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此文檔收集于網(wǎng)絡(luò),僅供學(xué)習(xí)與交流,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除名校專題-圓錐曲線培優(yōu)訓(xùn)練51、設(shè)橢圓E: (a,b0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點 ()求橢圓E的方程; ()是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B, 且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。解:(1)因為橢圓E: (a,b0)過M(2,),N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為 4分(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即 要使,需使,即,所以,所以又, 所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且因為,所以, 8分當(dāng)時,因為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”時,當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時, 12分綜上, |AB |的取值范圍為即: 14分2、如圖,已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線l在軸上的截距為,l交橢圓于A、B兩個不同點 (1)求橢圓的方程; (2)求m的取值范圍; (3)求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形 解:(1)設(shè)橢圓方程為 則 2分橢圓方程 4分 (2)直線l平行于OM,且在軸上的截距為m,又 l的方程為:由 6分直線l與橢圓交于A、B兩個不同點, m的取值范圍是 (3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1k2=0即可設(shè)可得 8分而 10分k1k2=0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 12分3已知橢圓:()過點,其左、右焦點分別為,且(1)求橢圓的方程;(2)若是直線上的兩個動點,且,則以為直徑的圓是否過定點?請說明理由解:(1)設(shè)點的坐標(biāo)分別為,則故,可得, 2分所以,4分故,所以橢圓的方程為 6分(2)設(shè)的坐標(biāo)分別為,則,又,可得,即, 8分又圓的圓心為半徑為,故圓的方程為,即,也就是, 11分令,可得或2,故圓必過定點和 13分(另法:(1)中也可以直接將點坐標(biāo)代入橢圓方程來進(jìn)行求解;(2)中可利用圓C直徑的兩端點直接寫出圓的方程)4、已知點是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,點到直線的距離為,到點的距離為,且(1)求動點P所在曲線C的方程;(2)直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上),分別過A、B點作直線的垂線,對應(yīng)的垂足分別為,試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況);(3)記,(A、B、是(2)中的點),問是否存在實數(shù),使成立若存在,求出的值;若不存在,請說明理由進(jìn)一步思考問題:若上述問題中直線、點、曲線C:,則使等式成立的的值仍保持不變請給出你的判斷 (填寫“不正確”或“正確”)(限于時間,這里不需要舉反例,或證明)解(1) 設(shè)動點為,依據(jù)題意,有,化簡得 3分因此,動點P所在曲線C的方程是:4分(2) 點F在以MN為直徑的圓的外部理由:由題意可知,當(dāng)過點F的直線的斜率為0時,不合題意,故可設(shè)直線:,如圖所示 5分聯(lián)立方程組,可化為,則點的坐標(biāo)滿足 7分又、,可得點、因,則=9分于是,為銳角,即點F在以MN為直徑的圓的外部 10分(3)依據(jù)(2)可算出,則 , 14分所以,即存在實數(shù)使得結(jié)論成立 15分 對進(jìn)一步思考問題的判斷:正確 18分5、已知點是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,點到直線(是正常數(shù))的距離為,到點的距離為,且1(1)求動點P所在曲線C的方程;(2)直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B,分別過A、B點作直線的垂線,對應(yīng)的垂足分別為,求證=;(3)記,(A、B、是(2)中的點),求的值解(1) 設(shè)動點為,依據(jù)題意,有,化簡得4分因此,動點P所在曲線C的方程是: 6分由題意可知,當(dāng)過點F的直線的斜率為0時,不合題意,故可設(shè)直線:,如圖所示 8分聯(lián)立方程組,可化為,則點的坐標(biāo)滿足 10分又、,可得點、于是,因此 12分(3)依據(jù)(2)可算出,則 , 16分所以,即為所求 18分6、已知:橢圓(),過點,的直線傾斜角為,原點到該直線的距離為(1)求橢圓的方程; (2)斜率大于零的直線過與橢圓交于,兩點,若,求直線的方程;(3)是否存在實數(shù),直線交橢圓于,兩點,以為直徑的圓過點?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由解:(1)由, ,得,所以橢圓方程是:4分(2)設(shè)EF:()代入,得,設(shè),由,得由,8分得,(舍去),(沒舍去扣1分)直線的方程為:即10分(3)將代入,得(*)記,PQ為直徑的圓過,則,即,又,得14分解得,此時(*)方程,存在,滿足題設(shè)條件16分7、已知點,動點滿足條件,記動點的軌跡為。(1)求的方程;(2)過作直線交曲線于兩點,使得2,求直線的方程。(3)若從動點向圓:作兩條切線,切點為、,令|PC|=d,試用d來表示,并求的取值范圍。解:(1)由,知點的軌跡是以為焦點,實軸長為的雙曲線即設(shè),所以所求的的方程為 4分(2)若k不存在,即x=2時,可得A(2,),B(2,-),|AB|=2滿足題意; 5分若k存在,可設(shè)l:y=k(x-2)聯(lián)立,由題意知且 6分設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= 即 =2 k=0 即l:y=0 8分所以直線l的方程為 x=0或y=0 9分(3) 又則- 13分在是增函數(shù), 則所求的的范圍為。 16分8、在平面直角坐標(biāo)系中,已知焦距為4的橢圓的左、右頂點分別為,橢圓的右焦點為,過作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于,若線段的長為。(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是直線上的點,直線與橢圓分別交于點,求證:直線必過軸上的一定點,并求出此定點的坐標(biāo);(3)實際上,第(2)小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線,請你對拋物線寫出一個更一般的結(jié)論,并加以證明。 A B Q O M N x y 9(1)依題意,橢圓過點,故,解得。(3分)橢圓的方程為。(4分)(2)設(shè),直線的方程為,(5分)代入橢圓方程,得, (6分)設(shè),則,(7分),故點的坐標(biāo)為。(8分)同理,直線的方程為,代入橢圓方程,得,設(shè),則,??傻命c的坐標(biāo)為。(10分)若時,直線的方程為,與軸交于點;若,直線的方程為,令,解得。綜上所述,直線必過軸上的定點。(12分)(3)結(jié)論:已知拋物線的頂點為,為直線上一動點,過點作軸的平行線與拋物線交于點,直線與拋物線交于點,則直線必過定點。(14分)證明:設(shè),則, P O M N x y 直線的方程為,代入,得,可求得。(16分)直線的方程為,令,得,即直線必過定點。(18分)9、已知橢圓中心為,右頂點為,過定點作直線交橢圓于、兩點.(1)若直線與軸垂直,求三角形面積的最大值; (2)若,直線的斜率為,求證:;(3)直線和的斜率的乘積是否為非零常數(shù)?請說明理由.解:設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為.(1)把代入可得:, (2分)則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 (4分)(2)由得,(6分)所以 (9分)(3)直線和的斜率的乘積是一個非零常數(shù). (11分)當(dāng)直線與軸不垂直時,可設(shè)直線方程為:,由消去整理得則 又 (13分)所以(15分)當(dāng)直線與軸垂直時,由得兩交點,顯然.所以直線和的斜率的乘積是一個非零常數(shù).(16分)10、定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。若橢圓,判斷與是否相似?如果相似,求出與的相似比;如果不相似,請說明理由;寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱,求實數(shù)的取值范圍?如圖:直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點,證明:23解:(1)橢圓與相似。-2分因為橢圓的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,因此兩個等腰三角形相似,且相似比為-4分(2)橢圓的方程為:-6分設(shè),點,中點為,則,所以-8分則 -9分因為中點在直線
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