高一數學必修一 第一章 知識點與習題講解.doc

精品文檔必修1第一章集合與函數基礎知識點整理第1講 1.1.1 集合的含義與表示學習目標：通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；掌握集合的表示方法、常用數集及其記法、集合元素的三個特征.知識要點：1. 把一些元素組成的總體叫作集合（set），其元素具有三個特征，即確定性、互異性、無序性.2. 集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來，基本形式為，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為，既要關注代表元素x，也要把握其屬性，適用于無限集.3. 通常用大寫拉丁字母表示集合. 要記住一些常見數集的表示，如自然數集N，正整數集或，整數集Z，有理數集Q，實數集R.4. 元素與集合之間的關系是屬于（belong to）與不屬于（not belong to），分別用符號、表示，例如，.例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有實數根組成的集合；（2）大于2且小于7的整數.解：（1）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.（2）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.【例2】用適當的符號填空：已知，則有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】試選擇適當的方法表示下列集合：（教材P6 練習題2， P13 A組題4）（1）一次函數與的圖象的交點組成的集合； （2）二次函數的函數值組成的集合；（3）反比例函數的自變量的值組成的集合.解：（1）.（2）.（3）.點評：以上代表元素，分別是點、函數值、自變量. 在解題中不能把點的坐標混淆為，也注意對比（2）與（3）中的兩個集合，自變量的范圍和函數值的范圍，有著本質上不同，分析時一定要細心.*【例4】已知集合，試用列舉法表示集合A解：化方程為：應分以下三種情況：方程有等根且不是：由 =0，得，此時的解為，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解為，合綜上可知，點評：運用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示. 注意分式方程易造成增根的現象.第2講 1.1.2 集合間的基本關系學習目標：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義；能利用Venn圖表達集合間的關系.知識要點：1. 一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，則說兩個集合有包含關系，其中集合A是集合B的子集（subset），記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A與集合B的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，記作. 3. 如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset），記作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.5. 性質：；若，則； 若，則；若，則.例題精講：【例1】用適當的符號填空：（1）菱形 平行四邊形； 等腰三角形 等邊三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】設集合，則下列圖形能表示A與B關系的是（ ）.解：簡單列舉兩個集合的一些元素，易知BA，故答案選A另解：由，易知BA，故答案選A【例3】若集合，且，求實數的值.解：由，因此，.（i）若時，得，此時，；（ii）若時，得. 若,滿足，解得.故所求實數的值為或或.點評：在考察“”這一關系時，不要忘記“” ，因為時存在. 從而需要分情況討論. 題中討論的主線是依據待定的元素進行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若A=B，求實數x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.當a=0時，集合B中的元素均為0，故舍去；當x=1時，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0.因為a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.經檢驗，此時A=B成立. 綜上所述.點評：抓住集合相等的定義，分情況進行討論. 融入方程組思想，結合元素的互異性確定集合.第3講 1.1.3 集合的基本運算（一）學習目標：理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.知識要點：集合的基本運算有三種，即交、并、補，學習時先理解概念，并掌握符號等，再結合解題的訓練，而達到掌握的層次. 下面以表格的形式歸納三種基本運算如下.并集交集補集概念由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（union set）由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集（intersection set）對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集（complementary set）記號（讀作“A并B”）（讀作“A交B”）（讀作“A的補集”）符號圖形表示UA例題精講：【例1】設集合.AB-1359x解：在數軸上表示出集合A、B，如右圖所示：，【例2】設，求：（1）； （2）.解：.（1）又，；（2）又，得. .【例3】已知集合，且，求實數m的取值范圍.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在數軸上表示集合A與集合B，如右圖所示：由圖形可知，.