高中數(shù)學(xué)1.4算法案例第1課時(shí)課堂探究素材蘇教必修3

算法案例（第1課時(shí)）1更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的區(qū)別與聯(lián)系剖析：如表所示.輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)別以除法為主兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算次數(shù)較少相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果以減法為主兩個(gè)整數(shù)的差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多相減，差與減數(shù)相等得結(jié)果相減前要做是否都是偶數(shù)的判斷聯(lián)系都是求最大公約數(shù)的方法二者的實(shí)質(zhì)都是遞歸的過程二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)2秦九韶算法是比較先進(jìn)的算法剖析：同一個(gè)問題有多種算法，如果某個(gè)算法比其他算法的步驟少，運(yùn)算的次數(shù)少，那么這個(gè)算法就是比較先進(jìn)的算法判斷算法是否先進(jìn)的一個(gè)重要標(biāo)志就是運(yùn)算的次數(shù)越少越好求多項(xiàng)式f(x)anxnan1xn1a1xa0的值時(shí)，通常是先計(jì)算anxn，進(jìn)行n次乘法運(yùn)算；再計(jì)算an1xn1，進(jìn)行n1次乘法運(yùn)算；這樣繼續(xù)下去共進(jìn)行nn121(其計(jì)算方法以后學(xué)習(xí))次乘法運(yùn)算，還需要進(jìn)行n次加法運(yùn)算，總共進(jìn)行n次運(yùn)算但是用秦九韶算法時(shí)，改寫多項(xiàng)式為f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0.先計(jì)算v1anxan1，需1次乘法運(yùn)算，1次加法運(yùn)算；v2v1xan2，需1次乘法運(yùn)算，1次加法運(yùn)算；vnvn1xa0，需1次乘法運(yùn)算，1次加法運(yùn)算所以需進(jìn)行n次乘法運(yùn)算，n次加法運(yùn)算，共進(jìn)行2n次運(yùn)算由于2n0，則n2n.因此說秦九韶算法與其他算法相比運(yùn)算次數(shù)少，秦九韶算法是比較先進(jìn)的算法 題型一 求最大公約數(shù)【例題1】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1 785的最大公約數(shù)；(2)用更相減損術(shù)求612與468的最大公約數(shù)分析：本題是關(guān)于輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的直接應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法的操作是較大的數(shù)除以較小的數(shù)；更相減損術(shù)的操作是以大數(shù)減小數(shù)解：(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840和1 785的最大公約數(shù)1 7858402105，8401058.所以840和1 785的最大公約數(shù)是105.(2)首先612和468都是偶數(shù)，所以用2約簡，得到306和234，還是偶數(shù)，需要再用2約簡，得到153和117，最后用更相減損術(shù)計(jì)算得15311736，1173681，813645，45369，36927，27918，1899.所以612和468的最大公約數(shù)是92236.反思 求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的問題，可以用輾轉(zhuǎn)相除法，也可以用更相減損術(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法，即根據(jù)anbr這個(gè)式子，反復(fù)相除，直到r0為止；用更相減損術(shù)，即根據(jù)r|ab|這個(gè)式子，反復(fù)相減，直到r0為止.題型二 求多項(xiàng)式的值【例題2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)7x76x65x54x43x32x2x當(dāng)x3時(shí)的值分析：解決本題首先需要將原多項(xiàng)式化成f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，v7分別是多少，再針對這些式子進(jìn)行計(jì)算解：f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x，所以有v07；v173627；v2273586；v38634262；v426233789；v5789322 369；v62 369317 108；v77 108321 324.故當(dāng)x3時(shí)，多項(xiàng)式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值為21 324.反思 秦九韶算法的關(guān)鍵在于把n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為一次多項(xiàng)式，注意體會遞推的實(shí)現(xiàn)過程，實(shí)施運(yùn)算時(shí)要由內(nèi)向外，一步一步執(zhí)行.題型三 易錯(cuò)辨析【例題3】已知f(x)3x42x24x2，利用秦九韶算法求f(2)的值錯(cuò)解：f(x)(3x22)x4)x2，v13(2)2214；v214(2)424；v324(2)250.故f(2)50.錯(cuò)因分析：所求f(2)的值是正確的，但是錯(cuò)解中沒有抓住秦九韶算法原理的關(guān)鍵，正確改寫多項(xiàng)式，并使每一次計(jì)算只含有x的一次項(xiàng)