金融工程 第06章 期權(quán)定價(jià).doc

第六章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)是所有衍生金融工具定價(jià)中最復(fù)雜的，它涉及到隨機(jī)過程等較為復(fù)雜的概念。我們將由淺入深，盡量深入淺出地導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)公式，并找出衍生證券定價(jià)的一般方法。第一節(jié)證券價(jià)格的變化過程由于期權(quán)定價(jià)用的相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格的變化過程。目前，學(xué)術(shù)界普遍用隨機(jī)過程來描述證券價(jià)格的變化過程。本節(jié)將由淺入深地加以介紹。一、弱式效率市場(chǎng)假說與馬爾可夫過程1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說。該假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的。效率市場(chǎng)假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。弱式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒有用處。效率市場(chǎng)假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對(duì)此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說。弱式效率市場(chǎng)假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）來表述。所謂隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。根據(jù)時(shí)間是否連續(xù)隨機(jī)過程可分為離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程，前者是指變量只能在某些分離的時(shí)間點(diǎn)上變化的過程，后者指變量可以在連續(xù)的時(shí)間段變化的過程。根據(jù)變量取值范圍是否連續(xù)劃分，隨機(jī)過程可分為離散變量和連續(xù)變量過程，前者指變量只能取某些離散值，而后者指變量可以在某一范圍內(nèi)取任意值。從嚴(yán)格意義上說，證券價(jià)格的變化過程屬于離散變量的離散時(shí)間隨機(jī)過程，但我們?nèi)钥砂阉茷檫B續(xù)變量的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。在這個(gè)過程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過程，則其未來價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。二、布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Motion）起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國植物學(xué)家羅伯特布朗（Robert Brown）命名。然而真正用于描述布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程的定義是維納（Wiener）給出的，因此布朗運(yùn)動(dòng)又稱維納過程。（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足（6.1）： = （6.1）其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。從特征1可知，本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。從特征2可知，標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式?，F(xiàn)在我們來考察遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量z在一段較長時(shí)間T中的變化情形。我們用z（T）z(0)表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個(gè)長度為的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/，因此， （6.2）其中(i=1，2，N）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值。從特征2可知，是相互獨(dú)立的，因此z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N=T，標(biāo)準(zhǔn)差為。由此我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特征：在任意長度的時(shí)間間隔T中，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量的變化值服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。對(duì)于相互獨(dú)立的正態(tài)分布，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。當(dāng)0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： （6.3）（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)為了得到普通的布朗運(yùn)動(dòng)，我們必須引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。漂移率（Drift Rate）是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（Variance Rate）是指單位時(shí)間的方差。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來任意時(shí)刻z的均值都等于它的當(dāng)前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時(shí)間段后，z的方差為1.0T。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運(yùn)動(dòng)： （6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這個(gè)過程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。從式（6.1）和（6.4）可知，在短時(shí)間后，x值的變化值為：因此，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。同樣，在任意時(shí)間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。三、伊藤過程普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤伊藤（K.Ito）是一位數(shù)學(xué)家，它在1951年提出伊藤過程及下文的伊藤引理。過程（Ito Process）： （6.5）其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。四、證券這里的“證券”專指無收益證券，證券收益對(duì)證券價(jià)格和期權(quán)定價(jià)影響將在下文專門討論。