測量誤差基本知識 武漢大學(xué) 工程測量學(xué)教學(xué)課件

測量學(xué) 主講 付建紅 第三章測量誤差基本知識 測量學(xué) 主要內(nèi)容 觀測誤差的分類衡量精度的標準算術(shù)平均值及其觀測值的中誤差誤差傳播定律加權(quán)平均值及其精度評定間接平差原理 3 1觀測誤差的分類 測量誤差產(chǎn)生的原因測量誤差的分類與處理原則偶然誤差的特性 一 測量誤差產(chǎn)生的原因 一 測量誤差產(chǎn)生的原因 人 觀測者 儀器外界環(huán)境 觀測條件 凡是觀測條件相同的同類觀測稱為 等精度觀測 觀測條件不同的同類觀測則稱為 不等精度觀測 中絲讀書 159115921593 A B 水準測量 水準管 觀測值 實際值 二 測量誤差的分類與處理原則 系統(tǒng)誤差偶然誤差粗差 系統(tǒng)誤差 在相同觀測條件下 對某一量進行一系列的觀測 如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同或者具有一定的規(guī)律性 系統(tǒng)誤差具有積累性 可以利用其規(guī)律性對觀測值進行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱 偶然誤差 在相同的觀測條件下 對某一量進行一系列的觀測 如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同 在表面上看沒有任何規(guī)律性 但就大量的誤差而言 具有一定的統(tǒng)計規(guī)律 偶然誤差不可避免 通過多余觀測 利用數(shù)理統(tǒng)計理論處理 可以求得參數(shù)的最可靠值 8 5 12345678 48 78 58 68 38 28 60 1 0 20 0 10 20 3 0 1 粗差 由于觀測者的粗心或各種干擾造成的大于限差的誤差 在測量工作中 一般需要進行多余觀測 發(fā)現(xiàn)粗差 將其剔除 三 偶然誤差的特性1 真值和真誤差真值 某一個量的真實值 X 在相同觀測條件下 對此量進行n次觀測 觀測值 L1 L2 Ln真誤差 真值X與觀測值Li之間的差值 用 i表示 i X Li 2 實例三角形內(nèi)角和真誤差 在相同的觀測條件下 觀測了358個三角形的全部內(nèi)角 i 180 i 1 2 3 358 誤差分布表 454033231713640 464133211613520 0 1260 1120 0920 0640 0470 0360 0170 0110 0 1280 1150 0920 0590 0450 0360 0140 0060 9181664433261160 0 2540 2260 1840 1230 0920 0730 0310 0170 181 177 0 505 0 495 358 1 00 頻率直方圖 3 偶然誤差的特性 有限性 在一定的觀測條件下 偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值 集中性 絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大 對稱性 絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相同 抵償性 當觀測次數(shù)無限增多時 偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零 即 誤差分布曲線 正態(tài)分布 標準差 方差 概率密度函數(shù) 3 2衡量精度的標準 中誤差相對誤差極限誤差 一 中誤差 標準差中誤差是反映一組誤差離散程度的指標 m1 m1 m2大精度低 觀測條件 誤差分布 觀測值精度 曲線形態(tài) 陡峭 平緩 具體的數(shù)值 大小 觀測精度 低 高 精度 precise 和準確度 accuracy Inaccurateandprecise Accurateandimprecise Inaccurateandimprecise Accurateandprecise 舉例 例 同精度下對某一三角形進行了10次觀測 求得每次觀測所得的三角形閉合差分別為 單位 3 2 2 4 1 0 4 3 2 3 另一臺儀器的觀測結(jié)果 單位 為 0 1 7 2 1 1 8 0 3 1 二 相對誤差 例 分別丈量了S1 200m及S2 40m的兩段距離 觀測值的中誤差均為 2cm 試比較兩者的觀測成果質(zhì)量 相對誤差K 中誤差的絕對值與觀測值之比 用分子為1表示 S1的丈量精度高于S2的丈量精度 三 極限誤差 三 極限誤差 概率密度函數(shù) 3 3算術(shù)平均值及觀測值的中誤差 算術(shù)平均值觀測值的改正值按觀測值的改正值計算中誤差 一 算術(shù)平均值 二 觀測值的改正值 三 按觀測值的改正值計算中誤差 在相同的觀測條件下對某一量進行多次觀測 則觀測值為同精度觀測值 其中誤差為 白塞爾公式的推導(dǎo) 左右平方求和 左右求和 左右平方 按觀測值改正值計算中誤差 3 1 2 5 1 7 4 7 4 0 2 410 2 1 4 0 8 3 4 3 0 2 3 4 10 0 1 960 6411 569 005 2916 8145 26 算術(shù)平均值 相對誤差 觀測值中誤差 3 4誤差傳播定律 觀測值的函數(shù)觀測值函數(shù)的中誤差誤差傳播定律應(yīng)用實例 問題的提出 在上節(jié)介紹了對于某一個量直接進行多次觀測 計算觀測值的中誤差 許多未知量是不能直接觀測得到的 這些未知量是觀測值的函數(shù) 那么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中誤差呢 