軟件工程碩士數(shù)學輔導.doc

高等數(shù)學軟件工程碩士輔導基本概念與練習一、求函數(shù)極限1極限定義：設在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在，當，有，稱在趨于時有極限，并稱為在的極限。記做。2的充要條件：3求極限的方法（1）若在連續(xù)，則（2）“”型1）等價代換：當時 2）洛必達法則：（3）“” 1）利用重要極限2）化為“”型（4）有界量與無窮小乘積仍是無窮小。（5）利用泰勒公式：掌握和在x=0點的泰勒展開求極限。二、無窮小的比較極限為零的變量。，稱在時為無窮小設在時為無窮小，則如果，就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮??；如果，就說與同階的無窮??；如果，就說與是等價的無窮小，記作。如果，且，則三、連續(xù)（注意不討論間斷點及其類型）1定義：如果那么就稱函數(shù)在點連續(xù)。2主要條件：（由此可求兩個參數(shù)）四、導數(shù)與微分1導數(shù)定義：=， 和 2充要條件： 3必要條件：可導必連續(xù)4幾何意義：切線斜率.切線方程5微分：， 題型 求分段函數(shù)在分段點的導數(shù)使用定義，其他點使用公式五導數(shù)計算1初等函數(shù)求導公式（16個求導公式，5個求導法則）導 數(shù) 公 式微 分 公 式（1）（2） ，（3）。 (4) 復合函數(shù)導數(shù)，稱為中間變量，參數(shù)方程求二階導數(shù) ，隱函數(shù)求二階導數(shù)：F(x,y)=0 ,方程兩邊對求導，的函數(shù)看成的復合函數(shù)4.幾分上限函數(shù)求導六、函數(shù)不等式的證明1方法：利用最值，單調(diào)性和拉格朗日中值定理證不等式單調(diào)性：單調(diào)升：，當時單調(diào)降：，當時，單調(diào)升，單調(diào)降利用單調(diào)性證不等式，證，拉格朗日中值定理：在連續(xù)，在可微，則有落在之間。2求導時最多到二階七、求函數(shù)最值鄰域：，極值：當或者稱為極大值（極小值），極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點成為極值點定理：如果在可導，并且取得極值，則導數(shù)為零的點稱為駐點。判別極值一個是利用單調(diào)性，一個是利用二階導數(shù)，定理：，極小值，反之是極大值。求最值：求出不可導點及駐點，計算這些點的函數(shù)值及邊界點的函數(shù)值，找這里最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果是實際問題，并且只有一個駐點，這個駐點就是所求的最值點。八、不定積分1原函數(shù)：在區(qū)間上，若，稱為的一個原函數(shù)。2不定積分：在區(qū)間上，的原函數(shù)的全體稱為的不定積分，記為3掌握下列基本公式 是常數(shù)) , (11)(12)(13)4湊分法：掌握下列常用湊分法（1）（2） （3）（4）（5）5換元法掌握：含時，令含時令6分布積分法： 掌握（1）（2）（3）（4）一般如果被積函數(shù)是多項式與指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)乘積，選多項式為指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)為；如果被積函數(shù)是多項式與對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)乘積，選多項式為對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為；九、定積分1牛頓-萊布尼茨公式2幾何意義：曲邊梯形面積3定積分換元法4定積分的分部積分法：6（1）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 （2）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則 7周期函數(shù)的積分，8絕對值函數(shù)的積分：去掉絕對值，令=0，找出是=0 的9面積（與為積分變量），體積（繞軸旋轉的旋轉體的體積）1）面積一個函數(shù)且，二個函數(shù)且不知道大小2）體積：，十、微分方程1可分離變量微分方程的通解與特解。標準型：解法：2一階線性微分方程通解與特解，標準型通解：3二階常系數(shù)線性齊次方程通解。標準型，其中常數(shù)。解法：特征方程：，特征根通解4二階常系數(shù)線性非齊次方程通解。標準型，其中常數(shù)，解法：通解，其中為對應齊次方程通解，為本身的特解。