高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件 .ppt

第三節(jié)空間點 直線 平面之間的位置關(guān)系 知識梳理 1 平面的基本性質(zhì) 兩點 不在一條直線 這條直線外 的一點 相交 平行 有且只有 一條 2 空間直線的位置關(guān)系 1 位置關(guān)系分類 異面直線 不同在 內(nèi) 沒有公共點 位置關(guān)系 共面直線 直線 同一平面內(nèi) 有且只有一個公共點 直線 同一平面內(nèi) 沒有公共點 相交 平行 任何一個平面 2 平行公理和等角定理 平行公理 平行于同一條直線的兩條直線 等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行 那么這兩個角 3 異面直線所成的角 定義 已知兩條異面直線a b 經(jīng)過空間任一點o作直線a a b b 把a 與b 所成的 叫做異面直線a與b所成的角 或夾角 異面直線所成角的范圍 平行 相等或互補 銳角 或直角 3 空間直線與平面 平面與平面的位置關(guān)系 1 0 無數(shù) 0 無數(shù) 考點自測 1 思考 給出下列命題 如果兩個不重合的平面 有一條公共直線a 就說平面 相交 并記作 a 兩個平面 有一個公共點a 就說 相交于過a點的任意一條直線 兩個平面 有一個公共點a 就說 相交于a點 并記作 a 兩個平面abc與dbc相交于線段bc 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 其中正確的是 a b c d 解析 選d 根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知 對 對于 其錯誤在于 任意 二字上 對于 錯誤在于 a上 對于 應(yīng)為平面abc和平面dbc相交于直線bc 兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面 所以 正確 2 2013 安徽高考 在下列命題中 不是公理的是 a 平行于同一個平面的兩個平面相互平行b 過不在同一條直線上的三點 有且只有一個平面c 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi) 那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)d 如果兩個不重合的平面有一個公共點 那么它們有且只有一條過該點的公共直線 解析 選a 因為b c d是經(jīng)過人類長期反復(fù)的實踐檢驗是真實的 不需要由其他判斷加以證明的命題和原理 是公理 而a平行于同一個平面的兩個平面平行是定理而不是公理 3 2014 臺州模擬 對于空間中的兩條直線 這兩條直線為異面直線 是 這兩條直線沒有公共點 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 解析 選a 若兩條直線異面 則一定無公共點 兩條直線無公共點時 這兩條直線可能平行 故選a 4 直線a b c兩兩平行 但不共面 經(jīng)過其中兩條直線的平面的個數(shù)為 a 1b 3c 6d 0 解析 選b 如圖所示 可知有3個平面 5 2014 石家莊模擬 如圖所示 在正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別是ab ad的中點 則異面直線b1c與ef所成的角的大小為 解析 連接bd b1d1 如圖所示 易證ef bd bd b1d1 故 cb1d1就是異面直線b1c與ef所成的角或所成角的補角 連接d1c知 cb1d1為正三角形 故b1c與ef所成的角為60 答案 60 考點1平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 典例1 1 給出以下命題 不共面的四點中 其中任意三點不共線 若點a b c d共面 點a b c e共面 則點a b c d e共面 若直線a b共面 直線a c共面 則直線b c共面 依次首尾相接的四條線段必共面 正確命題的個數(shù)是 a 0b 1c 2d 3 2 2014 寧波模擬 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別是ab和aa1的中點 求證 e c d1 f四點共面 解題視點 1 根據(jù)確定平面的公理及推論進行判斷 2 根據(jù)中位線定理可證明ef cd1 即可證得結(jié)論 規(guī)范解答 1 選b 假設(shè)其中有三點共線 則該直線和直線外的另一點確定一個平面 這與四點不共面矛盾 故其中任意三點不共線 所以 正確 從條件看出兩平面有三個公共點a b c 但是若a b