高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 第44講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課件 理.ppt

第七章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 第44講 函數(shù)的單調(diào)性 當(dāng)b 1 1 即b 2時(shí) x f x 的變化情況如下表 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 先找出函數(shù)的極值點(diǎn) 再判斷在極值點(diǎn)鄰近函數(shù)的變化趨勢 本題是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的常見問題 由于參數(shù)b的大小直接影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 因此要對b進(jìn)行分類討論 點(diǎn)評 函數(shù)的極值 解析 1 證明 依題意 得f x x3 3x2 9x c 0有三個(gè)互異的實(shí)根 設(shè)g x x3 3x2 9x c 則g x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 當(dāng)x0 則g x 在 3 上為增函數(shù) 當(dāng) 31時(shí) g x 0 則g x 在 1 上為增函數(shù) 所以函數(shù)g x 在x 3時(shí)取極大值 在x 1時(shí)取極小值 當(dāng)g 3 0或g 1 0時(shí) g x 0最多只有兩個(gè)不同實(shí)根 因?yàn)間 x 0有三個(gè)不同實(shí)根 所以g 3 0且g 1 0 且1 3 9 c 27且c 5 故 27 c 5 又f x x3 3x2 9x c 當(dāng)c 27時(shí) f x x 3 x 3 2 當(dāng)c 5時(shí) f x x 5 x 1 2 因此 當(dāng) 27 3且a 2 3 即 3 a 1 故a 5或 3 a 1 反之 當(dāng)a 5或 3 a 1時(shí) 總可找到c 27 5 使函數(shù)f x 在區(qū)間 a a 2 上單調(diào)遞減 綜上所述 a的取值范圍是 5 3 1 本題以函數(shù)的極值為背景考查分析問題的思維能力和對參數(shù)范圍的識(shí)別能力 解答中有三處值得體會(huì) 一是函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn) 說明方程f x 0有三個(gè)互異實(shí)根 二是要明確f x 0的三個(gè)根的分布 三是如何確定x3的范圍 點(diǎn)評 變式練習(xí)2 已知函數(shù)f x x3 ax2 3x 1 a 0 若f x 在其定義域內(nèi)為增函數(shù) 求a的取值范圍 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x x3 ax2 3x 1 a 0 在r上為增函數(shù) 所以f x 3x2 2ax 3 0在r上恒成立 由 4a2 36 0 所以a2 9 所以0 a 3 又因?yàn)楫?dāng)a 3時(shí) f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 只有當(dāng)x 1時(shí) f x 才等于0 因此0 a 3 函數(shù)的最值 此題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 最值 熟悉函數(shù)的求導(dǎo)公式 理解求導(dǎo)在函數(shù)最值中的研究方法是解題的關(guān)鍵 點(diǎn)評 變式練習(xí)3 已知函數(shù)f x ax3 6ax2 b在 1 2 上的最大值為3 最小值為 29 求a b的值 2 當(dāng)a0 則f x 0 所以f 0 b是極小值 又f 1 a 6a b b 7a f 2 b 16a 所以f 1 f 2 所以f 0 b是最小值 f 2 b 16a是最大值 不等式的證明與恒成立問題 3 由 1 可知f x x2ex 1 x2 故f x g x x2ex 1 x3 x2 ex 1 x 令h x ex 1 x 則h x ex 1 1 令h x 0 得x 1 因?yàn)楫?dāng)x 1 時(shí) h x 0 所以h x 在 1 上單調(diào)遞減 故當(dāng)x 1 時(shí) h x h 1 0 因?yàn)閤 1 時(shí) h x 0 所以h x 在 1 上單調(diào)遞增 故當(dāng)x 1 時(shí) h x h 1 0 所以對任意x 恒有h x 0 又x2 0 因此 f x g x 0 故對任意x 恒有f x g x 比較兩個(gè)函數(shù)的大小時(shí) 要考慮兩個(gè)函數(shù)的定義域 取其公共定義域 比較兩函數(shù)的大小才有意義 本題兩函數(shù)的定義域都是全體實(shí)數(shù) 作差是比較大小的常用方法 作差后再構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 最值是解決不等式問題的重要思想方法 點(diǎn)評 變式練習(xí)4 已知函數(shù)f x x4 ax3 2x2 b x r 其中a b