第二章-導(dǎo)數(shù)與微分教案

數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案標(biāo)題2.1導(dǎo)數(shù)的概念編號【教學(xué)目的要求】掌握和理解導(dǎo)數(shù)的定義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【教學(xué)重點】可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)幾何意義【教學(xué)難點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時數(shù)】實施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時間【課外作業(yè)】 教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時 數(shù)： ）一、 導(dǎo)數(shù)概念的引例在實際問題中，經(jīng)常需要討論自變量的增量與相應(yīng)的函數(shù)的增量之間的關(guān)系，例如，它們的比以及時的極限下面討論曲線的切線問題這個問題在歷史上都與導(dǎo)數(shù)概念的形成有密切的關(guān)系曲線的切線的斜率圖2-1首先介紹曲線在一點處的切線，如圖2-1所示在曲線上取與鄰近的一點，作割線，當(dāng)沿著曲線逐漸向點接近時，割線將繞著點轉(zhuǎn)動，當(dāng)點沿著曲線無限接近時，割線的極限位置就叫做曲線在點處的切線下面求曲線在點處切線的斜率，設(shè)割線的傾斜角為，則割線的斜率為又設(shè)切線的傾斜角為，那么當(dāng)時，割線的斜率的極限就是切線的斜率，即 （）二、導(dǎo)數(shù)的定義 定義1 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)函數(shù)取得增量備注：；如果當(dāng)時與之比的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 也可記作，或.如果在區(qū)間（）中的每一個確定的值，對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就確定了一個新的函數(shù)，此函數(shù)成為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。即= ，也可記作，或.在不致發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).三、求導(dǎo)數(shù)由導(dǎo)數(shù)的定義，可以求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1） 求函數(shù)的增量： （2） 求比值：=（3） 求極限：例1求函數(shù)(為正整數(shù))在的導(dǎo)數(shù).解: =即 例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解: = =即，類似地，可求得用導(dǎo)數(shù)的定義還可求得 當(dāng)時，有四、左、右導(dǎo)數(shù)既然導(dǎo)數(shù)是比值當(dāng)?shù)臉O限，那么，下面兩個極限 ，分別叫做函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，且分別記為和.根據(jù)左、右極限的性質(zhì)，我們有下面定理：定理1函數(shù)在點處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等例3 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解: 函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)=-1及右導(dǎo)數(shù)=1雖然都存在，但不相等，故在處不可導(dǎo)(如圖2-2)圖2-2五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由本節(jié)中切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即 = （其中是切線的傾角）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并且應(yīng)用直線的點斜式方程，曲線在點處的切線方程為 如果，那么曲線在點處的法線方程為 例4 求曲線的通過點（1，4）的切線方程解: 因為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點 （1，4）處切線斜率為，所求的切線方程為： 即 六、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2 如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點必連續(xù)例5 討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解: 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有，其極限值不存在，所以函數(shù)在處不可導(dǎo)。由以上討論可知，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 教案標(biāo)題2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則編號【教學(xué)目的要求】掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，四則運算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 了解反函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù) 【教學(xué)重點】四則運算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【教學(xué)難點】，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時數(shù)】實施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時間【課外作業(yè)】 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時 數(shù)：）一、 函數(shù)求導(dǎo)法則定理1 如果函數(shù)在處都可導(dǎo)，則函數(shù)在點處可導(dǎo)，且 。