c共線 則結(jié)論不正確 對于 b與c可能異面 不正確 不正確 因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上 如空間四邊形 2 如圖 連接cd1 ef a1b 因為e f分別是ab和aa1的中點 所以ef a1b且ef a1b 又因為a1d1 bc 且a1d1 bc 所以四邊形a1bcd1是平行四邊形 所以a1b cd1 所以ef cd1 即ef與cd1確定一個平面 且e f c d1 即e c d1 f四點共面 互動探究 本例第 2 題的條件不變 如何證明 ce d1f da交于一點 證明 由例題解析可知 ef cd1 且ef cd1 所以四邊形cd1fe是梯形 所以ce與d1f必相交 設(shè)交點為p 如圖 則p ce 平面abcd 且p d1f 平面a1add1 又因為平面abcd 平面a1add1 ad 所以p ad 所以ce d1f da交于一點 規(guī)律方法 1 證明空間點共線問題的方法 1 公理法 一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點 再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上 2 納入直線法 選擇其中兩點確定一條直線 然后證明其余點也在該直線上 2 點 線共面的常用判定方法 1 納入平面法 先確定一個平面 再證明有關(guān)點 線在此平面內(nèi) 2 輔助平面法 先證明有關(guān)的點 線確定平面 再證明其余元素確定平面 最后證明平面 重合 3 反證法 提醒 在選擇已知條件確定平面時 要看其余的點或線在確定的平面內(nèi)是否能證明 變式訓(xùn)練 如圖 空間四邊形abcd中 e f分別是ab ad的中點 g h分別在bc cd上 且bg gc dh hc 1 2 1 求證 e f g h四點共面 2 設(shè)eg與fh交于點p 求證 p a c三點共線 證明 1 因為e f分別為ab ad的中點 所以ef bd 在 bcd中 則gh bd 所以ef gh 所以e f g h四點共面 2 因為eg fh p p eg eg 平面abc 所以p 平面abc 同理p 平面adc 則p為平面abc與平面adc的公共點 又平面abc 平面adc ac 則p ac 所以p a c三點共線 加固訓(xùn)練 1 2013 江西高考 如圖 正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上 且ab cd 正方體的六個面所在的平面與直線ce ef相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m n 那么m n a 8b 9c 10d 11 解析 選a 取cd中點g 連接eg fg 可知cd 平面efg 因為ab cd 所以ab 平面efg 容易知道平面efg與正方體的左右兩個側(cè)面平行 所以ef與正方體的兩個側(cè)面平行 觀察可知n 4 又正方體的底面與正四面體的底面共面 所以過點a可作ah ce 易知ce與正方體的上底面平行 在下底面內(nèi) 與其他四個面相交 所以m 4 即得m n 8 2 如圖 已知正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別為d1c1 c1b1的中點 ac bd p a1c1 ef q 求證 1 d b f e四點共面 2 若a1c交平面dbfe于r點 則p q r三點共線 證明 1 連接b1d1 因為e f分別為d1c1 c1b1的中點 所以ef d1b1 又d1b1 db 則ef db 所以d b f e四點共面 2 因為ac bd p a1c1 ef q 所以p 平面dbfe p 平面a1acc1 q 平面dbfe q 平面a1acc1 又a1c 平面dbfe r 所以r 平面dbfe r 平面a1acc1 所以p q r在平面dbfe與平面a1acc1的交線上 因此p q r三點共線 考點2空間直線的位置關(guān)系 典例2 1 2014 新鄉(xiāng)模擬 已知m n為異面直線 m 平面 n 平面 l 則l a 與m n都相交b 與m n中至少一條相交c 與m n都不相交d 與m n中的一條直線相交 2 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別是a1b1 b1c1的中點 問 am和cn是否是異面直線 說明理由 d1b和cc1是否是異面直線 說明理由 解題視點 1 采用反證法進行判斷 2 通過說明mn ac 說明am cn共面 從而判斷 由圖易判斷d1b和cc1是異面直線 可用反證法證明 規(guī)范解答 1 選b 若m n都不與l相交 因為m n l 所以m l n l 