價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為S2的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得： （6.6）其中S表示證券價(jià)格，表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率） 這是因?yàn)?，?dāng)=0時(shí)，公式（6.6）變?yōu)?。解得：。顯然，是連續(xù)復(fù)利收益率。， 表示證券收益率單位時(shí)間的方差，表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。公式（6.6）又被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。從（6.6）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。換句話說 （6.7）其中表示均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為s的正態(tài)分布。在式（6.6），我們涉及兩個(gè)符號(hào)：，其大小取決于時(shí)間計(jì)量單位。在本書中，若無特別申明，我們通常以年為時(shí)間的計(jì)量單位。根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理，值取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率（）是無關(guān)的。相反，證券價(jià)格的波動(dòng)率（）對(duì)于衍生證券的定價(jià)則是相當(dāng)重要的。證券價(jià)格的波動(dòng)率可理解為證券價(jià)格的“脾氣”，我們可以通過歷史數(shù)據(jù)來觀察各種證券“脾氣”的大小，然后通過公式（6.6）來確定其未來價(jià)格的概率分布。應(yīng)該注意的是，公式（6.6）把當(dāng)作常數(shù)，實(shí)際上，證券價(jià)格的脾氣是會(huì)變的。會(huì)隨時(shí)間變化而變化。因此用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)值時(shí)，應(yīng)盡量用最新一段時(shí)間的數(shù)據(jù)，而且要注意這只是一種近似。例6.1設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為每年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年20%，其目前的市價(jià)為100元，求一周后該股票價(jià)格變化值的概率分布。在本例中，=0.20，=0.18，其股價(jià)過程為：在隨后短時(shí)間時(shí)隔后的股價(jià)變化為：由于1周等于0.0192年，因此上式表示一周后股價(jià)的增加值是均值為0.384元，標(biāo)準(zhǔn)差為2.49元的正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值。應(yīng)該注意的是，由于比例變化不具有可加性（例如股價(jià)先增長10%，再增長15%，其總增長幅度不是25%，而應(yīng)該是26.5%），因此我們并不能象以前一樣推導(dǎo)出在任意時(shí)間長度T后證券價(jià)格比例變化的標(biāo)準(zhǔn)差為。五、伊藤引理在伊藤過程的基礎(chǔ)上，伊藤進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （6.8）其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于 和都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為：，方差率為。公式（6.8）就是著名的伊藤引理伊藤引理的證明過程請(qǐng)參見Hull，J.C.，Options，F(xiàn)utures， and Derivative Securities , 5th ed., Prentice Hall，2002。從式（6.5）中，我們可得： （6.9）其中，和為常數(shù)。我們知道，衍生證券的價(jià)格是標(biāo)的證券價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)。根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過程： （6.10）比較式（6.9）和(6.10)可看出，衍生證券價(jià)格G和標(biāo)的證券價(jià)格S都受同一個(gè)不確定性來源dz的影響，這點(diǎn)對(duì)于以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。六、證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過程我們可用伊藤引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS變化所遵循的隨機(jī)過程。令，由于代入式（6.10），我們就可得出證券價(jià)格對(duì)數(shù)G所遵循的隨機(jī)過程為：由于和是常數(shù)，所以上式說明證券價(jià)格對(duì)數(shù)G也遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前面的分析可知，在當(dāng)前時(shí)刻t和將來某一時(shí)刻T之間G的變化都是正態(tài)分布的，其均值為，方差為。令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在Tt期間G的變化為：這意味著： （6.11）也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)的變化呈正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布的特性，從式（6.11）可以得到： （6.12）這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與成比例，這說明證券價(jià)格對(duì)數(shù)的不確定性（用標(biāo)準(zhǔn)差表示）與我們考慮的未來時(shí)間的長度的平方根成正比。這就解決了前面所說的證券價(jià)格比例變化的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間不成正比的問題。例6.2設(shè)A股票價(jià)格的當(dāng)前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動(dòng)率為每年20%,該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),且該股票在6個(gè)月內(nèi)不付紅利，請(qǐng)問該股票6個(gè)月后的價(jià)格ST的概率分布。由式（6.12）可知，6個(gè)月后ST的概率分布為：由于一個(gè)正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95%，因此，置信度為95%時(shí)：因此，6個(gè)月后A股票價(jià)格落在40.85元到71.81元之間的概率為95%。根據(jù)式（6.12）和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性,可知ST的期望值E(ST)為： （6.13）這與作為預(yù)期收益率的定義相符。ST的方差var(ST)為： （6.14）例6.3請(qǐng)問在例6.2中，A股票在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差等多少？半年后，A股票價(jià)格的期望值為54.71元，標(biāo)準(zhǔn)差為或7.78。第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型現(xiàn)在，我們就可以根據(jù)上述隨機(jī)過程的有關(guān)知識(shí)推導(dǎo)著名的布萊克舒爾斯（BlackScholes）微分方程及期權(quán)定價(jià)公式。