測量誤差基本知識 武漢大學 工程測量學教學課件

測量學 主講 付建紅 第三章測量誤差基本知識 測量學 主要內容 觀測誤差的分類衡量精度的標準算術平均值及其觀測值的中誤差誤差傳播定律加權平均值及其精度評定間接平差原理 3 1觀測誤差的分類 測量誤差產生的原因測量誤差的分類與處理原則偶然誤差的特性 一 測量誤差產生的原因 一 測量誤差產生的原因 人 觀測者 儀器外界環(huán)境 觀測條件 凡是觀測條件相同的同類觀測稱為 等精度觀測 觀測條件不同的同類觀測則稱為 不等精度觀測 中絲讀書 159115921593 A B 水準測量 水準管 觀測值 實際值 二 測量誤差的分類與處理原則 系統(tǒng)誤差偶然誤差粗差 系統(tǒng)誤差 在相同觀測條件下 對某一量進行一系列的觀測 如果出現的誤差在符號和數值上都相同或者具有一定的規(guī)律性 系統(tǒng)誤差具有積累性 可以利用其規(guī)律性對觀測值進行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱 偶然誤差 在相同的觀測條件下 對某一量進行一系列的觀測 如果誤差出現的符號和數值大小都不相同 在表面上看沒有任何規(guī)律性 但就大量的誤差而言 具有一定的統(tǒng)計規(guī)律 偶然誤差不可避免 通過多余觀測 利用數理統(tǒng)計理論處理 可以求得參數的最可靠值 8 5 12345678 48 78 58 68 38 28 60 1 0 20 0 10 20 3 0 1 粗差 由于觀測者的粗心或各種干擾造成的大于限差的誤差 在測量工作中 一般需要進行多余觀測 發(fā)現粗差 將其剔除 三 偶然誤差的特性1 真值和真誤差真值 某一個量的真實值 X 在相同觀測條件下 對此量進行n次觀測 觀測值 L1 L2 Ln真誤差 真值X與觀測值Li之間的差值 用 i表示 i X Li 2 實例三角形內角和真誤差 在相同的觀測條件下 觀測了358個三角形的全部內角 i 180 i 1 2 3 358 誤差分布表 454033231713640 464133211613520 0 1260 1120 0920 0640 0470 0360 0170 0110 0 1280 1150 0920 0590 0450 0360 0140 0060 9181664433261160 0 2540 2260 1840 1230 0920 0730 0310 0170 181 177 0 505 0 495 358 1 00 頻率直方圖 3 偶然誤差的特性 有限性 在一定的觀測條件下 偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值 集中性 絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大 對稱性 絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相同 抵償性 當觀測次數無限增多時 偶然誤差的算術平均值趨近于零 即 誤差分布曲線 正態(tài)分布 標準差 方差 概率密度函數 3 2衡量精度的標準 中誤差相對誤差極限誤差 一 中誤差 標準差中誤差是反映一組誤差離散程度的指標 m1 m1 m2大精度低 觀測條件 誤差分布 觀測值精度 曲線形態(tài) 陡峭 平緩 具體的數值 大小 觀測精度 低 高 精度 precise 和準確度 accuracy Inaccurateandprecise Accurateandimprecise Inaccurateandimprecise Accurateandprecise 舉例 例 同精度下對某一三角形進行了10次觀測 求得每次觀測所得的三角形閉合差分別為 單位 3 2 2 4 1 0 4 3 2 3 另一臺儀器的觀測結果 單位 為 0 1 7 2 1 1 8 0 3 1 二 相對誤差 例 分別丈量了S1 200m及S2 40m的兩段距離 觀測值的中誤差均為 2cm 試比較兩者的觀測成果質量 相對誤差K 中誤差的絕對值與觀測值之比 用分子為1表示 S1的丈量精度高于S2的丈量精度 三 極限誤差 三 極限誤差 概率密度函數 3 3算術平均值及觀測值的中誤差 算術平均值觀測值的改正值按觀測值的改正值計算中誤差 一 算術平均值 二 觀測值的改正值 三 按觀測值的改正值計算中誤差 在相同的觀測條件下對某一量進行多次觀測 則觀測值為同精度觀測值 其中誤差為 白塞爾公式的推導 左右平方求和 左右求和 左右平方 按觀測值改正值計算中誤差 3 1 2 5 1 7 4 7 4 0 2 410 2 