所以m n l 這與m n為異面直線矛盾 故l與m n中至少一條相交 2 不是異面直線 理由 連接mn a1c1 ac 因為m n分別是a1b1 b1c1的中點 所以mn a1c1 又因為a1ac1c 所以a1acc1為平行四邊形 所以a1c1 ac 所以mn ac 所以a m n c在同一平面內(nèi) 故am和cn不是異面直線 是異面直線 理由 因為abcd a1b1c1d1是正方體 所以b c c1 d1不共面 假設(shè)d1b與cc1不是異面直線 則存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 所以d1 b c c1 這與b c c1 d1不共面矛盾 所以假設(shè)不成立 即d1b和cc1是異面直線 易錯警示 反證法證直線異面如本例 2 中用反證法證明異面 不論是從共面的角度 還是從平行 相交的角度否定 都要說清楚 得出矛盾 規(guī)律方法 異面直線的判定方法 1 判定定理 平面外一點a與平面內(nèi)一點b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點b的直線是異面直線 2 反證法 先假設(shè)兩條直線不是異面直線 即兩條直線平行或相交 由假設(shè)出發(fā) 經(jīng)過嚴(yán)格的推理 導(dǎo)出矛盾 從而否定假設(shè) 肯定兩條直線異面 此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到 變式訓(xùn)練 2014 麗水模擬 l1 l2 l3是空間三條不同的直線 則下列命題正確的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3b l1 l2 l2 l3 l1 l3c l1 l2 l3 l1 l2 l3共面d l1 l2 l3共點 l1 l2 l3共面 解析 選b 因為線線垂直不具有傳遞性 所以選項a錯誤 易知選項b正確 當(dāng)l1 l2 l3為三棱柱的三條側(cè)棱時 l1 l2 l3就不共面 所以選項c錯誤 當(dāng)l1 l2 l3為三棱錐的三條側(cè)棱時 l1 l2 l3就不共面 所以選項d錯誤 加固訓(xùn)練 1 用a b c表示三條不同的直線 表示平面 給出下列命題 若a b b c 則a c 若a b b c 則a c 若a b 則a b 若a b 則a b 其中真命題的序號是 a b c d 解析 選c 平行關(guān)系的傳遞性 舉反例 在同一平面 內(nèi) a b b c 有a c 舉反例 如圖的長方體中 a b 但a與b相交 垂直于同一平面的兩直線互相平行 故 正確 2 2013 唐山模擬 如果兩條異面直線稱為 1對 那么在正方體的十二條棱中共有異面直線 a 12對b 24對c 36對d 48對 解析 選b 如圖所示 與ab異面的直線有b1c1 cc1 a1d1 dd1四條 因為各棱具有相同的位置且正方體共有12條棱 排除兩棱的重復(fù)計算 共有異面直線 24 對 3 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別為棱c1d1 c1c的中點 有以下四個結(jié)論 直線am與cc1是相交直線 直線am與bn是平行直線 直線bn與mb1是異面直線 直線am與dd1是異面直線 其中正確的結(jié)論為 注 把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上 解析 因為點a在平面cdd1c1外 點m在平面cdd1c1內(nèi) 直線cc1在平面cdd1c1內(nèi) cc1不過點m 所以am與cc1是異面直線 故 錯 取dd1中點e 連接ae 則bn ae 但ae與am相交 故 錯 因為b1與bn都在平面bcc1b1內(nèi) m在平面bcc1b1外 bn不過點b1 所以bn與mb1是異面直線 故 正確 同理 正確 故填 答案 考點3異面直線所成的角 考情 從近幾年的高考試題來看 異面直線所成的角是高考的熱點 題型既有選擇題又有填空題 也有解答題 難度為中低檔題 客觀題主要考查異面直線所成的角 主觀題較全面考查立體幾何的有關(guān)知識 異面直線所成的角的求法等 高頻考點通關(guān) 典例3 1 2014 寧波模擬 在正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別為a1b1 bb1的中點 則異面直線am與cn所成角的余弦值為 2 2014 廣州模擬 已知三棱錐a bcd中 ab cd 且直線ab與cd成60 角 點m n分別是bc ad的中點 求直線ab和mn所成的角 解題視點 1 由m n分別為a1b1 bb1的中點 可取ab的中點e eb的中點f 利用直線平行的傳遞性 