線性代數(shù)試題及答案.doc

2011-2012-2線性代數(shù)46學(xué)時期末試卷(A)考試方式：閉卷 考試時間： 一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是的（ A） () 列向量組線性無關(guān)， （） 列向量組線性相關(guān)， （）行向量組線性無關(guān)， （） 行向量組線性相關(guān)2向量線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則（ C ）。 () 必可由線性表出， （）必不可由線性表出，（）必可由線性表出， （）必不可由線性表出.3. 二次型，當(dāng)滿足（ C ）時，是正定二次型 ()；（）；（）；（）4初等矩陣（A）；() 都可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣；（） 所對應(yīng)的行列式的值都等于1；（） 相乘仍為初等矩陣； （） 相加仍為初等矩陣5已知線性無關(guān)，則（C ）A. 必線性無關(guān)；B. 若為奇數(shù)，則必有線性相關(guān)；C. 若為偶數(shù)，則必有線性相關(guān)；D. 以上都不對。二、填空題（每小題3分，共15分）6實二次型秩為2，則 7設(shè)矩陣，則 8設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，已知，則的特征值為 。9行列式=_ _;10. 設(shè)A是43矩陣，若，則=_；三、計算題（每小題10分，共50分）11求行列式的值。 12設(shè)矩陣，矩陣滿足，求。13 求線性方程組的通解。14已知，求出它的秩及其一個最大無關(guān)組。15.設(shè)為三階矩陣，有三個不同特征值依次是屬于特征值的特征向量，令, 若，求的特征值并計算行列式.四、解答題（10分）16. 已知，求五、證明題（每小題5分，共10分）17.設(shè)是非齊次線性方程組的一個特解，為對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，證明：向量組線性無關(guān)。18. 已知與都是階正定矩陣，判定是否為正定矩陣，說明理由.2010-2011-2線性代數(shù)期末試卷(本科A)考試方式：閉卷統(tǒng)考 考試時間：2011.5.28 一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)為階矩陣，下列運算正確的是（ ）。 A. B. C. D. 若可逆，則；2下列不是向量組線性無關(guān)的必要條件的是（ ）。A都不是零向量; B. 中至少有一個向量可由其余向量線性表示;C. 中任意兩個向量都不成比例; D. 中任一部分組線性無關(guān);3. 設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是的（ ）。A列向量組線性無關(guān)； B. 列向量組線性相關(guān)；C. 行向量組線性無關(guān)； D. 行向量組線性相關(guān)；4 如果（ ），則矩陣A與矩陣B相似。A. ； B. ； C. 與有相同的特征多項式； D. 階矩陣與有相同的特征值且個特征值各不相同；5二次型，當(dāng)滿足（ ）時，是正定二次型。A. ； B. ； C. ； D. 。二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)，則 ；7設(shè) 為行列式中元素的代數(shù)余子式，則 ；8= ；9已知向量組線性無關(guān)，則向量組的秩為 ；10. 設(shè)為階方陣， ， 且， 則的一個特征值 ；三、計算題（每小題10分，共50分）11設(shè)，求。12設(shè)三階方陣，滿足方程，試求矩陣以及行列式，其中。13已知，且滿足，其中為單位矩陣，求矩陣。14取何值時，線性方程組無解，有唯一解或有無窮多解？當(dāng)有無窮多解時，求通解。15.設(shè)，求該向量組的秩和一個極大無關(guān)組。四、解答題（10分）16已知三階方陣的特征值1，2，3對應(yīng)的特征向量分別為，。其中：，。（1）將向量用，線性表示；（2）求，為自然數(shù)。5、 證明題（每小題5分，共10分）17設(shè)是階方陣，且，；證明：有非零解。18 已知向量組(I) 的秩為3，向量組(II) 的秩為3，向量組(III) 的秩為4，證明向量組的秩為4。2010-2011-1線性代數(shù)期末試卷(本科A)考試方式：閉卷統(tǒng)考 考試時間：2010.12.19一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1滿足下列條件的行列式不一定為零的是（ ）。(A）行列式的某行（列）可以寫成兩項和的形式;（B）行列式中有兩行（列）元素完全相同; （C）行列式中有兩行（列）元素成比例; （D）行列式中等于零的個數(shù)大于個.2下列矩陣中（ ）不滿足。(A）; （B）; （C）; （D）.3. 設(shè)為同階可逆方陣,則( )。(A)； (B) 存在可逆矩陣；(C) 存在可逆矩陣； (D) 存在可逆矩陣.4向量組線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）（A）均不為零向量；（B）中有一部分向量組線性無關(guān)；（C）中任意兩個向量的分量不對應(yīng)成比例；（D）中任意一個向量都不能由其余個向量線性表示。5零為方陣A的特征值是A不可逆的（ ）。（A）充分條件； （B）充要條件; （C）必要條件; （D）無關(guān)條件;二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)，則= ；7已知設(shè)則 ；8設(shè)是三階方陣，且，則 ；9已知向量組則該向量組的秩為 ;10. 已知，且于相似，則 。三、計算題（每小題10分，共50分）11 12 12已知3階非零矩陣的每一列都是方程組 的解.求的值；證明.13設(shè)3階矩陣滿足等式,其中 求矩陣。14求向量組 的秩及最大無關(guān)組。15. 設(shè)1.求二次型所對應(yīng)的矩陣； 2. 求的特征值和對應(yīng)的特征向量。四、解答題（10分）16 ， 已知向量試討論為何值時（1）不能用線性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不唯一，并求出表示式。