用前景令人矚目。 211有限元方法的特點有限元方法將整個區(qū)域分割成很多小的子區(qū)域，并構造定義在子區(qū)域上的簡單嘗試函數(shù)，將整個區(qū)域中各個子區(qū)域所對應的嘗試函數(shù)線性組合起來，便形成了近似解的表達式。 大大簡化了各個矩陣的計算。 有限元法的特點 (1)離散化過程保持了明顯的物理意義。 這是因為，變分原理描述了支配物理現(xiàn)象的物理學中的最小作用原理(如力學中的最小勢能原理、靜電學中的湯姆遜定理等)。 因此，基于問題固有的物理特性而予以離散化處理，列出計算公式，即可保證方法的正確性、數(shù)值解的存在與穩(wěn)定性等前提要素。 (2)優(yōu)異的解題能力。 與其它數(shù)值計算方法相比較，有限元法在適應場域邊界的幾何形狀以及媒質物理性質變異情況復雜的問題求解上，有突出的優(yōu)點。 換句話說，方法應用不受上述兩個方面復雜程度的限制，而且如前所述，不同媒質第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬分界面上的邊界條件是自動滿足的；第 二、三類邊界條件不必作單獨的處理。 此外，離散點配置比較隨意，并且取決于有限單元剖分密度和單元插值函數(shù)的選取，可以獲得令人滿意的數(shù)值計算精度。 (3)可方便地編寫通用計算程序，使之構成模塊化的子程序集合，適應計算功能延拓的需要，從而構成各種高效的計算軟件包。 (4)從數(shù)學理論意義上講，有限元法作為應用數(shù)學的一個重要分支。 它使微分方程的解法與理論面目一新，推動了泛函分析與計算方法的發(fā)展。 212有限元方法的解算步驟根據(jù)實際問題的求解需要可以采用一維，二維或三維有限元方法，求解得到的結果是節(jié)點上的勢函數(shù)的值，對于單元上的值可以通過插值方法求得，一般采用一階插值，如果想要提高計算的精度，可以采用高階插值法，但同時會加大計算量。 本課題分析的模型為二維軸對稱模型，其有限元解法為列出區(qū)域中的偏微分方程和邊界條件，用三角形或四邊形單元將求解區(qū)域離散化。 以三角形單元為例，對于其中任意單元，其節(jié)點f的形函數(shù)為蛘=口?+群x+rTy其中P表示單元，f表示單元中的節(jié)點由有限元中形函數(shù)的定義。 flij210，七代入中各節(jié)點坐標(，乃)(xj，Y，)(，Y。 )得1=a；+p；xi+yyi0=a+p；xj+yyj0=Q+8；Xk+yjyk解該線性方程組，可求得口；，從而確定形函數(shù)曠班掣肛等第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬exkxi2專產其中s=圭E主簍l為單元的面積，其中L-，七的順序為逆時針。 同理可確定，七兩點的形函數(shù)少；，孵，將相應坐標輪換即可。 擴=母iV；+幣jl；，+牽kl；，近似解為歹=。 =辦y；+力yj+級y；】對于帕松方程V2矽=一q邊界條件糾rl=一g型Onr2=ol2利用變分法，對于適當?shù)姆汉箨P于節(jié)點的導數(shù)，并令其為0，可得一組線性代數(shù)方程；或采用迦遼金加權余數(shù)法，取加權函數(shù)為形函數(shù)，并令加權余數(shù)為0，交換積分與求和的順序，也可以得到一組線性代數(shù)方程組。 得整體矩陣方程【K【糾=【廠】其中K】為甩，階系數(shù)矩陣；(71為區(qū)域中的節(jié)點數(shù))矽為刀l階節(jié)點勢函數(shù)矩陣；【門為玎xl階激勵矩陣。 