1 4 0 8 3 4 3 0 2 3 4 10 0 1 960 6411 569 005 2916 8145 26 算術平均值 相對誤差 觀測值中誤差 3 4誤差傳播定律 觀測值的函數觀測值函數的中誤差誤差傳播定律應用實例 問題的提出 在上節(jié)介紹了對于某一個量直接進行多次觀測 計算觀測值的中誤差 許多未知量是不能直接觀測得到的 這些未知量是觀測值的函數 那么如何根據觀測值的中誤差而去求觀測值函數的中誤差呢 闡述觀測值中誤差和觀測值函數的中誤差之間的關系的定律稱為誤差傳播定律 一 觀測值的函數 倍函數 一般函數 和差函數 線性函數 1 和或差的函數設有函數z x y z 觀測值的函數 x y為獨立觀測值 已知mx my 求mz 1 真誤差的關系式為 z x y若對x y觀測了n次則 zi xi yi i 1 n 2 將上式平方得 3 求和 并除以n 由于x y為獨立觀測值 因此n趨近無窮時 x y n 0 4 轉換為中誤差關系式 兩觀測值代數和的中誤差平方 等于兩觀測值中誤差的平方和 二 觀測值函數的中誤差 n個觀測值代數和的中誤差平方 等于n個觀測值中誤差的平方和 n個同精度觀測值代數和的中誤差 與觀測值個數n的平方根成正比 2 倍函數 設有函數z kx z 觀測值的函數 x為觀測值 k為常數 已知mx 求mz 1 真誤差的關系式為 z k x若對x y觀測了n次則 zi k xi i 1 n 2 將上式平方得 3 求和 并除以n 4 轉換為中誤差關系式 觀測值與常數乘積的中誤差 等于觀測值中誤差乘以常數 3 線性函數 設有函數z k1x1 k2x2 knxn z 觀測值的函數 x1 x2 xn為獨立觀測值 k1 k2 kn為常數 已知mi求mz 應用倍數函數 和差函數的誤差傳播定律可得 4 一般函數 非線性函數 觀測值a b的中誤差為ma mb求面積p的中誤差 1 求偏微分 2 轉換為中誤差關系式 三 誤差傳播定律應用實例 例1 用尺子在1 500的地圖上量得兩點間的距離d 10cm 中誤差md 0 1cm 求其相應的實地距離D及其中誤差mD 例2 對某量進行了n次獨立同精度觀測 L1 L2 Ln 中誤差均為m 求其算術平均值的中誤差 觀測值算術平均值的中誤差是觀測值中誤差的 例3 測得某矩形塊地的長a 10m 寬b 5m a b獨立 且ma 2cm mb 1cm 求該塊地的周長及中誤差 S 30m 4 5cm 注意單位統(tǒng)一 例5 設有函數 Z X Y Y 3X 已知mx 求mz 注 由于X和Y不是獨立觀測值 總結應用誤差傳播定律求觀測值函數的中誤差時 可歸納以下幾步 1 列出函數式2 對函數式全微分 得出函數的真誤差和觀測值真誤差的關系式3 獨立性的判斷4 寫出函數的中誤差觀測值中誤差之間的的關系式注意單位的統(tǒng)一 5 對某一三角形內角重復觀測了9次 定義其閉合差 180 其結果如下 單位 1 3 2 5 3 6 4 1 5 3 6 4 7 3 8 7 9 8 求三角形閉合差的中誤差m 以及三角形內角的測角中誤差m 解 6 對某個水平角以等精度觀測了4個測回 觀測值列于下表 計算其算術平均值 一測回的中誤差和算術平均值的中誤差 計算 7 對段距離 用測儀測定其水平距離4次 觀測值列于下表 計算其算術平均值 算術平均值的中誤差及其相對誤差 計算 346 522 346 548 346 538 346 550 l0 346 530 8 在一個平面三角形中 觀測其中兩個水平角 和 其測角中誤差均為 20 計算第三個角 及其中誤差 9 量得一圓形地物的直徑為64 780m 5mm 求圓周長度S及其中誤差ms 解 解 10 量得矩形場地長度a 156 34m 0 10m 寬度b 85 27m 0 05m 計算該矩形場地面積F及其面積中誤差mF 11 已知三角形三個內角 的中誤差為 定義三角形閉合差為 解 解 3 5加權平均值及其精度評定 不等精度觀測及觀測值的權加權平均值加權平均值的中誤差單位權中誤差的計算 在相同條件下對某段長度進行兩組丈量 甲組 乙組 兩組算術平均值分別為 L甲 L乙設每次觀測值的中誤差為m 求m甲和m乙 并求該長度的最或是值是多少 1 如何求X的最或是值 3 如何求的中誤差 2 如果已知的中誤差 如何求觀測值Li的中誤差 對某個未知量X 不等精度觀測 觀測值的權 式中 C為任意正數當觀測值Li的權Pi 1時 稱為單位權觀測值 其中誤差稱為單位權中誤差 用m0表示 一 不等精度觀測及觀測值的權 反應觀測值的相互精度關系 m0的大小對最或是值毫無影響 不在乎權本身數值的大小 而在于相互的比例關系 權的特性 例 已知L1 L2 L3的中誤差分別為 m1 3m