r 若對于任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 求b的取值范圍 解析 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 由條件a 2 2 可知方程4x2 3ax 4 0的 9a2 640恒成立 當(dāng)x0時(shí) f x 0 1 奇函數(shù)f x ax3 bx2 cx在x 1處有極值 則3a b c的值為 解析 由奇函數(shù)知 b 0 因?yàn)閒 x 3ax2 2bx c f 1 0 所以3a 2b c 0 又因?yàn)閎 0 所以3a b c 0 0 2 若函數(shù)y x3 ax2 4在 0 2 內(nèi)單調(diào)遞減 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析 因?yàn)楹瘮?shù)y x3 ax2 4在 0 2 內(nèi)單調(diào)遞減 所以y 3x2 2ax 0在 0 2 內(nèi)恒成立 所以 所以a 3 3 4 設(shè)函數(shù)f x x3 3ax2 3bx的圖象與直線12x y 1 0相切于點(diǎn) 1 11 1 求a b的值 2 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 2 由a 1 b 3 得f x x3 3x2 9x 則f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 1 x 3 令f x 0 解得x 1或x 3 又令f x 0 解得 1 x 3 所以當(dāng)x 1 時(shí) f x 是增函數(shù) 當(dāng)x 3 時(shí) f x 也是增函數(shù) 但當(dāng)x 1 3 時(shí) f x 是減函數(shù) 5 已知函數(shù)f x x3 bx2 cx 1在區(qū)間 2 上單調(diào)遞增 在區(qū)間 2 2 上單調(diào)遞減 且b 0 1 求f x 的解析式 2 設(shè)0 m 2 若對任意的x1 x2 m 2 m 不等式 f x1 f x2 16m恒成立 求實(shí)數(shù)m的最小值 1 一般地 設(shè)函數(shù)y f x 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 如果f x 0 則f x 為增函數(shù) 如果f x 0 則f x 為減函數(shù) 單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容 主要有四類問題 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間 證明單調(diào)性 已知單調(diào)性求參數(shù) 先證明其單調(diào)性 再運(yùn)用單調(diào)證明不等式等問題 2 函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f x 是定義在 a b 上的可導(dǎo)函數(shù) 則f x 0 f x 0 是f x 在 a b 上單調(diào)遞增 遞減 的充分不必要條件 如f x x3在r上是增函數(shù) 但當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 求單調(diào)區(qū)間的一般步驟 求導(dǎo)數(shù)f x 在函數(shù)f x 的定義域內(nèi)解不等式f x 0 f x 0 確定單調(diào)區(qū)間 特別注意 1 考慮定義域 2 定義區(qū)間上的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) 3 函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較 它只能是函數(shù)定義域中的內(nèi)點(diǎn) 而不能是端點(diǎn) 而最值是在整個(gè)定義域上對函數(shù)值的比較 它可以在端點(diǎn)處取得 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求導(dǎo)數(shù)f x 求導(dǎo)數(shù)f x 0的根 檢查f x 在方程根左右的值的符號 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個(gè)根處取極大值 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)根處取極小值 函數(shù)的極 最 值函數(shù)的極值刻畫的是函數(shù)在其定義域內(nèi)的局部性質(zhì) 函數(shù)的最值刻畫的是函數(shù)在其定義域內(nèi)的整體性質(zhì) 求函數(shù)極值的方法 如果函數(shù)f x 在點(diǎn)x0的鄰近左側(cè)有f x 0 右側(cè)有f x 0 則x0為極小值點(diǎn) 極小值為f x0 求函數(shù)最值的方法 如果函數(shù)f x 在 a b 上可導(dǎo) 并在 a b 上連續(xù) 則函數(shù)f x 在 a b 上有最值 其一般步驟為 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 將所求極值與端點(diǎn)的函數(shù)值比較 其中最大的是最大值 最小的是