系數(shù)矩陣和激勵矩陣的各元素依據(jù)各子單元逐一計算，即整體矩陣的每個元素都由每個單元的貢獻疊加而成。 KF=K；e=-I第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬兀=鬈P=I其中為整個區(qū)域劃分的單元數(shù)。 由節(jié)點f，J，k組成的任意單元對整體系數(shù)矩陣的貢獻為剖篙乏篆l【群贍磁j其中牛v吖Vv；m=(所群w枷咖=墜堂盟學型n|Q。 玲虻掣矩陣元素具有對稱性K口=K膏嚴圈f?=水弧=Iq(a；+俄x+y；y)dxdy簡化表示為f。 =qjS擴=母；+母j飛s+咖t噸其中諺，辦，九為單元上各點電勢，一。 ，甲。 ，。 為各節(jié)點形函數(shù)。 飛ej=a+或X+yy第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬有限元法解算步驟 (1)確定實際問題所定義的區(qū)域、激勵和邊界條件，根據(jù)具體情況決定問題的描述方程。 注意利用求解區(qū)域和激勵的對稱性，以縮小計算區(qū)域，減少計算量提高計算的精度。 (2)對整個計算區(qū)域離散化，即將區(qū)域用節(jié)點和有限元表示，節(jié)點是有限元的頂點，有限元互相不重疊，并且覆蓋整個計算區(qū)域。 每個單元都對應相應的激勵和材料特性。 (3)對每個有限元依次進行局部處理，即根據(jù)特殊的形函數(shù)求得某個有限元的局部激勵矩陣和局部系數(shù)矩陣。 (4)將某個單元的局部激勵矩陣和局部系數(shù)矩陣的各個元素相加到整體激勵矩陣和整體系數(shù)矩陣中，從而形成求解節(jié)點勢函數(shù)值的矩陣方程。 把由邊界條件確定的節(jié)點勢函數(shù)代入矩陣方程，可以消減方程的階數(shù)，減少計算量。 (5)對形成的矩陣方程應用解線性代數(shù)方程組的方法加以求解，便得到節(jié)點的勢函數(shù)值。 在整個區(qū)域上的分布函數(shù)可以用插值的方法求得。 (6)利用有限元法求得的勢函數(shù)求解其他關心的量，進行解后處理。 22電磁場的有限元模型本節(jié)將闡述有限元法在時變電磁場中的應用。 對于工程電磁場問題，當所分析的物理想象必須考慮電場或磁場隨時間變化的特征時，例如大型電機端部電磁場、變壓器漏磁場以及其內部電屏蔽、金屬構件中的渦流場、渦流損耗；同步機異步起動時阻尼條中的電流分布；波導中電磁波的傳播、截止頻率與波長分析；感應加熱、電磁屏蔽等等物理現(xiàn)象，均應從時變場著手進行分析研究。 如133中已經(jīng)指出，感應加熱負載部分受到高頻正弦電流激勵所產生的電磁場可歸結在時變電磁場的范疇內，因此，本節(jié)即在這一范疇內闡述有限元法的應用。 22I渦流場的有限元分析m1要研究渦流場的有限元模型，我們需要先說明電磁場的基本方程，電磁場是一種特殊的物質形態(tài)，麥克斯韋方程組描述了電磁場的宏觀性質。 作為回顧，下面列出靜止媒質中麥克斯韋方程組的微分形式(式(21)一(2_4)和積分形式(式(25)一(28)第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬安培定律V萬=了+0_2西_0法拉第電磁感應定律V否=一警高斯磁通定律VB=0高斯電通定律VD=P于孕歷=，s-5石+，s百01)石于，否d7=一，。 警癡叮。 