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文檔簡介
精品文檔必修1第一章集合與函數(shù)基礎(chǔ)知識點(diǎn)整理第1講 1.1.1 集合的含義與表示學(xué)習(xí)目標(biāo):通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關(guān)系;能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用;掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個特征.知識要點(diǎn):1. 把一些元素組成的總體叫作集合(set),其元素具有三個特征,即確定性、互異性、無序性.2. 集合的表示方法有兩種:列舉法,即把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“ ”括起來,基本形式為,適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征來表示,基本形式為,既要關(guān)注代表元素x,也要把握其屬性,適用于無限集.3. 通常用大寫拉丁字母表示集合. 要記住一些常見數(shù)集的表示,如自然數(shù)集N,正整數(shù)集或,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實數(shù)集R.4. 元素與集合之間的關(guān)系是屬于(belong to)與不屬于(not belong to),分別用符號、表示,例如,.例題精講:【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)由方程的所有實數(shù)根組成的集合;(2)大于2且小于7的整數(shù).解:(1)用描述法表示為:; 用列舉法表示為.(2)用描述法表示為:; 用列舉法表示為.【例2】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨阂阎瑒t有: 17 A; 5 A; 17 B.解:由,解得,所以;由,解得,所以;由,解得,所以.【例3】試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海ń滩腜6 練習(xí)題2, P13 A組題4)(1)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合; (2)二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合;(3)反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合.解:(1).(2).(3).點(diǎn)評:以上代表元素,分別是點(diǎn)、函數(shù)值、自變量. 在解題中不能把點(diǎn)的坐標(biāo)混淆為,也注意對比(2)與(3)中的兩個集合,自變量的范圍和函數(shù)值的范圍,有著本質(zhì)上不同,分析時一定要細(xì)心.*【例4】已知集合,試用列舉法表示集合A解:化方程為:應(yīng)分以下三種情況:方程有等根且不是:由 =0,得,此時的解為,合方程有一解為,而另一解不是:將代入得,此時另一解,合方程有一解為,而另一解不是:將代入得,此時另一解為,合綜上可知,點(diǎn)評:運(yùn)用分類討論思想方法,研究出根的情況,從而列舉法表示. 注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.第2講 1.1.2 集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo):理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;在具體情境中,了解全集與空集的含義;能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.知識要點(diǎn):1. 一般地,對于兩個集合A、B,如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素,則說兩個集合有包含關(guān)系,其中集合A是集合B的子集(subset),記作(或),讀作“A含于B”(或“B包含A”).2. 如果集合A是集合B的子集(),且集合B是集合A的子集(),即集合A與集合B的元素是一樣的,因此集合A與集合B相等,記作. 3. 如果集合,但存在元素,且,則稱集合A是集合B的真子集(proper subset),記作AB(或BA).4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set),記作,并規(guī)定空集是任何集合的子集.5. 性質(zhì):;若,則; 若,則;若,則.例題精講:【例1】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨海?)菱形 平行四邊形; 等腰三角形 等邊三角形.(2) ; 0 0; 0; N 0.解:(1), ;(2)=, , ,.B A B C D【例2】設(shè)集合,則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是( ).解:簡單列舉兩個集合的一些元素,易知BA,故答案選A另解:由,易知BA,故答案選A【例3】若集合,且,求實數(shù)的值.解:由,因此,.(i)若時,得,此時,;(ii)若時,得. 若,滿足,解得.故所求實數(shù)的值為或或.點(diǎn)評:在考察“”這一關(guān)系時,不要忘記“” ,因為時存在. 從而需要分情況討論. 題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進(jìn)行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ax,ax2. 若A=B,求實數(shù)x的值.解:若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0,即a=0或x=1.當(dāng)a=0時,集合B中的元素均為0,故舍去;當(dāng)x=1時,集合B中的元素均相同,故舍去.若2ax2-ax-a=0.因為a0,所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1,所以只有.經(jīng)檢驗,此時A=B成立. 綜上所述.點(diǎn)評:抓住集合相等的定義,分情況進(jìn)行討論. 融入方程組思想,結(jié)合元素的互異性確定集合.