五、證明題（每小題5分，共10分）17設(shè)是一組維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示。18設(shè)為對稱矩陣，為反對稱矩陣，且可交換，可逆，證明：是正交矩陣。武漢科技大學(xué)2010-2011-2線性代數(shù)期末試卷(本科A)解答與參考評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)為階矩陣，下列運算正確的是（ D ）。A. B. C. D. 若可逆，則；2下列不是向量組線性無關(guān)的必要條件的是（ B ）。A都不是零向量; B. 中至少有一個向量可由其余向量線性表示;C. 中任意兩個向量都不成比例; D. 中任一部分組線性無關(guān);3. 設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是的（ A ）。A列向量組線性無關(guān)； B. 列向量組線性相關(guān)；C. 行向量組線性無關(guān)； D. 行向量組線性相關(guān)；4 如果（ D ），則矩陣A與矩陣B相似。A. ； B. ； C. 與有相同的特征多項式； D. 階矩陣與有相同的特征值且個特征值各不相同；5二次型，當(dāng)滿足（ C ）時，是正定二次型A. ； B. ； C. ； D. 。二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)，則；7設(shè) 為行列式中元素的代數(shù)余子式，則 -1 ；8=；9已知向量組線性無關(guān)，則向量組的秩為 2 ；10. 設(shè)為階方陣， ， 且， 則的一個特征值 -3 ；三、計算題（每小題10分，共50分）11設(shè)，求。解： 5分10分12設(shè)三階方陣，滿足方程，試求矩陣以及行列式，其中。解：由，得，即 3分由于， ，6分 ，8分所以。10分13已知，且滿足，其中為單位矩陣，求矩陣。解：因為，所以可逆，2分由，得，故，即，4分不難求出 ,8分因此 。10分14取何值時，線性方程組無解，有唯一解或有無窮多解？當(dāng)有無窮多解時，求通解。解：由于方程個數(shù)等于未知量的個數(shù)，其系數(shù)行列式；3分1.當(dāng)時，有，原方程組無解；5分2.當(dāng)時，有，所以原方程的通解為8分3.當(dāng)時，方程組有唯一解。10分15.設(shè)，求該向量組的秩和一個極大無關(guān)組。解：6分所以向量組的秩為2，8分因為任意兩個向量均不成比例，所以任意兩個向量都是該向量組的一個極大無關(guān)組。10分四、解答題（10分）得 分16已知三階方陣的特征值1，2，3對應(yīng)的特征向量分別為，。其中：，。（1）將向量用，線性表示；（2）求，為自然數(shù)。解：（1）把用線性表示，即求解方程 故。5分（2）10分五、證明題（每小題5分，共10分）17設(shè)是階方陣，且，；證明：有非零解。證明：，2分，4分所以有非零解。5分18 已知向量組(I) 的秩為3，向量組(II) 的秩為3，向量組(III) 的秩為4，證明向量組的秩為4。證明：向量組的秩為3，向量組的秩為3，所以為向量組的一個極大無關(guān)組，因此可唯一的由線性表示；2分假設(shè)向量組的秩不為4，又因為向量組的秩為3，所以向量組的秩為3，因此也可唯一的由線性表示；4分因此可唯一的由線性表示，而向量組的秩為4，即線性無關(guān)，因此不能由線性表示，矛盾，因此向量組的秩為4。5分武漢科技大學(xué)2010-2011-1線性代數(shù)期末試卷(本科A)解答與參考評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1滿足下列條件的行列式不一定為零的是（ A ）。(A）行列式的某行（列）可以寫成兩項和的形式;（B）行列式中有兩行（列）元素完全相同; （C）行列式中有兩行（列）元素成比例; （D）行列式中等于零的個數(shù)大于個.2下列矩陣中（ C ）不滿足。(A）; （B）; （C）; （D）.3. 設(shè)為同階可逆方陣,則( D )。(A)； (B) 存在可逆矩陣；(C) 存在可逆矩陣； (D) 存在可逆矩陣.4向量組線性無關(guān)的充分必要條件是（ D ）（A）均不為零向量； （B）中有一部分向量組線性無關(guān)；（C）中任意兩個向量的分量不對應(yīng)成比例；（D）中任意一個向量都不能由其余個向量線性表示。5零為方陣A的特征值是A不可逆的（ B ）。（A）充分條件； （B）充要條件; （C）必要條件; （D）無關(guān)條件.二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)，則= 0 。7已知設(shè)則；8設(shè)是三階方陣，且，則 27 ；9已知向量組則該向量組的秩為 2 ;10. 已知，且于相似，則 6 。三、計算題（每小題10分，共50分）11 解： 5分 8分 10分12已知3階非零矩陣的每一列都是方程組 的解.求的值；證明.解：因為非零矩陣的每一列都是齊次方程組的解，所以齊次線性方程組有非零解，即 5分由題意可得， 8分 因為，所以，即不可逆，所以 10分注：第二問也可以用反證法，方法對即可。13設(shè)3階矩陣滿足等式,其中求矩陣。解： 3分 8分所以。 10分14求向量組的秩及最大無關(guān)組。解：， 6分所以，任意兩個不成比例的向量組均是的一個極大無關(guān)組。 10分15. 設(shè) 1.求二次型所對應(yīng)的矩陣； 2. 求的特征值和對應(yīng)的特征向量。解：1. 二次型所對應(yīng)的矩陣， 3分2（二重） 6分 當(dāng)時，所以為對應(yīng)的特征向量。 8分當(dāng)時，所以為對應(yīng)的特征向量。 10分四、解答題（10分）16 ， 已知向量試討論為何值時（1）不能用線性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不惟一，并求出表示式.解：問題轉(zhuǎn)化為方程組求解問題增廣矩陣 5分（1）時,(若則,若則) 方程組無解，即不能用線性表示 6分（2）時，方程組有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式： 8分（3）時，可由表示，但表示式不惟一，求表示式：， 10分五、證明題（每小題