定理2 如果函數(shù)在點處都可導(dǎo)，則函數(shù)在點處可導(dǎo)，且函數(shù)積的求導(dǎo)法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)與第二個因子的乘積，加上第一個因子與第二個因子的導(dǎo)數(shù)的乘積這個法則也可以推廣到任意有限個函數(shù)之積的情形. 特別地，若（為常數(shù)），那么這就是說常數(shù)因子與函數(shù)乘積時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號的外面.定理3 如果函數(shù)在點處都可導(dǎo)且，則函數(shù)在點處可導(dǎo)，且例1 ，求.解: =例2 ，求.解: =例3設(shè) ，求.解: 備注：常見基本求導(dǎo)公式表如下：1、，2、，3、4、，5、，6、7、，8、，9、10、，11、，12、，13、，14、，15、，16、。二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)定理4 如果函數(shù)在點可導(dǎo)，而在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為例4 求的導(dǎo)數(shù).解： 函數(shù)可以看作由函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得=例5 求的導(dǎo)數(shù).解： 例6 求的導(dǎo)數(shù).解： 先化簡，再求導(dǎo)： 三、反函數(shù)求導(dǎo)法則 若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或例7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）例8 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： 因為是的反函數(shù)，所以 即 =類似地，可推得 =例9 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）。解：（1）（2）四、高階導(dǎo)數(shù)1.定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為的函數(shù)，我們把的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作或或即 相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做的一階導(dǎo)數(shù)。類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)。一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù),分別記作：或或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。2.注：由高階導(dǎo)數(shù)定義可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連求導(dǎo)，用前面學(xué)過的求導(dǎo)方法來計算高階導(dǎo)數(shù)即可。例2：求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù) （1） （2）解：（1） （2） 時 例3：求的階導(dǎo)數(shù)。解： 備注： 忠信篤行 自強不息 南昌工學(xué)院教學(xué)檔案 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 教案標(biāo)題2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)編號【教學(xué)目的要求】會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求相關(guān)變化率?！窘虒W(xué)重點】隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【教學(xué)難點】參數(shù)方程求導(dǎo)【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時數(shù)】實施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時間【課外作業(yè)】 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時 數(shù)： ）一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 我們在前面所遇到的函數(shù)，都可以表示為的形式，如，等，這樣的函數(shù)叫做顯函數(shù). 有時，我們會遇到用另外一種形式表示的函數(shù)，就是與的函數(shù)關(guān)系是由一個含和的方程所確定，例如中，如果當(dāng)變量在某一范圍內(nèi)取值時，總有相應(yīng)的變量與之對應(yīng)以滿足方程，則稱方程在該區(qū)域內(nèi)確定是的隱函數(shù).稱)是方程確定的隱函數(shù)的顯式.例如方程確定的隱函數(shù)的顯式是.將方程確定的隱函數(shù)表達為初等函數(shù)形式的顯式稱為隱函數(shù)的顯化.但有時顯化是困難的，有時是不可能的（如隱函數(shù)不是初等函數(shù)）.如.在實際問題中，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不需要先將隱函數(shù)顯化，而是可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將方程兩邊同時對求導(dǎo)，并注意到其中變量是的函數(shù)，就可以直接求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例1 求方程確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解： 等式兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得， ，（在等式的左端對求導(dǎo)過程中，視為復(fù)合函數(shù)的中間變量，因為即有 ）解得 .一般地，設(shè)方程確定了隱函數(shù)，并設(shè)這隱函數(shù)已代入，則方程是恒等式（即），在恒等式兩端對求導(dǎo)（左端的求導(dǎo)過程中，視為復(fù)合函數(shù)的中間變量），得，從中解出，即是隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=.