第3講 1.1.3 集合的基本運(yùn)算(一)學(xué)習(xí)目標(biāo):理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集;理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義,會求給定子集的補(bǔ)集;能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算,體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.知識要點(diǎn):集合的基本運(yùn)算有三種,即交、并、補(bǔ),學(xué)習(xí)時先理解概念,并掌握符號等,再結(jié)合解題的訓(xùn)練,而達(dá)到掌握的層次. 下面以表格的形式歸納三種基本運(yùn)算如下.并集交集補(bǔ)集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集(union set)由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合,稱為集合A與B的交集(intersection set)對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合,稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集(complementary set)記號(讀作“A并B”)(讀作“A交B”)(讀作“A的補(bǔ)集”)符號圖形表示UA例題精講:【例1】設(shè)集合.AB-1359x解:在數(shù)軸上表示出集合A、B,如右圖所示:,【例2】設(shè),求:(1); (2).解:.(1)又,;(2)又,得. .【例3】已知集合,且,求實數(shù)m的取值范圍.-2 4 m xB A 4 m x解:由,可得.在數(shù)軸上表示集合A與集合B,如右圖所示:由圖形可知,.點(diǎn)評:研究不等式所表示的集合問題,常常由集合之間的關(guān)系,得到各端點(diǎn)之間的關(guān)系,特別要注意是否含端點(diǎn)的問題.【例4】已知全集,求, ,并比較它們的關(guān)系. 解:由,則. 由,則 由,則,.由計算結(jié)果可以知道,.另解:作出Venn圖,如右圖所示,由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.點(diǎn)評:可用Venn圖研究與 ,在理解的基礎(chǔ)記住此結(jié)論,有助于今后迅速解決一些集合問題.第4講 1.1.3 集合的基本運(yùn)算(二)學(xué)習(xí)目標(biāo):掌握集合、交集、并集、補(bǔ)集的有關(guān)性質(zhì),運(yùn)行性質(zhì)解決一些簡單的問題;掌握集合運(yùn)算中的一些數(shù)學(xué)思想方法.知識要點(diǎn):1. 含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域,分別對應(yīng)著這兩個集合運(yùn)算的結(jié)果. 我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運(yùn)算表示,解決一類可用列舉法表示的集合運(yùn)算. 通過圖形,我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì):,.2. 集合元素個數(shù)公式:.3. 在研究集合問題時,常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等. 也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.例題精講:【例1】設(shè)集合,若,求實數(shù)的值.解:由于,且,則有:當(dāng)解得,此時,不合題意,故舍去;當(dāng)時,解得.不合題意,故舍去;,合題意.所以,.【例2】設(shè)集合,求, .(教材P14 B組題2)解:.當(dāng)時,則,;當(dāng)時,則,;當(dāng)時,則,;當(dāng)且且時,則,.點(diǎn)評:集合A含有參數(shù)a,需要對參數(shù)a進(jìn)行分情況討論. 羅列參數(shù)a的各種情況時,需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運(yùn)算結(jié)果的可能而進(jìn)行分析,不多不少是分類的原則.【例3】設(shè)集合A =|, B =|,若AB=B,求實數(shù)的值解:先化簡集合A=. 由AB=B,則BA,可知集合B可為,或為0,或4,或.(i)若B=,則,解得;(ii)若B,代入得=0=1或=,當(dāng)=1時,B=A,符合題意;當(dāng)=時,B=0A,也符合題意(iii)若4B,代入得=7或=1,當(dāng)=1時,已經(jīng)討論,符合題意;當(dāng)=7時,B=12,4,不符合題意綜上可得,=1或點(diǎn)評:此題考查分類討論的思想,以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用. 通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換,及集合之間的關(guān)系,可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題,這是數(shù)學(xué)中的化歸思想,是重要數(shù)學(xué)思想方法解該題時,特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了A=B和B=的情形,從而造成錯誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題. 【例4】對集合A與B,若定義,當(dāng)集合,集合時,有= . (由教材P12 補(bǔ)集定義“集合A相對于全集U的補(bǔ)集為”而拓展)解:根據(jù)題意可知,由定義,則.點(diǎn)評:運(yùn)用新定義解題是學(xué)習(xí)能力的發(fā)展,也是一種創(chuàng)新思維的訓(xùn)練,關(guān)鍵是理解定義的實質(zhì)性內(nèi)涵,這里新定義的含義是從A中排除B的元素. 如果再給定全集U,則也相當(dāng)于.第5講 1.2.1 函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo):通過豐富實例,進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.知識要點(diǎn):1. 