點評：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關系，得到各端點之間的關系，特別要注意是否含端點的問題.【例4】已知全集，求， ，并比較它們的關系. 解：由，則. 由，則 由，則，.由計算結果可以知道，.另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結果.點評：可用Venn圖研究與 ，在理解的基礎記住此結論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第4講 1.1.3 集合的基本運算（二）學習目標：掌握集合、交集、并集、補集的有關性質，運行性質解決一些簡單的問題；掌握集合運算中的一些數學思想方法.知識要點：1. 含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域，分別對應著這兩個集合運算的結果. 我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運算. 通過圖形，我們還可以發(fā)現一些集合性質：,.2. 集合元素個數公式：.3. 在研究集合問題時，常常用到分類討論思想、數形結合思想等. 也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.例題精講：【例1】設集合，若，求實數的值.解：由于，且，則有：當解得，此時，不合題意，故舍去；當時，解得.不合題意，故舍去；，合題意.所以，.【例2】設集合，求, .（教材P14 B組題2）解：.當時，則，；當時，則，；當時，則，；當且且時，則，.點評：集合A含有參數a，需要對參數a進行分情況討論. 羅列參數a的各種情況時，需依據集合的性質和影響運算結果的可能而進行分析，不多不少是分類的原則.【例3】設集合A =|， B =|，若AB=B，求實數的值解：先化簡集合A=. 由AB=B，則BA，可知集合B可為，或為0，或4，或.(i)若B=，則，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，當=1時，B=A，符合題意；當=時，B=0A，也符合題意(iii)若4B，代入得=7或=1，當=1時，已經討論，符合題意；當=7時，B=12，4，不符合題意綜上可得，=1或點評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關系的應用. 通過深刻理解集合表示法的轉換，及集合之間的關系，可以把相關問題化歸為解方程的問題，這是數學中的化歸思想，是重要數學思想方法解該題時，特別容易出現的錯誤是遺漏了A=B和B=的情形，從而造成錯誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題. 【例4】對集合A與B，若定義，當集合，集合時，有= . （由教材P12 補集定義“集合A相對于全集U的補集為”而拓展）解：根據題意可知，由定義，則.點評：運用新定義解題是學習能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓練，關鍵是理解定義的實質性內涵，這里新定義的含義是從A中排除B的元素. 如果再給定全集U，則也相當于.第5講 1.2.1 函數的概念學習目標：通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域.知識要點：1. 設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個函數（function），記作=，其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合叫值域（range）.2. 設a、b是兩個實數，且ab，則：x|axba,b 叫閉區(qū)間； x|axb(a,b) 叫開區(qū)間；x|axb， x|a1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】畫出下列函數的圖象：（1）； （教材P26 練習題3）（2）. 解：（1）由絕對值的概念，有.所以，函數的圖象如右圖所示.（2），所以，函數的圖象如右圖所示. 點評：含有絕對值的函數式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數式化為分段函數，然后根據定義域的分段情況，選擇相應的解析式作出函數圖象.【例4】函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，當時，寫出的解析式，并作出函數的圖象. 解：. 函數圖象如右：點評：解題關鍵是理解符號的概念，抓住分段函數的對應函數式.第7講 1.3.1 函數的單調性學習目標：通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性及其幾何意義；學會運用函數圖像理解和研究函數的性質. 理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增（減）函數的證明和判別.知識要點：1. 增函數：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數（increasing function）. 仿照增函數的定義可定義減函數.2. 如果函數f(x)在某個區(qū)間D上是增函數或減函數，就說f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫f(x)的單調區(qū)間. 在單調區(qū)間上，增函數的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數的圖象從左向右是下降的（如右圖2）. 由此，可以直觀觀察函數圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數的單調區(qū)間及單調性.3. 判斷單調性的步驟：設x、x給定區(qū)間，且xx；計算f(x)f(x) 判斷符號下結論.例題精講：【例1】試用函數單調性的定義判斷函數在區(qū)間（0，1）上的單調性.解：任取(0,1)，且. 則. 由于，故，即. 所以，函數在（0，1）上是減函數. 【例2】求二次函數的單調區(qū)間及單調性.解：設任意，且. 則 .若，當時，有，即，從而，即，所以在上單調遞增. 同理可得在上單調遞減.