，其中，十一、向量與空間解析幾何（不單獨出題，與多元微分學結合出題）1向量：既有大小又有方向的量（1）表示法（2）模：，稱為單位向量（3）方向：方向余弦：，（4）與方向一致的單位向量2直線的點向式方程：直線過點且與方向向量平行，則的方程為：3平面的點法式方程：平面過點且與法向量垂直，則的方程為：十二、多元函數(shù)微分學1多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分（1）二元函數(shù)在點對的偏導數(shù)：，連續(xù)時，（2）二元函數(shù)的全微分 2多元復合函數(shù)求偏導數(shù)設函數(shù)和在點分別具有對和的偏導數(shù)，而對應的函數(shù)在相應的點具有對和的連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點具有對的偏導數(shù)，且若和二階可導，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則.空間曲線切線與法平面方程設空間曲線在參數(shù)，切向量，切線方程：法平面方程：5空間曲面的切平面與法線方程設空間曲面：在切點，法向量切平面方程：，法線方程：設空間曲面：在切點，法向量切平面方程：，法線方程：6方向導數(shù)與梯度(1) 方向導數(shù)：函數(shù)f (x , y , z)在()點沿方向e的方向導數(shù)=（2）梯度：函數(shù)f (x , y , z)在()點的梯度（3）梯度的意義：函數(shù)在一點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向導數(shù)取最大值的方向，它的模就等于方向導數(shù)的最大值7條件極值條件極值問題可表述為：求函數(shù)在條件下的極值。方法：構造拉格朗日函數(shù)，令，解出，代入，其中最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?。十三、二重積分1積分形式：2幾何意義：曲頂柱體體積。當時，為的面積。3計算方法：積分區(qū)域D為X型區(qū)域，=，積分區(qū)域D為Y型區(qū)域，=，積分區(qū)域D在極坐標系下可以用不等式 題型 積分交換順序問題題型b 極坐標問題:圓心在原點的圓或圓的一部分或圓環(huán)或圓環(huán)的一部分十四、第二類曲線積分（平面上）1積分形式：2計算方法：（1）設參數(shù)化定積分1）L：由（起點）變到（終點），2）：，從（起點）變到（終點）3）：，從（起點）變到（終點）（2）格林公式設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)及在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有，（1）其中L是D的取正向的邊界曲線.曲線積分與路徑無關的條件：曲線積分與路徑無關的充要條件是在內(nèi)恒成立十五、級數(shù)（重點冪級數(shù)，會求冪級數(shù)收斂半徑，收斂域及展開與求和）1定義。數(shù)列，稱=為級數(shù)，令，得，若，稱無窮級數(shù)收斂,這時極限叫做這級數(shù)的和,并寫成=;如果沒有極限,則稱無窮級數(shù)發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件 如果級數(shù)收斂,則它的一般項趨于零,即2特殊級數(shù)（1）級數(shù)當時收斂，當時發(fā)散（2）等比級數(shù)當收斂,且其和為;當時,等比級數(shù)發(fā)散3交錯級數(shù)的萊布尼茨定理判別法：若（1）（2）則級數(shù)收斂4冪級數(shù)（1）收斂半徑，收斂域：如果其中是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù)，則這冪級數(shù)的收斂半徑開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間。再由冪級數(shù)在處的收斂性就可以決定它的收斂域是或這四個區(qū)間之一。5等比級數(shù)：（1），（2），（3）（4）6利用等比級數(shù)將函數(shù)展為冪級數(shù)7利用等比級數(shù)求冪級數(shù)的和第一套練習題一、填空題 1、_2、設函數(shù)，則_3、設，則_,_；4、微分方程的通解 特征方程，特征根，故通解為5、設函數(shù)，則_6、 7、曲面在點處的切平面方程為 ，法線方程為 切平面方程為法線方程為二、 證明：當時，令，在使用拉格朗日定理有其中，由單調(diào)升，有，故三、 已知，求常數(shù)，使得于處可導，并求可導必連續(xù)，故，即，故，從而四、 設，求及方程兩邊對求導得，故， 五、 設 寫出滿足的二階常微分方程； 求的表達式方程兩邊對求導得即特征方程為，特征根為齊次方程通解為：當為非齊次方程的特解，故，六、 求冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù)并求出和 ，收斂域令，則，故七、 計算，其中是雙扭線所圍城的閉區(qū)域，八、 設，求使。