設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于集合A中的任意一個數(shù),在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么就稱:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function),記作=,其中,x叫自變量,x的取值范圍A叫作定義域(domain),與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫值域(range).2. 設(shè)a、b是兩個實數(shù),且ab,則:x|axba,b 叫閉區(qū)間; x|axb(a,b) 叫開區(qū)間;x|axb, x|a1, f()=()3+()-3=2+=,即ff(0)=.【例3】畫出下列函數(shù)的圖象:(1); (教材P26 練習(xí)題3)(2). 解:(1)由絕對值的概念,有.所以,函數(shù)的圖象如右圖所示.(2),所以,函數(shù)的圖象如右圖所示. 點(diǎn)評:含有絕對值的函數(shù)式,可以采用分零點(diǎn)討論去絕對值的方法,將函數(shù)式化為分段函數(shù),然后根據(jù)定義域的分段情況,選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù),例如,當(dāng)時,寫出的解析式,并作出函數(shù)的圖象. 解:. 函數(shù)圖象如右:點(diǎn)評:解題關(guān)鍵是理解符號的概念,抓住分段函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)式.第7講 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo):通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義;學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念,掌握增(減)函數(shù)的證明和判別.知識要點(diǎn):1. 增函數(shù):設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasing function). 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),就說f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的(如右圖1),減函數(shù)的圖象從左向右是下降的(如右圖2). 由此,可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟:設(shè)x、x給定區(qū)間,且xx;計算f(x)f(x) 判斷符號下結(jié)論.例題精講:【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.解:任取(0,1),且. 則. 由于,故,即. 所以,函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù). 【例2】求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.解:設(shè)任意,且. 則 .若,當(dāng)時,有,即,從而,即,所以在上單調(diào)遞增. 同理可得在上單調(diào)遞減.【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1);(2).解:(1),其圖象如右. 由圖可知,函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).(2),其圖象如右.由圖可知,函數(shù)在、上是增函數(shù),在、上是減函數(shù).點(diǎn)評:函數(shù)式中含有絕對值,可以采用分零點(diǎn)討論去絕對值的方法,將函數(shù)式化為分段函數(shù). 第2小題也可以由偶函數(shù)的對稱性,先作y軸右側(cè)的圖象,并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè),得到的圖象. 由圖象研究單調(diào)性,關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.【例4】已知,指出的單調(diào)區(qū)間.解: , 把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位,再沿y軸向上平移3個單位,得到的圖象,如圖所示.由圖象得在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增.點(diǎn)評:變形后結(jié)合平移知識,由平移變換得到一類分式函數(shù)的圖象. 需知平移變換規(guī)律. 第8講 1.3.1 函數(shù)最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo):通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的最大(?。┲导捌鋷缀我饬x;學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(?。┲?知識要點(diǎn):1. 定義最大值:設(shè)函數(shù)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:對于任意的xI,都有M;存在x0I,使得 = M. 那么,稱M是函數(shù)的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定義,可以給出最小值(Minimum Value)的定義.2. 配方法:研究二次函數(shù)的最大(?。┲?,先配方成后,當(dāng)時,函數(shù)取最小值為;當(dāng)時,函數(shù)取最大值.3. 單調(diào)法:一些函數(shù)的單調(diào)性,比較容易觀察出來,或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4. 圖象法:先作出其函數(shù)圖象后,然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.例題精講:【例1】求函數(shù)的最大值.解:配方為,由,得.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】某商人如果將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元售出時,每天可售出100件. 