確定異面直線am與cn所成的角 2 取ac的中點p 連接pm 連接pn 得ab與cd所成的角 得ab與mn所成的角 規(guī)范解答 1 選d 如圖 取ab的中點e 連接b1e 則am b1e 取eb的中點f 連接fn 則b1e fn 因此am fn 連接cf 則直線fn與cn所夾銳角或直角為異面直線am與cn所成的角 設(shè)ab 1 在 cfn中 由余弦定理cos cos cnf 2 如圖 取ac的中點p 連接pm pn 則pm ab 且pm ab pn cd 且pn cd 所以 mpn為ab與cd所成的角 或其補角 則 mpn 60 或 mpn 120 若 mpn 60 因為pm ab 所以 pmn是ab與mn所成的角 或其補角 又因為ab cd 所以pm pn 則 pmn是等邊三角形 所以 pmn 60 即ab和mn所成的角為60 若 mpn 120 則易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab和mn所成的角為30 綜上 直線ab和mn所成的角為60 或30 通關(guān)錦囊 特別提醒 求異面直線所成的角應(yīng)注意角的范圍是其余弦值一定為非負(fù) 關(guān)注題型 通關(guān)題組 1 2014 溫州模擬 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 則異面直線ba1與ac1所成的角等于 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 選c 分別取ab aa1 a1c1的中點d e f 則ba1 de ac1 ef 所以異面直線ba1與ac1所成的角為 def 或其補角 設(shè)ab ac aa1 2 則de ef df 由余弦定理得 cos def 則 def 120 從而異面直線ba1與ac1所成的角為60 2 2014 金華模擬 如圖所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 d是ac的中點 aa1 ab 則異面直線ab1與bd所成的角為 解析 如圖所示 取a1c1的中點d1 連接b1d1 由于d是ac的中點 所以b1d1 bd 所以 ab1d1即為異面直線ab1與bd所成的角或其補角 連接ad1 設(shè)ab a 則aa1 a 所以在 ab1d1中 由余弦定理得cos ab1d1 所以 ab1d1 60 所以異面直線ab1與bd所成的角為60 答案 60 3 2014 寧波模擬 一個正方體紙盒展開后如圖所示 在原正方體紙盒中有如下結(jié)論 ab ef ab與cm所成的角為60 ef與mn是異面直線 mn cd 以上四個命題中 正確命題的序號是 解析 由展開后的圖形可還原成如圖所示的紙盒 顯然ab ef 所以 正確 ab cm 所以 錯誤 由異面直線的定義可知 ef與mn是異面直線 所以 正確 同理mn與cd也是異面直線 且所成角為90 所以 錯誤 答案 加固訓(xùn)練 1 2014 惠州模擬 如圖是三棱錐d abc的三視圖 點o在三個視圖中都是所在邊的中點 則異面直線do和ab所成角的余弦值等于 解析 選a 由題意得如圖的直觀圖 從a出發(fā)的三條線段ab ac ad兩兩垂直且ab ac 2 ad 1 o是bc中點 取ac中點e 連接de do oe 則oe 1 又可知ae 1 由于oe ab 故 doe即為所求兩異面直線所成的角或其補角 在直角三角形dae中 de 由于o是中點 在直角三角形abc中可以求得ao 在直角三角形dao中可以求得do 在三角形doe中 由余弦定理得cos doe 故所求余弦值為 2 2014 成都模擬 若兩條異面直線所成的角為60 則稱這對異面直線為 黃金異面直線對 在連接正方體各頂點的所有直線中 黃金異面直線對 共有對 解析 正方體如圖 若要出現(xiàn)所成角為60 的異面直線 則直線需為面對角線 以ac為例 與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條 分別是a b bc a d c d 正方體的面對角線有12條 所以所求的黃金異面直線對共有 24對 每一對被計算兩次 所以記好要除以2 答案 24 3 2013 長沙模擬 如圖 在正三角形abc中 d e f分別為各邊的中點 g h分別為de af的中點 將 abc沿de ef df折成正四面體p def 則四面體中異面直線pg與dh所成的角的余弦值為 解析 如圖 連接he 取he的中點k 連接gk pk 則gk dh 故 pgk即為所求的異面直線所成的角或者其補角 設(shè)這個正四面體的棱長為2 在 pgk中 故cos pgk 即異面直線pg與dh所成的角的余弦值是答案 巧思妙解8 巧用補形法求異面直線所成的角 典例 2014 銀川模擬 如圖長方體