【例3】求下列函數的單調區(qū)間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右. 由圖可知，函數在上是增函數，在上是減函數.（2），其圖象如右.由圖可知，函數在、上是增函數，在、上是減函數.點評：函數式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數式化為分段函數. 第2小題也可以由偶函數的對稱性，先作y軸右側的圖象，并把y軸右側的圖象對折到左側，得到的圖象. 由圖象研究單調性，關鍵在于正確作出函數圖象.【例4】已知，指出的單調區(qū)間.解： ， 把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調遞增，在上單調遞增.點評：變形后結合平移知識，由平移變換得到一類分式函數的圖象. 需知平移變換規(guī)律. 第8講 1.3.1 函數最大（?。┲祵W習目標：通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的最大（小）值及其幾何意義；學會運用函數圖像理解和研究函數的性質. 能利用單調性求函數的最大（?。┲?知識要點：1. 定義最大值：設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，稱M是函數的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定義，可以給出最小值（Minimum Value）的定義.2. 配方法：研究二次函數的最大（?。┲?，先配方成后，當時，函數取最小值為；當時，函數取最大值.3. 單調法：一些函數的單調性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的最大值或最小值.4. 圖象法：先作出其函數圖象后，然后觀察圖象得到函數的最大值或最小值.例題精講：【例1】求函數的最大值.解：配方為，由，得.所以函數的最大值為8.【例2】某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可售出100件. 現在他采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤. 解：設他將售出價定為x元，則提高了元，減少了件，所賺得的利潤為.即. 當時，.所以，他將售出價定為14元時，才能使每天所賺得的利潤最大, 最大利潤為360元.【例3】求函數的最小值. 解：此函數的定義域為，且函數在定義域上是增函數， 所以當時，函數的最小值為2.點評：形如的函數最大值或最小值，可以用單調性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，則，所以，在時是增函數，當時，故函數的最小值為2.【例4】求下列函數的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函數的對稱軸為，即.畫出函數的圖象，由圖可知，當時，； 當時，. 所以函數的最大值為4,最小值為.（2）.作出函數的圖象，由圖可知，. 所以函數的最大值為3, 最小值為-3.點評：二次函數在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據閉區(qū)間與對稱軸的關系，結合圖象進行分析. 含絕對值的函數，常分零點討論去絕對值，轉化為分段函數進行研究. 分段函數的圖象注意分段作出.第9講 1.3.2 函數的奇偶性學習目標：結合具體函數，了解奇偶性的含義；學會運用函數圖像理解和研究函數的性質. 理解奇函數、偶函數的幾何意義，能熟練判別函數的奇偶性.知識要點：1. 定義：一般地，對于函數定義域內的任意一個x，都有，那么函數叫偶函數（even function）. 如果對于函數定義域內的任意一個x，都有），那么函數叫奇函數（odd function）.2. 具有奇偶性的函數其定義域關于原點對稱，奇函數的圖象關于原點中心對稱，偶函數圖象關于y軸軸對稱.3. 判別方法：先考察定義域是否關于原點對稱，再用比較法、計算和差、比商法等判別與的關系.例題精講：【例1】判別下列函數的奇偶性：（1）； （2）；（3）.解：（1）原函數定義域為，對于定義域的每一個x，都有 ， 所以為奇函數.（2）原函數定義域為R，對于定義域的每一個x，都有 ，所以為偶函數.（3）由于，所以原函數為非奇非偶函數.【例2】已知是奇函數，是偶函數，且，求、.解： 是奇函數，是偶函數， ，. 則，即.兩式相減，解得；兩式相加，解得.【例3】已知是偶函數，時，求時的解析式.解：作出函數的圖象，其頂點為. 是偶函數， 其圖象關于y軸對稱. 作出時的圖象，其頂點為，且與右側形狀一致， 時，.點評：此題中的函數實質就是. 注意兩拋物線形狀一致，則二次項系數a的絕對值相同. 此類問題，我們也可以直接由函數奇偶性的定義來求，過程如下.【另解】當時，又由于是偶函數，則，所以，當時，.【例4】設函數是定義在R上的奇函數，且在區(qū)間上是減函數，實數a滿足不等式，求實數a的取值范圍.解： 在區(qū)間上是減函數， 的圖象在y軸左側遞減.又 是奇函數， 的圖象關于原點中心對稱，則在y軸右側同樣遞減.又 ，解得， 所以的圖象在R上遞減. ， ，解得.點評：定義在R上的奇函數的圖象一定經過原點. 由圖象對稱性可以得到，奇函數在關于原點對稱區(qū)間上單調性一致，偶函數在關于原點對稱區(qū)間上的單調性相反.集合與函數基礎測試一、選擇題(共12小題，每題5分，四個選項中只有一個符合要求)1函數yx26x10在區(qū)間（2，4）上是（）A遞減函數B遞增函數C先遞減再遞增D選遞增再遞減2方程組的解構成的集合是 （ ）A B C（1，1） D3已知集合A=a，b，c,下列可以作為集合A的子集的是 （ ）A. a B. a，c C. a，e D.a，b，c，d4下列圖形中，表示的是 （ ）MNDNMCMNBMNA5下列表述正確的是 （ ）A. B. C. D. 6、設集合Ax|x參加自由泳的運動員，Bx|x參加蛙泳的運動員，對于“既參 加自由泳又參加蛙泳的運動員”用集合運算表示為 ( )A.AB B.AB C.AB D.AB7.集合A=x ,B= ,C=又則有（ ） A. （a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一個8函數f（x）x22（a1）x2在（，4）上是增函數，則a的范圍是（）Aa5Ba3Ca3Da59.滿足條件1,2,3M1,2,