現(xiàn)在他采用提高售出價,減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤,已知這種商品每件提價1元,其銷售量就要減少10件,問他將售出價定為多少元時,才能使每天所賺得的利潤最大?并求出最大利潤. 解:設(shè)他將售出價定為x元,則提高了元,減少了件,所賺得的利潤為.即. 當(dāng)時,.所以,他將售出價定為14元時,才能使每天所賺得的利潤最大, 最大利潤為360元.【例3】求函數(shù)的最小值. 解:此函數(shù)的定義域為,且函數(shù)在定義域上是增函數(shù), 所以當(dāng)時,函數(shù)的最小值為2.點(diǎn)評:形如的函數(shù)最大值或最小值,可以用單調(diào)性法研究,也可以用換元法研究.【另解】令,則,所以,在時是增函數(shù),當(dāng)時,故函數(shù)的最小值為2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值:(1); (2).解:(1)二次函數(shù)的對稱軸為,即.畫出函數(shù)的圖象,由圖可知,當(dāng)時,; 當(dāng)時,. 所以函數(shù)的最大值為4,最小值為.(2).作出函數(shù)的圖象,由圖可知,. 所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為-3.點(diǎn)評:二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值,常根據(jù)閉區(qū)間與對稱軸的關(guān)系,結(jié)合圖象進(jìn)行分析. 含絕對值的函數(shù),常分零點(diǎn)討論去絕對值,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行研究. 分段函數(shù)的圖象注意分段作出.第9講 1.3.2 函數(shù)的奇偶性學(xué)習(xí)目標(biāo):結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的含義;學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義,能熟練判別函數(shù)的奇偶性.知識要點(diǎn):1. 定義:一般地,對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有,那么函數(shù)叫偶函數(shù)(even function). 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有),那么函數(shù)叫奇函數(shù)(odd function).2. 具有奇偶性的函數(shù)其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對稱.3. 判別方法:先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,再用比較法、計算和差、比商法等判別與的關(guān)系.例題精講:【例1】判別下列函數(shù)的奇偶性:(1); (2);(3).解:(1)原函數(shù)定義域為,對于定義域的每一個x,都有 , 所以為奇函數(shù).(2)原函數(shù)定義域為R,對于定義域的每一個x,都有 ,所以為偶函數(shù).(3)由于,所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【例2】已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且,求、.解: 是奇函數(shù),是偶函數(shù), ,. 則,即.兩式相減,解得;兩式相加,解得.【例3】已知是偶函數(shù),時,求時的解析式.解:作出函數(shù)的圖象,其頂點(diǎn)為. 是偶函數(shù), 其圖象關(guān)于y軸對稱. 作出時的圖象,其頂點(diǎn)為,且與右側(cè)形狀一致, 時,.點(diǎn)評:此題中的函數(shù)實質(zhì)就是. 注意兩拋物線形狀一致,則二次項系數(shù)a的絕對值相同. 此類問題,我們也可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來求,過程如下.【另解】當(dāng)時,又由于是偶函數(shù),則,所以,當(dāng)時,.【例4】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且在區(qū)間上是減函數(shù),實數(shù)a滿足不等式,求實數(shù)a的取值范圍.解: 在區(qū)間上是減函數(shù), 的圖象在y軸左側(cè)遞減.又 是奇函數(shù), 的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,則在y軸右側(cè)同樣遞減.又 ,解得, 所以的圖象在R上遞減. , ,解得.點(diǎn)評:定義在R上的奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn). 由圖象對稱性可以得到,奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.集合與函數(shù)基礎(chǔ)測試一、選擇題(共12小題,每題5分,四個選項中只有一個符合要求)1函數(shù)yx26x10在區(qū)間(2,4)上是()A遞減函數(shù)B遞增函數(shù)C先遞減再遞增D選遞增再遞減2方程組的解構(gòu)成的集合是 ( )A B C(1,1) D3已知集合A=a,b,c,下列可以作為集合A的子集的是 ( )A. a B. a,c C. a,e D.a,b,c,d4下列圖形中,表示的是 ( )MNDNMCMNBMNA5下列表述正確的是 ( )A. B. C. D. 6、設(shè)集合Ax|x參加自由泳的運(yùn)動員,Bx|x參加蛙泳的運(yùn)動員,對于“既參 加自由泳又參加蛙泳的運(yùn)動員”用集合運(yùn)算表示為 ( )A.AB B.AB C.AB D.AB7.集合A=x ,B= ,C=又則有( ) A. (a+b) A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一個8函數(shù)f(x)x22(a1)x2在(,4)上是增函數(shù),則a的范圍是()Aa5Ba3Ca3Da59.滿足條件1,2,3M1,2,
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