歷五=一JyPav=q于s否z=0其中，艿F罾B=ItH在電源以外區(qū)域d=oEE，D，B，H，d分別為電場強度、強度、電流密度；P、q、占、(2-1)(2-9)(2-10)(2-11)電位移、磁感應強度(或稱磁通密度)、磁場盯分別表示電荷密度、電荷量、介電常數(shù)、磁導率和電導率。 在式(25)和式(26)中，1為閉合曲線，S為以f為邊界的曲面；在式(27)和式(28)9，S為封閉曲面，V為S所包圍的體積。 上述方程適用于一般的時變電磁場。 需要指出的是，在電磁性能關系式(29)一式(211)中，材料的性質均設為各向同性，因此，占、仃均為標量。 電磁場理論有兩個分支。 一個是高頻電磁場，研究從無線電頻率到光頻率的電磁傳播問題，相應于這一分支的場方程就是上述的式(22)一式(2-8)。 另一分支是似穩(wěn)電磁場。 似穩(wěn)電磁場研究頻率較低、滿足似穩(wěn)條件的問題。 在似穩(wěn)場中，場源隨時間的變化足夠慢，使相應電磁波的波長大大地大于所研究區(qū)域的幾何尺寸，因而場點(亦即觀察點)的場強幾乎瞬時地跟隨場源地變化而變化，不像高頻電磁場中場點場強的變化滯后于場源的變化。 電工設備中的電磁場多屬于似穩(wěn)電磁場。 對于似穩(wěn)電磁場，麥克斯韋方程式(21)和式(25)9的位移電流密度與傳、J、，、，、，、，234)6D8-5“_，i_22222第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬導電流密度相比較可以忽略不計，即半了。 換句話說，在研究似穩(wěn)電磁場問0l題時，只考慮磁場變化所產生的電場(由方程(12)，不考慮電場變化所產生的磁場。 求解區(qū)域中含有導電材料的似穩(wěn)電磁場又稱為渦流場。 渦流場分析的理論與方法正是本節(jié)所關注的問題。 圖21典型渦流問題中的區(qū)域，邊界，交界典型的渦流問題可用圖21表示，其中Q為渦流區(qū)，含有導電媒質，但不含源電流；Q，為非渦流區(qū)，其中包含給定的源電流L，為Q，和Q，的內部分界面。 整個區(qū)域的邊界可分為兩種一種描述了法向的磁通密度LB紛110；另一種給定切向的磁場強度rH刀110。 根據(jù)上面的說明，由麥克斯韋方程組，在整個區(qū)域內用場矢量云、豆、豆表示的渦流場控制方程與邊界條件為源電流渦流區(qū)域Q，中VH一仃豆=0v一E+塑o西VB110非渦流區(qū)域Q中VxH=了，VB=0邊界LB刀=0邊界oHr110(212)(213)第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬交界r12口l啊+B2刀2=0Hl X刀l+2X刀220方程組能唯一確定所研究區(qū)域中的B和E。 但是由于在解決實際問題時，直接求解麥克斯韋方程組往往并不方便，通常需要引入不同的電磁位，本文使用矢量磁位與標量電位，即j，一j法來計算渦流場的分布。 222矢量磁勢與標量電勢法數(shù)學模型的導出n81所謂j，痧一j法指的是把渦流場的場域分為渦流區(qū)和非渦流區(qū)兩部分，在渦流區(qū)采用矢量磁勢j和標量電勢矽作為函數(shù)，在非渦流區(qū)只用j作為函數(shù)。 由于磁感應強度云的無散性，即v雪=0，可以定義一個矢量函數(shù)j，令B=VX1，這樣的定義顯然與式(23)相容，因為旋度場的散度為零。 考慮到時間導數(shù)和旋度的運算順序可以交換，由式(22)可以得到v(云+罷)0，其中括df號中的兩項之和構成一個無旋的矢量場。 由于無旋場可以表示成一個標量函數(shù)的梯度，因此可推出豆一祟一v，矽即為標量電勢，可以看作靜電場中定義的標優(yōu)量電勢在渦流場情況下的推廣。 