2 電動(dòng)習(xí)題 郭碩鴻 第二章.doc

第二章 靜電場1.一個(gè)半徑為R的電解質(zhì)球，極化強(qiáng)度為，電容率，（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度；（2）計(jì)算自由電荷的體密度；（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢；（4）求該帶電介質(zhì)產(chǎn)生的靜電場總能量。解；（1）束縛電荷的體密度為： 束縛電荷的面密度由公式： 得： (2) 由第一章第九題得： （3）由于球內(nèi)電荷為球?qū)ΨQ分布，所以電場具有球?qū)ΨQ性。 對(duì)球內(nèi)用高斯定理有： 對(duì)球外用高斯定理有= （4）由題意得：球外有 球內(nèi)有 （）+ =（）+（）=2（）=2（）（1+） 2. 在均勻外電場中放置半徑為的導(dǎo)體球，使用分離變量法求下列兩種情況的電勢： （1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q。解：（1）以球心為圓點(diǎn)，以外電場方向建立球坐標(biāo)系，本題的定解問題： 由于此問題具有軸對(duì)稱,從(1)得通解 （cos）(R由=得= +（R）由得 =+(2) 建立同樣的坐標(biāo)系，定解問題為： 重復(fù)第一問的過程，得到 =+ 由條件（3）得： = = = 代入上式代替得 =+（RR）3. 場均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與用高斯定理結(jié)果相比較。解：由題意得定解問題對(duì)(1)設(shè) 則， 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得= （7）= （8）對(duì)（7）(8)式，當(dāng)n=0時(shí) 解得當(dāng)n=1時(shí) 解得 同理 4. 均勻帶電體（電容率1）的中心置一電偶極子，球外充滿了另一種電介質(zhì)（電容率2），求空間各點(diǎn)的電勢和極化電荷的分布。解；由題意得定解條件 設(shè) 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得 = （7）= （8）對(duì)（7）（8）式，當(dāng)n=0時(shí) 解得當(dāng)n=1時(shí) 解得對(duì)n1時(shí) 解得 = （RR） 球心處Pf表面的介質(zhì)中，出現(xiàn)一個(gè)與其方向相反的極化電偶極子：因介質(zhì)球面自由電荷面密度，故 5. 空心帶電體球殼內(nèi)外半徑為R1和R2，球中心置一偶極子，球殼帶電Q，求空間各點(diǎn)電勢和電荷分布。解：由題意得定解條件設(shè) 則得：由（1）（3）解得 由（2）（4）解得 由（5）解得 （7）由（6）解得 = （8）由（7）（8）解得當(dāng)n=0時(shí) 解得當(dāng)n=1時(shí) 解得當(dāng)n1時(shí)解得 6.在均勻外電場中置入一帶電自由電荷的絕緣介質(zhì)球（電容率），求空間各點(diǎn)的電勢。解： 得定解條件 由（1）（2）解得 由（3（4）解得 = 由（5（6）解得= （7）= （8）由（7）（8）得當(dāng)n=0時(shí) 當(dāng)n=1時(shí) 當(dāng)n=2時(shí) =（）（RR）置一點(diǎn)電荷Q，試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢，證明所得結(jié)果與鏡像法結(jié)果相同解：由題意得定解條件： 令 為場點(diǎn)P到的距離。則有 R為場點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離。由(1)得 代入(3)得 代入(2)得 注意 解得 設(shè)b= 上式化為：=由鏡像法解題：由=常數(shù)得，得證。9接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為,在球內(nèi)離球心為a()處置一點(diǎn)電荷Q，用鏡像法求電勢，導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解: 設(shè)B處有電荷來代替球殼上感應(yīng)電荷，在球內(nèi)產(chǎn)生的場：所以 =由于球殼及球外電場為零，感應(yīng)電荷只能分布于內(nèi)表面，因?yàn)閰^(qū)域電場為零，故由高斯定理： 所以 10上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷，或使其有確定電勢，試求著兩種情況的電勢。又問和是何關(guān)系時(shí)，兩情況的解是相等的？解：由上題可知若在球外放置電荷，則球面上電勢為零若在球心上放置則球殼電勢由零變?yōu)橛汕驗(yàn)榈葎蒹w，球外電勢為球?qū)ΨQ分布有高斯定理求內(nèi)電勢升高由前題結(jié)果得若球有確定電勢則 當(dāng)兩情況的解相等。11在接地的導(dǎo)體平面上，有一半徑為a的半球凸部，半球的球心在平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上并與平面相距為b(ba)，試用電像法求空間電勢。 解：選取像電荷-Q放在（0，0，-b）處使導(dǎo)體平面電勢為零，然后選?。?，0，）和（0，0，）像電荷，使之與Q和-Q所成的電勢在球面為零，由9題結(jié)果得： , ， , 則上半空間的電勢就是這四種電荷所產(chǎn)生的電勢的疊加: 12。有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)相互垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b，求空間電勢。解：像電荷選取如圖： 13設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為的液體，取該兩平面為XZ和YZ，在()和()兩點(diǎn)分別放正負(fù)電極并通以電流I求導(dǎo)電液體中的電勢。 解：設(shè)容器兩邊界分別為x=o和y=o平面作一包圍正電極的高斯面，有 其中為導(dǎo)線的電導(dǎo)率設(shè)則同理在負(fù)電極上在容器邊界由所以即 對(duì)于以平面為保證，選取鏡像位置上放置同號(hào)電荷項(xiàng)電荷放置如左圖在x0。Y0空間上電勢就是這8個(gè)電荷產(chǎn)生的電勢疊加14畫出函數(shù)的圖，說明是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度解：處于原點(diǎn)的偶極子可以表示為因?yàn)樗?5證明：（1) (a0) (若a0，結(jié)果如何) （2）x=0證明：（1）由得 （2） 又 所以x=016.一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢的公式極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為 另外，根據(jù)極化電荷公式及極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢由可表示為 證明以上兩表達(dá)式是等同的證明： = = = 17證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化（1）在面電荷兩側(cè)。電勢法向微商有越變，而電勢是連續(xù)的（2）在面偶極層兩側(cè)電勢有越變 而電勢的法相微商是連續(xù)的解：對(duì)面電荷作高斯面有即=-跨過面電荷取微小路經(jīng)電勢法向微商有越變 兩邊取極限右邊第一項(xiàng)是有限值， 也是有限值所以極限為零，即=0（2）對(duì)面電荷作高斯面，有即=0由圖，顯然有 18一半徑為的球面，在球坐標(biāo)的半球面上電勢為 ，在 的半球面上