一、布萊克舒爾斯微分方程由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。那么，在無套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。推導(dǎo)布萊克舒爾斯微分方程需要用到如下假設(shè)：1證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和為常數(shù)；2允許賣空標(biāo)的證券；3沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；4在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；6證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；7在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。實(shí)際上，有些假設(shè)條件我們可以放松，如、和r可以是t的函數(shù) 詳見第7章。（一）布萊克舒爾斯微分方程的推導(dǎo)由于我們假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有：其在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，S的變化值為： （6.15）假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的函數(shù)，從式（6.10）可得：在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，f的變化值為： （6.16）從上面分析可以看出，（6.15）和（6.16）中的相同，都等于。因此只要選擇適當(dāng)?shù)难苌C券和標(biāo)的證券的組合就可以消除不確定性。為了消除，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價(jià)值，則： （6.17）在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為： （6.18）將式（6.15）和（6.16）代入式（6.18），可得： （6.19）由于式（6.19）中不含有，該組合的價(jià)值在一個(gè)小時(shí)間間隔后必定沒有風(fēng)險(xiǎn)，因此該組合在中的瞬時(shí)收益率一定等于中的無風(fēng)險(xiǎn)收益率。否則的話，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益率。因此，在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：把式（6.17）和（6.19）代入上式得：化簡為： （6.20）這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。應(yīng)該注意的是，當(dāng)S和t變化時(shí)， 的值也會(huì)變化，因此上述投資組合的價(jià)值并不是永遠(yuǎn)無風(fēng)險(xiǎn)的，它只是在一個(gè)很短的時(shí)間間隔中才是無風(fēng)險(xiǎn)的。在一個(gè)較長時(shí)間中，要保持該投資組合無風(fēng)險(xiǎn)，必須根據(jù)的變化而相應(yīng)調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量。當(dāng)然，推導(dǎo)布萊克舒爾斯微分方程并不要求調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量，因?yàn)樗魂P(guān)心中的變化。（二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理從式（6.20）可以看出，衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）和無風(fēng)險(xiǎn)利率，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。于是，我們就可以利用布萊克舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個(gè)可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。應(yīng)該注意的是，風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡單的例子來說明。假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（110.5）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：110.5=9=0.25因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此：這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：P=62.66%。又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：P=69.11%?？梢?，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式1973年，布萊克和舒爾斯成功地求解了他們的微分方程，從而獲得了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的精確公式詳見：Black，F(xiàn). and M. Scholes，“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”（期權(quán)和公司負(fù)債的定價(jià)），Journal of Political Economy，81（MayJune 1973），63759.。在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：其中，表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： （6.21）在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，我們可以用r取代式（6.12）所表示lnST概率分布中的，即： （6.22）對(duì)式（6.21）右邊求值是一種積分過程 詳細(xì)推導(dǎo)過程請(qǐng)見本章附錄A。，結(jié)果為： （6.23）其中，N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。B-S公式看起來很復(fù)雜，為了幫助理解，我們可以從三個(gè)角度來理解這個(gè)公式的金融含義。首先，從附錄A的推導(dǎo)過程可以看出，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值 關(guān)于資產(chǎn)或無價(jià)值期權(quán)和現(xiàn)金或無價(jià)值期權(quán)，詳見第9章。在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式（6.23）也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 ： （6.24）由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價(jià)還沒有得到一個(gè)精確的解析公式，但可以用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出 詳見第8章。三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。那么，對(duì)于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價(jià)公式是什么呢？