將矢量磁勢和標量電勢的定義代入式(2-12)和式(2一13)，推導出在QV(刃鋤一仃詈一田(2-14)在Q2內V(刀j)=五在邊界L上元Vxj=0在邊界上內j廳m0在交界r12上亓。 Vj-=亓Vj(，lV彳1)元l=(v2VXAOx元2分，00二位Q小弘弘m協(xié)第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬其中l(wèi)，一1，表示磁阻率。 由于矢量磁勢j的定義已經(jīng)保證了云的無散性，因此v雪=0不需要再顯式地出現(xiàn)。 根據(jù)矢量場唯一性定理，上述控制方程和邊界條件還不能保證矢量磁勢j的唯一性，因為j的旋度雖已確定，但j的散度尚未規(guī)定。 j的散度的規(guī)定有多種選擇，不同的散度規(guī)定稱為不同的規(guī)范(Gauge)在經(jīng)典電磁場理論中，解析法常用的規(guī)范有洛倫茲規(guī)范和庫侖規(guī)范。 在有限元數(shù)值計算中應用庫侖規(guī)范比洛倫茲規(guī)范要方便的多。 為了使j的解答唯一，除了已規(guī)定j的旋度，還需要規(guī)定j的散度和j本身的邊界條件。 當采用庫侖規(guī)范時，規(guī)定j的散度為零，即VA=0(2-20)若在邊界r上給定下列齊次邊界條件在邊界L上元j=0(j的切向邊界條件)(221)在邊界r上菇j=0(j的法向邊界條件)(222)這樣，j的旋度和散度均已確定，在邊界上j的切向和法向邊界條件也已分別給定，可以證明，在區(qū)域Q中j的解將是唯一的，文獻n町中給出了j唯一性的證明。 接下來將庫侖規(guī)范并如(214)一(219)式，得到渦流場定解問題完整表述乜們在Q1內VX(刃彳)一v(w彳)+仃=+DV=0(2-23a)一，14V十仃詈一刪=。 在Q2內V(內j)一v(wj)=天在邊界L上元j-0刃j0在邊界L上元j=0(內j)元=O在邊界rl上jF jzv，Vjly2Vj2一一一一一一一第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬l，lVXAl元l=y2VXA2元2引一仃詈一刪=。 (2-27e)(227d)對于電導率在渦流區(qū)域中為恒定值的情況，可得標量電勢滿足拉普拉斯方程v劾=0在交界上滿足學0；在整個渦流區(qū)域中矽為恒定值，可選為0。 On這樣在渦流區(qū)域中僅用矢量磁勢j就可以確定整個區(qū)域的場量。 基本方程為。 AjpoA=一面s23溫度場的有限元模型求解電磁場，渦流場的目的是利用求得的感生電流產生的焦爾熱作為內熱源來計算溫度場。 溫度場的計算結果既可以用來分析感應加熱過程中工件各部分溫度發(fā)展變化，為制定熱處理工藝路線提供依據(jù)，又可以作為求解熱應力場、熱處理后微觀相成分分布的基礎。 在感應加熱問題中的溫度場屬于瞬態(tài)溫度場。 在工件感應加熱過程中，特別是加熱區(qū)域表面附近的高溫區(qū)，溫度變化較劇烈，應考慮材料的熱物性隨溫度的變化關系，而且工件局部在加熱過程中溫度變化范圍大，在沿厚度方向也有較大的溫度梯度。 因此為了提高計算精度，應當采用三維非線性瞬態(tài)熱傳導方程來描述加熱過程中的溫度場T(x，Y，z，f)。 三維非線性瞬態(tài)熱傳導可由下列微分方程控制心曇嗜+號哆+差噔妒磋億捌式中口為內熱源的強度；丁為溫度；七為各向同性材料的熱傳導系數(shù)；p為材料密度；C為材料比熱；f為加熱時間。 感應淬火加熱過程中，感生渦流作為內熱源其強度為幢212I12q。 