， ，故九、 在曲面求一點，使得函數(shù)在該點沿方向的方向導數(shù)最大，設為曲面上的任意一點，則函數(shù)在該點的方向導數(shù)為令，帶入第四個方程，有故所求點為十、 設曲線為橢圓，為圓周。和都取逆時針方向。記證明，并求的值，由格林公式有，故，從而即第二套練習題一、填空題 1、_2、=_3、 ；，4、微分方程()的通解 特征方程，( ,從而通解）5、的收斂域為： ，在發(fā)散；在收斂，收斂域；6、 7、曲面在點處的切平面方程為： ，切平面方程為二、 證明：當時，。 (1) (2)(1)+(2)得三、 已知于處具有三階導數(shù)，并且，證明：。解2四、 設，求及 五、 設曲線積分在整個平面內(nèi)與路徑無關，其中二階可導， 寫出滿足的二階常微分方程； 求的表達式 由積分與路徑無關有微分方程：齊次方程的特征方程：，特征根：非齊次方程的特解：，將其求導帶入原方程得 ，故六、 將展成的冪級數(shù)。、七、 計算，其中是有圓所圍城的閉區(qū)域，八、 設，求。 九、 求函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù)設，當， 十、設曲線（1）求在點處的切線方程；（2）求由該切線、軸與圍成的平面圖形面積；（3）求上述平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積（1） 切線方程：（2）（3）第三套練習題一、填空題 1、 2、使得的二次三項式的 3、設，則 4、微分方程的通解 ，5、= ，從而 6、 7、曲面在點處的切平面方程為 法線方程為 二、 設，確定的范圍使得令，顯然，當，三、 已知，（1）討論的連續(xù)性，并求出其連續(xù)區(qū)間；（2）討論于處是否可導，若可導求（1）當，存在，故連續(xù)，連續(xù)區(qū)間為R（2），故=0四、 設，求及， 五、 設二階可導，且滿足 寫出滿足的二階常微分方程； 求的表達式兩邊對求導，由已知有 ，帶入方程，六、 求冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù) 收斂，收斂域令，七、 計算，其中是圓域=八、 設，求。九、 求函數(shù)在約束下的極值，十、 計算積分為曲線，及所圍成的曲邊三角形區(qū)域的邊界，取逆時針方向第四套練習題一、填空題 1、，則 2、使得的二次三項式的 3、設，則 4、微分方程的通解 ，故5、= ，從而 6、 7、曲面在點處的切平面方程為 ，法線方程為 ，二、 試用求極值的方法證明： 令，從而，故為極大值點，為極大值，亦為最大值，故，從而三、 求常數(shù)，使得，由此故四、 設，求及， 五、 設 寫出滿足的一階常微分方程； 求的表達式兩邊對求導，由已知有由得 ，即，從而六、 求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式及其收斂域先對求導，得由有收斂半徑為，級數(shù)收斂故收斂于為七、 設，計算，其中是矩形區(qū)域八、（8分）設，求。九、（8分）求函數(shù)在約束下的極小值（其中，）,極小值為3a十、（8分）計算積分為曲線與所圍成的區(qū)域的邊界，取逆時針方向使用格林公式第五套練習題一、填空題 1、設函數(shù)，使存在的最大的 。故 故故2、= ，從而 。，則，從而故3、函數(shù)由參數(shù)方程確定，則 ； 。 4、曲面在點處的切平面方程為 ，法線方程為 ，5、 ， 。二、 求極限 。三、 計算積分 。帶入上式四、 求常微分方程的通解。，因為是特征根，故特解為 ，故同解為五、 證明不等式： 。令，顯然，顯然，從而單調(diào)減從而，從而單調(diào)減，當即六、 將函數(shù)展成的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間。 ,收斂區(qū)間為七、 在曲線上某一點A處作一條切線，使之與曲線以及軸所圍城的圖形的面積為，求（1）切點A的坐標；（2）由上述所圍城的圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積。設A的坐標為，切線方程為與x軸交點坐標為，八、 設在處連續(xù)，（1）證明（2）當時，求的表達式。（1）令故（2）方程兩邊同乘，并在到作積分，設=a，則九、 在曲面上找一點，使之到點的距離最短，并求最短距離。設為曲面上任一點，則其到的距離平方為現(xiàn)在要求其最小值且點在曲面上。設帶入得最短距離為十、 計算，其中：。十一、 計算積分其中連續(xù)，曲線是位于連接與的線段下方的任意光滑曲線，且曲線與線段所圍成的圖形的面積為2。第六套練習題一、填空題 1、設其中具有連續(xù)偏導數(shù)，則，。2、曲線，則在曲線上對應于的點處的法平面方程為 ，切線方程為 。切線方程法平面3、設，在處 ；切線方程為 。切線方程為4、在點處的最大方向導數(shù)的方向為，最大方向導數(shù)為3，5、。二、 求極限 三、 計算積分 四、 求常微分方程滿足初始條件的特解，五、 證明不等式： 。令單調(diào)減