孿生素?cái)?shù)無限!(格點(diǎn)數(shù)論版)

當(dāng)時(shí), 在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素?cái)?shù).-孿生素?cái)?shù)無限(格點(diǎn)數(shù)論版).張 忠（言）江蘇省南通市崇川區(qū) 郵編：226002摘要: 本文依據(jù)同余理論, 通過格點(diǎn)二次篩法對聯(lián)立一元二次不同余方程組的解集: 的分析與驗(yàn)證, 發(fā)現(xiàn)整數(shù)的一個(gè)重要規(guī)律: 在前閉后開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè). 依據(jù)該規(guī)律, 本文證明了 “孿生素?cái)?shù)”無限.關(guān)鍵詞: 素?cái)?shù), 整數(shù)的多維式, 模, 不同余, 格點(diǎn)篩法, 集合的勢. 0. 引言. 大于的偶數(shù)是否都可表為二個(gè)奇素?cái)?shù)之和? 孿生素?cái)?shù)對是否無限? 這些都是一直困惑著人們的古老數(shù)論問題, 甚至許多大數(shù)學(xué)家都認(rèn)為: 人們至今也未能找到真正能解決這些問題的方法和途徑. 而本文謹(jǐn)用同余理論和篩法, 來揭示至少可解決“孿生素?cái)?shù)對無限”的一個(gè)重要規(guī)律.1. 基本慨念, 名詞, 定義及代(符)號的意義.1.1. 若無特別聲明, 本文中小寫字母表整數(shù), 大寫字母表整數(shù)集合. 例: , 表的歐拉數(shù), 表模的簡化剩余集,表素?cái)?shù)集合, 且 且. 1.2. 表集合的勢, 即集合內(nèi)元素的個(gè)數(shù). 1.3. 為同余符號, 為不同余符號.1.4. 整數(shù)的多維式. 若 , 則可將其記作: , 并稱其為的多維式,在不至引起誤解時(shí),可省略式中. 而由孫子定理與歐拉定理知: 012341.5. 定義一: 定義一元一次不同余方程, 為(素?cái)?shù))模之的(一次)篩, 簡記為, 例: 為: 而該不同余方程的解稱稱為的縮剩余, 為的縮剩余集. 作為特例, 當(dāng)時(shí), 稱為模的簡化剩余,為模的簡化剩余集.1.6. 定義二. 若: , , 則定義聯(lián)立(一次)不同余方程組: , 為(合數(shù))模之篩, 并簡記為: 或. 該聯(lián)立方程的解稱為(合數(shù))模之篩的(一次)縮剩余. 作為特例: 當(dāng)時(shí), 該聯(lián)立方程的解即模的簡化剩余.圖一: 的格點(diǎn)篩01234012340123401201201201201201010101010101001234567891011121314緊接下圖012340123401234012012012012012101010101010101151617181920212223242526272829緊 接上圖 由圖一: 可得模的最小正簡化剩余系: .1.7. 定義三: 若, 則定義不同余方程: ,為(素)模之(或)的二次篩, 并簡記為; 為的二次縮剩余, 為區(qū)別與模之其它二次篩的縮剩余, 模之篩的縮剩余記為或. 因當(dāng)且時(shí): 與分別為模的兩個(gè)不同剩余類, 但模之的二次篩與模之的二次篩相同, 故模之的二次篩與模之的二次篩為模之異名同類篩, 故知模之二次異名同類篩的二次縮剩余也相同. 模之篩系內(nèi)有且僅有類篩: ,.例一: 圖二為求的最小非負(fù)二次縮剩余系的格點(diǎn)圖解法:模70123-3-2-1N0123456圖二. :(注: 上圖列中含紅色格點(diǎn)的整數(shù)表示被篩除.)又: . 稱為篩的最小絕對值縮剩余系.1.8. 定義四. 若: , , 則定義不同余方程組: , 為(合數(shù))模之的二次篩: .的任一確定值稱為不同余方程組的(關(guān)于模的)一個(gè)解類(或特解). 從二次不同余方程組的各類解中任取一個(gè)值組成的集合為該二次不同余方程組 (關(guān)于模)的解系, 即的(關(guān)于模的)二次縮剩余系. 故知: 例二. 當(dāng), 時(shí): , 模之的最小非負(fù)二次縮剩余系可由圖三:獲知:; 也可將其表為模之的最小絕對值二次縮剩余系: . 圖三. 模 5012-2-1012-2-1012-2-1 模 301-101-101-101-101-1 模 2010101010101010 整 數(shù)01234567891011121314緊接 下圖012-2-1012-2-1012-2-101-101-101-101-101-1101010101010101151617181920212223242526272829緊 上接圖又因:, 所以: , 是模的二次異名同類篩, 故:, 且:=.1.9. 虛篩與實(shí)篩. 若: , 而同時(shí)被,篩除, 則稱被且僅被實(shí)篩, 而分別被,等虛篩; 若集合中有一元素被實(shí)篩, 則稱集合被實(shí)篩, 若集合中無一元素被實(shí)篩, 則稱集合被虛篩.2. 引理及定理.引理一. 受最大二次篩除的區(qū)間, 必分別受 () 的實(shí)篩.證: 設(shè)受最大二次篩除的區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)最少, 有且僅有個(gè), 且其中一個(gè). 現(xiàn)反設(shè)受()虛篩, 則由知, 必存在整數(shù): 且 , 故知: 則受模之二次篩的區(qū)間內(nèi)有且僅有個(gè),當(dāng)再受模之的二次篩時(shí), 必被實(shí)篩, 即受篩除的區(qū)間必受實(shí)篩, 內(nèi)最多僅有個(gè), 該結(jié)論與原設(shè)矛盾, 故知引理一成立.定理一. 