例2求由方程確定的隱函數(shù)在點 = 0處的導(dǎo)數(shù).解： 將= 0代入方程，得= 0. 方程兩端對求導(dǎo)，得將= 0， = 0代入上式，解之得 .備注：注： 對于求導(dǎo)函數(shù)利用三角公式、代數(shù)恒等式等先進行整理再求導(dǎo)，可簡化運算. 求多個因式連乘除或乘方的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，如用“商的求導(dǎo)法則”求導(dǎo)，必然帶來冗長的運算下面介紹一個較為簡便的方法對數(shù)求導(dǎo)法.具體方法是先對等式兩端取對數(shù)，再按隱函數(shù)求導(dǎo)法則運算通過下面的兩個例子介紹對數(shù)求導(dǎo)法： 例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： 等式兩端取對數(shù),得 兩端對x求導(dǎo)，即得 對于冪指函數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法也很有效.例4 求的導(dǎo)數(shù).解法1： 等式兩端取對數(shù)，得 ，兩端對求導(dǎo)，得，所以， 解法2： 因為 ，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有 =.二、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)有參數(shù)方程 它可以確定變量與之間的一個函數(shù)關(guān)系，稱此函數(shù)為由參數(shù)方程確定的函數(shù)很多實際問題所確定的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程給出的.設(shè)其中有反函數(shù)，視是中間變量，由復(fù)合函數(shù)概念就建立了與的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有， 或 ；再根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)法則 （），代入上式，得到，或 這就是參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則.例5 已知橢圓的參數(shù)方程為 求橢圓在的相應(yīng)點處的切線方程.解： 由 得， 橢圓在點的切線方程的斜率為；所以，所求的切線方程為： ，即. 忠信篤行 自強不息 南昌工學(xué)院教學(xué)檔案 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 教案標(biāo)題2.4 函數(shù)的微分編號【教學(xué)目的要求】掌握微分的定義，幾何意義，微分形式的不變性，微分公式與運算法則【教學(xué)重點】 微分的定義，微分形式的不變性【教學(xué)難點】 微分的運算【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時數(shù)】實施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時間【課外作業(yè)】 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時 數(shù)： ）一、 微分的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域U () 內(nèi)有定義，且+ U (). 如果函數(shù)的增量可以表示為的線性函數(shù)與一個比高階的無窮小的和，即 （A為與無關(guān)的常數(shù)）,稱函數(shù)在點處可微，并稱A 為函數(shù)在點處的微分，記為 ，即 .由定義可見,所謂函數(shù)在點可微，即函數(shù)在點的改變量可以表示為兩項之和：第一項是的線性函數(shù)，它是便于計算的的線性函數(shù)，是表達的主要部分（可以證明它與在條件下是等價無窮?。?，故把第一項稱為的線性主部.第二項是比無窮小高階的無窮小，它的具體表達式往往是復(fù)雜的，但在相當(dāng)小時，在近似計算中可以忽略不計即有 .如果函數(shù)在點可微，如何求常數(shù)A？下面的定理不但解決了這個問題，而且還給出了可微與可導(dǎo)的關(guān)系.定理1 函數(shù)在點處可微的充分必要條件是函數(shù)在點處可導(dǎo).由微分的定義，比較兩者，即得 ，即自變量的微分等于自變量的改變量.于是，可以微分表達式 改為. (1)今后，以(1)作為函數(shù)的微分的表達式.實際上我們使用的導(dǎo)數(shù)的記法就是由(1)式得到，因此導(dǎo)數(shù)又稱作微商(微分之商).例1 分別計算函數(shù)在點處，時的增量和微分.解：因為 =, ；所以時， ， ；時， ， .備注：由此題可見：若用代替可以簡化計算，其誤差也較小，且越小，誤差就越小.為了更好的理解微分的概念，我們探討一下微分的幾何意義.二、 微分的幾何意義 設(shè)是函數(shù)的圖形曲線上的一定點,給自變量有微小增量時，可得y Q P M dy 0 x0 x0+Dx x曲線上另一點，由圖2-4知： ，設(shè)曲線在點的切線的傾角為a ，則， 圖2-4 所以，當(dāng)是曲線上割線的增量，就是曲線切線的相應(yīng)增量.三、 微分公式與微分運算法則由可知，要計算函數(shù)的微分,只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再乘以自變量的微分就可以了,所以我們從導(dǎo)數(shù)的基本公式就可以直接推出微分的基本公式和法則.1基本初等函數(shù)的微分公式由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以直接寫出基本初等函數(shù)的微分公式為了便于對照，上表所示。2 函數(shù)和、差、積、商的微分法則由于函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推得相應(yīng)的微分法則為了便于對照，列成下表（表中都可導(dǎo)）3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則（一階微分形式的不變性）一階微分形式不變性：設(shè)是可微函數(shù)，則無論是自變量，或是另一個變量的可微函數(shù)，都同樣有例2 求的微分.解：例3 求的微分.解： 例4 求有方程確定的隱函數(shù)的微分.解： 對所給方程的兩邊分別求微分,得 由于,故上式可化為 四、微分的應(yīng)用1、在近似計算中的應(yīng)用在點處的導(dǎo)數(shù)，且很小時，有即 （1）亦即 （2）令，