闡述觀測值中誤差和觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律 一 觀測值的函數(shù) 倍函數(shù) 一般函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 1 和或差的函數(shù)設(shè)有函數(shù)z x y z 觀測值的函數(shù) x y為獨立觀測值 已知mx my 求mz 1 真誤差的關(guān)系式為 z x y若對x y觀測了n次則 zi xi yi i 1 n 2 將上式平方得 3 求和 并除以n 由于x y為獨立觀測值 因此n趨近無窮時 x y n 0 4 轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式 兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方 等于兩觀測值中誤差的平方和 二 觀測值函數(shù)的中誤差 n個觀測值代數(shù)和的中誤差平方 等于n個觀測值中誤差的平方和 n個同精度觀測值代數(shù)和的中誤差 與觀測值個數(shù)n的平方根成正比 2 倍函數(shù) 設(shè)有函數(shù)z kx z 觀測值的函數(shù) x為觀測值 k為常數(shù) 已知mx 求mz 1 真誤差的關(guān)系式為 z k x若對x y觀測了n次則 zi k xi i 1 n 2 將上式平方得 3 求和 并除以n 4 轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式 觀測值與常數(shù)乘積的中誤差 等于觀測值中誤差乘以常數(shù) 3 線性函數(shù) 設(shè)有函數(shù)z k1x1 k2x2 knxn z 觀測值的函數(shù) x1 x2 xn為獨立觀測值 k1 k2 kn為常數(shù) 已知mi求mz 應(yīng)用倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù)的誤差傳播定律可得 4 一般函數(shù) 非線性函數(shù) 觀測值a b的中誤差為ma mb求面積p的中誤差 1 求偏微分 2 轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式 三 誤差傳播定律應(yīng)用實例 例1 用尺子在1 500的地圖上量得兩點間的距離d 10cm 中誤差md 0 1cm 求其相應(yīng)的實地距離D及其中誤差mD 例2 對某量進行了n次獨立同精度觀測 L1 L2 Ln 中誤差均為m 求其算術(shù)平均值的中誤差 觀測值算術(shù)平均值的中誤差是觀測值中誤差的 例3 測得某矩形塊地的長a 10m 寬b 5m a b獨立 且ma 2cm mb 1cm 求該塊地的周長及中誤差 S 30m 4 5cm 注意單位統(tǒng)一 例5 設(shè)有函數(shù) Z X Y Y 3X 已知mx 求mz 注 由于X和Y不是獨立觀測值 總結(jié)應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的中誤差時 可歸納以下幾步 1 列出函數(shù)式2 對函數(shù)式全微分 得出函數(shù)的真誤差和觀測值真誤差的關(guān)系式3 獨立性的判斷4 寫出函數(shù)的中誤差觀測值中誤差之間的的關(guān)系式注意單位的統(tǒng)一 5 對某一三角形內(nèi)角重復(fù)觀測了9次 定義其閉合差 180 其結(jié)果如下 單位 1 3 2 5 3 6 4 1 5 3 6 4 7 3 8 7 9 8 求三角形閉合差的中誤差m 以及三角形內(nèi)角的測角中誤差m 解 6 對某個水平角以等精度觀測了4個測回 觀測值列于下表 計算其算術(shù)平均值 一測回的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差 計算 7 對段距離 用測儀測定其水平距離4次 觀測值列于下表 計算其算術(shù)平均值 算術(shù)平均值的中誤差及其相對誤差 計算 346 522 346 548 346 538 346 550 l0 346 530 8 在一個平面三角形中 觀測其中兩個水平角 和 其測角中誤差均為 20 計算第三個角 及其中誤差 9 量得一圓形地物的直徑為64 780m 5mm 求圓周長度S及其中誤差ms 解 解 10 量得矩形場地長度a 156 34m 0 10m 寬度b 85 27m 0 05m 計算該矩形場地面積F及其面積中誤差mF 11 已知三角形三個內(nèi)角 的中誤差為 定義三角形閉合差為 解 解 3 5加權(quán)平均值及其精度評定 不等精度觀測及觀測值的權(quán)加權(quán)平均值加權(quán)平均值的中誤差單位權(quán)中誤差的計算 在相同條件下對某段長度進行兩組丈量 甲組 乙組 兩組算術(shù)平均值分別為 L甲 L乙設(shè)每次觀測值的中誤差為m 求m甲和m乙 并求該長度的最或是值是多少 1 如何求X的最或是值 3 如何求的中誤差 2 如果已知的中誤差 如何求觀測值Li的中誤差 對某個未知量X 不等精度觀測 觀測值的權(quán) 式中 C為任意正數(shù)當觀測值Li的權(quán)Pi 1時 稱為單位權(quán)觀測值 其中誤差稱為單位權(quán)中誤差 用m0表示 一 不等精度觀測及觀測值的權(quán) 反應(yīng)觀測值的相互精度關(guān)系 m0的大小對最或是值毫無影響 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小 而在于相互的比例關(guān)系 權(quán)的特性 例 已知L1 L2 L3的中誤差分別為 m1 3m