若: , , 前閉后開區(qū)間, 模之篩的二次縮剩余系為:, , 則: 受模之最大二次篩的內(nèi)至少有一個(gè), 即: . (證明暫略! 詳情請見文后說明.)下面僅給出定理一的驗(yàn)證方法及當(dāng)時(shí)的驗(yàn)證結(jié)果,以供參考.(1) 當(dāng)時(shí): , , , 是模之的二次縮剩余集, ,模的二次篩系內(nèi)有且僅有類兩兩不同的篩: ,則由格點(diǎn)二次篩法可求: ,m 301-10m 20101N0123m 301-10m 20101N0123 m 301-10m 20101N0123m 301-10m 20101N0123 故知: . 故由驗(yàn)證知當(dāng)定理時(shí)一成立.(2) 當(dāng)時(shí): , , 篩系內(nèi)有且僅有類篩, 則由格點(diǎn)二次篩法可求:, , , , , , , , , .故由驗(yàn)證知當(dāng)時(shí): ,定理一成立!(3) 當(dāng)n=4時(shí): , , , 二次篩系內(nèi)有且僅有類篩. 由由驗(yàn)證知在集系中勢最小的集合有且僅有下列四類: ; ; .故由驗(yàn)證知當(dāng)時(shí): .定理一成立!(4) 當(dāng)時(shí): , , ,二次篩系內(nèi)有且僅有類篩.由驗(yàn)證知在集系中勢最小的集合有且僅有三類: , .故由驗(yàn)證知當(dāng)時(shí): .定理一成立.(5)當(dāng)時(shí): , , , 二次篩系內(nèi)有且僅有類篩.由驗(yàn)證知在集系中勢最小的集合有且僅有下列六類: (如若有誤, 敬請指正!), , , , .故由驗(yàn)證知當(dāng)時(shí): . 定理一成立.由上面驗(yàn)證知,當(dāng)時(shí): .定理一都成立. 定理二. 若: , , , 則: 在前閉后開區(qū)間內(nèi)至少有二個(gè).證: 由定理一知, 受最大篩除的前閉后開區(qū)間:內(nèi)至少有一個(gè), 而由引理一知: 必受的實(shí)篩, 至少被實(shí)篩去一個(gè). 故知在區(qū)間內(nèi)至少有二個(gè).3.命題證明.命題一. 若: , 則當(dāng)時(shí), 在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素?cái)?shù). 即: 孿生素?cái)?shù)無限.分析: 若存在偶數(shù): 使, 且, 則由素?cái)?shù)判別法知: 必為大于的孿生素?cái)?shù). 證: 素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)無限,若() 一旦確定, 則,及開區(qū)間也因之確定. 現(xiàn)令: , 且: 即: , 因: , 故只有二種可能: 或, 即: 或.由定理二知: 半開閉區(qū)間內(nèi)至少有二個(gè)偶數(shù), 使:, 故開區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)偶數(shù):使, 且:. 故由素?cái)?shù)判別法知: 必為孿生素?cái)?shù), 故知當(dāng)時(shí), 在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素?cái)?shù). 命題二成立. 驗(yàn)證: 當(dāng)時(shí): , ,.由定理二知在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素?cái)?shù).圖五. .m 5012-2-1012-2-1012-2-1012-2-1m 3-101-101-101-101-101-101-10m 21010101010101010101056789101112131415161718192021222324由圖五知在開區(qū)間 內(nèi)有且僅有二個(gè): ,故知在開區(qū)間內(nèi)有二對孿生素?cái)?shù): , .故由知: 當(dāng)時(shí)命題一成立! 當(dāng)時(shí): , ,.由命題一知在開區(qū)間內(nèi)至少有一對孿生素?cái)?shù).圖 .0123-3-2-10123-3-2-101232-2-1012-2-1012-2-1012-2-11-101-101-101-101-101-10101010101010101010789101112131415161718192021222324-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10012-2-1012-2-1012-2-10121-101-101-101-101-101-10101010101010101010252627282930313233343536373839404142123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-1012-2-1012-2-1012-2-101-101-101-101-101-101-10101010101010101010434445464748495051525354555657585960 由圖 得: , 故知在開區(qū)間內(nèi)有對孿生素?cái)?shù): ,:; ; ; .故由知當(dāng)時(shí)命題一成立!參考文獻(xiàn):1. 華羅庚. 數(shù)論導(dǎo)引. 科學(xué)出版社出版, 1957年第一版.2. 熊全淹. 初等數(shù)論. 湖北人民出版社出版, 1982年第一版.3. 閔嗣鶴, 嚴(yán)士健. 初等數(shù)論. 人民教育出版社出版, 1982年9月第二版.說明: 由于目前幾乎所有的數(shù)學(xué)家們都一致認(rèn)為: 用初等的方法是不可能證明孿生素?cái)?shù)想等數(shù)論難題的, 所以為避免該文遭遇本