2y國M(2-29)式中7為工件材料的電導率；緲為激勵電流角頻率；j為矢量磁勢。 T件表面的邊界條件是對流和輻射，公式表示為乜31嘌一h(T圳吲(丁4一)(2-30)式中兀為環(huán)境溫度；h為對流熱傳遞系數(shù)；k為各向同性材料的熱傳導系數(shù)第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬Cs為輻射系數(shù)；占為StefanBoltzman常數(shù)；力為工件表面外法線方向。 24耦合分析感應加熱問題是一較為復雜的問題，交流電磁場分析計算出熱源的數(shù)據(jù)，作為瞬態(tài)熱分析的熱載荷求解溫度場隨時間的變化。 在兩個物理場分析中，材料的性能都是隨溫度明顯變化的。 這就需要兩種物理場分析的相互耦合。 而且在計算出每一時間段的溫度時，需要重新計算該溫度下的電磁場的分布，這一分析過程是完全耦合的過程。 本文中的仿真計算采用大型通用有限元軟件ANSYS。 ANSYS的耦合場分析考慮了兩個或多個物理場之間的相互作用。 場耦合功能可通過耦合場單元直接實現(xiàn)(即直接耦合法)，或通過順序耦合法實現(xiàn)。 直接耦合法在分析中采用耦合場單元，這些單元在節(jié)點上有多個自由度(跨幾個場)，允許在分析所涉及的學科間交叉耦合。 例如PLANEl3單元包含溫度，磁失勢，電壓等自由度，涵蓋熱，磁場，電場。 與直接耦合法不同，順序耦合分析法包括兩種序列分析，每種分析屬于一個不同的場，兩個場間的耦合通過把第一個分析的結果作為載荷施加到第二個場來實現(xiàn)。 例如在熱一應力分析中，從熱分析得到的節(jié)點溫度作為后續(xù)結構分析的熱載荷來施加。 對于感應加熱這樣不存在高度非線性相互作用的情形，采用順序耦合法更為有效和方便，因為可以獨自進行兩種場的分析。 圖22描述了采用順序耦合法中的物理環(huán)境法進行計算的流程。 第二章基于有限元方法的感應加熱數(shù)值模擬25本章小結圖22感應加熱電磁場與溫度場耦合分析流程本章介紹了有限元方法的原理、特點及其解算步驟；根據(jù)感應加熱過程中諧性電磁場和瞬態(tài)溫度場的偏微分方程建立了其有限元計算模型；最后介紹了大型通用有限元計算軟件ANSYS中耦合場的不同計算方法及其特點，并給出了利用物理環(huán)境法進行感應加熱電磁一熱耦合場分析的流程。 第三章基于邊界元方法的感應加熱電磁場數(shù)值模擬第三章基于邊界元方法的感應加熱電磁場數(shù)值模擬31邊界元方法概述311邊界元方法的發(fā)展邊界元方法的理論在近百年前就已奠定，它的基本思想是用積分方程法解微分方程。 早在1903年，F(xiàn)redhom就對積分方程的分類做了研究【241，并首先將其應用于彈性力學問題。 此后，許多人對積分方程的性質作了嚴格的數(shù)學討論，但是直到40年代末，除了一些特殊問題，如第一邊值問題，積分方程求解邊值問題的研究一直未有比較明顯的進展。 這一方面是由于解析求解這些問題極其困難，甚至是不可能的，另外由于它理論性較強，涉足的人不多，人們未能認識到它的潛在價值，所以一直未受到重視。 邊界元法的深入研究始于一些蘇聯(lián)學者，如Mikhlin、Smimow、Gakhov和Ivanov等，他們研究了標量型、矢量型積分方程及積分域內奇點和間斷的情形，從而為進一步應用邊界積分方程方法開辟了道路，但當時還沒有為工程所應用1251。 邊界元法的應用和發(fā)展是在大容量、高速度的計算機發(fā)展后出現(xiàn)的。 六十年代高速大型計算機的出現(xiàn)及其硬件的迅速發(fā)展，使離散求解積分方程成為可能。 19