三角形的邊角之間的關(guān)系.doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考三角形的邊角之間關(guān)系（1）三角形三內(nèi)角和等于180（在球面上，三角形內(nèi)角之和大于180）； （2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和； （3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角； （4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； （5）在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊. （6）三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線. （7）三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等. （8）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. （9）三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍。 （10）三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2。 （12）三角形的一邊與另一邊延長線的夾角叫做三角形的外角。注意: 三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 . 鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。 直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。）銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。三角形相關(guān)定理重心定理 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍上述交點(diǎn)叫做三角形的重心.外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)這點(diǎn)叫做三角形的外心.垂心定理 三角形的三條高交于一點(diǎn)這點(diǎn)叫做三角形的垂心.內(nèi)心定理 三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.旁心定理 三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)這點(diǎn)叫做三角形的旁心三角形有三個(gè)旁心三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱為三角形的五心它們都是三角形的重要相關(guān)點(diǎn) 中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半三邊關(guān)系定理 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊勾股定理在Rt三角形ABC中，A90度，則ABAB+ACAC=BCBC梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。證明：過點(diǎn)A作AGBC交DF的延長線于G,則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得：AF/FBBD/DCCE/EA=AG/BDBD/DCDC/AG=1它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。塞瓦定理設(shè)O是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1證法簡介（）本題可利用梅涅勞斯定理證明：ADC被直線BOE所截， CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 而由ABD被直線COF所截， BC/CD*DO/OA*AF/BF=1:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（）也可以利用面積關(guān)系證明BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三條高CD、A