高考數(shù)學一輪復習 第7章 第44講 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課件 理.ppt

第七章 導數(shù)及其應用 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 第44講 函數(shù)的單調性 當b 1 1 即b 2時 x f x 的變化情況如下表 求函數(shù)的單調區(qū)間 先找出函數(shù)的極值點 再判斷在極值點鄰近函數(shù)的變化趨勢 本題是用導數(shù)研究函數(shù)單調性的常見問題 由于參數(shù)b的大小直接影響函數(shù)的單調區(qū)間 因此要對b進行分類討論 點評 函數(shù)的極值 解析 1 證明 依題意 得f x x3 3x2 9x c 0有三個互異的實根 設g x x3 3x2 9x c 則g x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 當x0 則g x 在 3 上為增函數(shù) 當 31時 g x 0 則g x 在 1 上為增函數(shù) 所以函數(shù)g x 在x 3時取極大值 在x 1時取極小值 當g 3 0或g 1 0時 g x 0最多只有兩個不同實根 因為g x 0有三個不同實根 所以g 3 0且g 1 0 且1 3 9 c 27且c 5 故 27 c 5 又f x x3 3x2 9x c 當c 27時 f x x 3 x 3 2 當c 5時 f x x 5 x 1 2 因此 當 27 3且a 2 3 即 3 a 1 故a 5或 3 a 1 反之 當a 5或 3 a 1時 總可找到c 27 5 使函數(shù)f x 在區(qū)間 a a 2 上單調遞減 綜上所述 a的取值范圍是 5 3 1 本題以函數(shù)的極值為背景考查分析問題的思維能力和對參數(shù)范圍的識別能力 解答中有三處值得體會 一是函數(shù)有三個極值點 說明方程f x 0有三個互異實根 二是要明確f x 0的三個根的分布 三是如何確定x3的范圍 點評 變式練習2 已知函數(shù)f x x3 ax2 3x 1 a 0 若f x 在其定義域內為增函數(shù) 求a的取值范圍 解析 因為函數(shù)f x x3 ax2 3x 1 a 0 在r上為增函數(shù) 所以f x 3x2 2ax 3 0在r上恒成立 由 4a2 36 0 所以a2 9 所以0 a 3 又因為當a 3時 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 只有當x 1時 f x 才等于0 因此0 a 3 函數(shù)的最值 此題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 最值 熟悉函數(shù)的求導公式 理解求導在函數(shù)最值中的研究方法是解題的關鍵 點評 變式練習3 已知函數(shù)f x ax3 6ax2 b在 1 2 上的最大值為3 最小值為 29 求a b的值 2 當a0 則f x 0 所以f 0 b是極小值 又f 1 a 6a b b 7a f 2 b 16a 所以f 1 f 2 所以f 0 b是最小值 f 2 b 16a是最大值 不等式的證明與恒成立問題 3 由 1 可知f x x2ex 1 x2 故f x g x x2ex 1 x3 x2 ex 1 x 令h x ex 1 x 則h x ex 1 1 令h x 0 得x 1 因為當x 1 時 h x 0 所以h x 在 1 上單調遞減 故當x 1 時 h x h 1 0 因為x 1 時 h x 0 所以h x 在 1 上單調遞增 故當x 1 時 h x h 1 0 所以對任意x 恒有h x 0 又x2 0 因此 f x g x 0 故對任意x 恒有f x g x 比較兩個函數(shù)的大小時 要考慮兩個函數(shù)的定義域 取其公共定義域 比較兩函數(shù)的大小才有意義 本題兩函數(shù)的定義域都是全體實數(shù) 作差是比較大小的常用方法 作差后再構造函數(shù) 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值 最值是解決不等式問題的重要思想方法 點評 變式練習4 已知函數(shù)f x x4 ax3 2x2 b x r 其中a b r 若對于任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 求b的取值范圍 解析 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 由條件a 2 2 可知方程4x2 3ax 4 0的 9a2 640恒成立 當x0時 f x 0 1 奇函數(shù)f x ax3 bx2 cx在x 1處有極值 則3a b c的值為 解析 由奇函數(shù)知 b 0 因為f x 3ax2 2bx c f 1 0 所以3a 2b c 0 又因為b 0 所以3a b c 0 0 2 若函數(shù)y x3 ax2 4在 0 2 內單調遞減 則實數(shù)a的取值范圍為 解析 因為函數(shù)y x3 ax2 4在 0 2 內單調遞減 所以y 3x2 2ax 0在 0 2 內恒成立 所以 所以a 3 3 4 設函數(shù)f x x3 3ax2 3bx的圖象與直線12x y 1 0相切于點 1 11 1 求a b的值 2 討論函數(shù)f x 的單調性 2 由a 1 b 3 得f x x3 3x2 9x 則f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 1 x 3 令f x 0 解得x 1或x 3 又令f x 0 解得 1 x 3 所以當x 1 時 f x 是增函數(shù) 當x 3 時 f x 也是增函數(shù) 但當x 1 3 時 f x 是減函數(shù) 5 已知函數(shù)f x x3 bx2 cx 1在區(qū)間 2 上單調遞增 在區(qū)間 2 2 上單調遞減 且b 0 1 求f x 的解析式 2 設0 m 2 若對任意的x1 x2 m 2 m 不等式 f x1 f x2 16m恒成立 求實數(shù)m的最小值 1 一般地 設函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內可導 如果f x 0 則f x 為增函數(shù) 如果f x 0 則f x 為減函數(shù) 單調性是導數(shù)應用的重點內容 主要有四類問題 運用導數(shù)判斷單調區(qū)間 證明單調性 已知單調性求參數(shù) 先證明其單調性 再運用單調證明不等式等問題 2 函數(shù)的單調性設函數(shù)f x 是定義在 a b 上的可導函數(shù) 則f x 0 f x 0 是f x 在 a b 上單調遞增 遞減 的充分不必要條件 如f x x3在r上是增函數(shù) 但當x 0時 f 0 0 求單調區(qū)間的一般步驟 求導數(shù)f x 在函數(shù)f x 的定義域內解不等式f x 0 f x 0 確定單調區(qū)間 特別注意 1 考慮定義域 2 定義區(qū)間上的不連續(xù)點和不可導點 3 函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較 它只能是函數(shù)定義域中的內點 而不能是端點 而最值是在整個定義域上對函數(shù)值的比較 它可以在端點處取得 求可導函數(shù)極值的步驟 求導數(shù)f x 求導數(shù)f x 0的根 檢查f x 在方程根左右的值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取極小值 函數(shù)的極 最 值函數(shù)的極值刻畫的是函數(shù)在其定義域內的局部性質 函數(shù)的最值刻畫的是函數(shù)在其定義域內的整體性質 求函數(shù)極值的方法 如果函數(shù)f x 在點x0的鄰近左側有f x 0 右側有f x 0 則x0為極小值點 極小值為f x0 求函數(shù)最值的方法 如果函數(shù)f x 在 a b 上可導 并在 a b 上連續(xù) 則函數(shù)f x 在 a b 上有最值 其一般步驟為 求f x 在 a b 內的極值 將所求極值與端點的函數(shù)值比較 其中最大的是最大值 最小的是