實(shí)際上，如果收益可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到，或者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)并不復(fù)雜。（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率從理論上說,風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率并不完全等于整個(gè)證券價(jià)格的的波動(dòng)率,有風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率近似等于整個(gè)證券價(jià)格波動(dòng)率乘以S/(SV)，這里V是紅利現(xiàn)值。但在本書中，為了方便起見，我們假設(shè)兩者是相等的。，就可直接套用公式（6.23）和（6.24）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（SI）代替式（6.23）和（6.24）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替式（6.23）和（6.24）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格，從而使布萊克舒爾斯的歐式期權(quán)定價(jià)公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價(jià)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)。對(duì)于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價(jià)公式： （6.25） （6.26）其中，例6.4假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格。由于英鎊會(huì)產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)收益，現(xiàn)在的1英鎊等于6個(gè)月后的英鎊，而現(xiàn)在的英鎊等于6個(gè)月后的1英鎊，因此可令，并代入式（6.23）就可求出期權(quán)價(jià)格。通過查累積正態(tài)分布函數(shù)N（x）的數(shù)據(jù)表，我們可以得出：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分因此,6個(gè)月期英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格為3.05美分。（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)1美式看漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。例6.5假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)第5章的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除權(quán)日前不等式右邊為：由于2.43851.0元，因此在第一個(gè)除權(quán)日前期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行。第二次除權(quán)日前不等右邊為：由于0.4148c12，因此該美式看漲期權(quán)價(jià)值近似為7.2824元。2美式看跌期權(quán)由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第三節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究和應(yīng)用一個(gè)大家都關(guān)心的問題是布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的精確度有多高，在實(shí)踐中用處有多大。一、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式實(shí)證研究對(duì)于精度問題，我們可以運(yùn)用布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出期權(quán)價(jià)格的理論值，然后與市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行比較。如果兩者不存在顯著的差別，那么這個(gè)定價(jià)公式的精度應(yīng)該是令人滿意的。布萊克和舒爾斯的研究參見Black, F and M. Sholes, 1972, “The Value of Option Contracts and a Test of Market Efficiency,” Journal of Finance, 27, 399418。發(fā)現(xiàn)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)。蓋爾特基等人參見Gultekin, N., R. Rogalski, and Inic, 1982, “Option Pricing Model Estimates: Some Empirical Results,” Financial Manangement, 11, 5869。也得出了類似的結(jié)論，此外他們還發(fā)現(xiàn)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式會(huì)高估實(shí)值期權(quán)的價(jià)格，低估虛值期權(quán)的價(jià)格。開勒斯參見Chiras, D., and S.Manaster, 1978, “The Information Content of Option Prices and a Test of Market Efficiency,” Journal of Financial Economics, 6, 213234。等人則發(fā)現(xiàn)改變波動(dòng)率的估計(jì)的方式會(huì)提高布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在預(yù)測(cè)實(shí)際價(jià)格時(shí)的表現(xiàn)。雖然上述研究證實(shí)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一。與CAPM解釋股票價(jià)格差異的能力相比，布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式可以較好地解釋期權(quán)的價(jià)格差異。造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)：1. 計(jì)算錯(cuò)誤；2. 期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡；3. 使用的錯(cuò)誤的參數(shù)；4. 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式除了可以用來估計(jì)期權(quán)價(jià)格，在其它一些方面也有重要的應(yīng)用。主要包括評(píng)估組合保險(xiǎn)成本、給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)和為認(rèn)股權(quán)證估值。（一）評(píng)估組合保險(xiǎn)成本證券組合保險(xiǎn)是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關(guān)資產(chǎn)的同時(shí)買入看跌期權(quán)就是一種組合保險(xiǎn)。假設(shè)你掌管著價(jià)值1億的股票投資組合，這個(gè)股票投資組合于市場(chǎng)組合十分類似。你擔(dān)心類似于1987年10月19日的股災(zāi)會(huì)吞噬你的股票組合，這時(shí)購買一份看跌期權(quán)也許是合理的。顯然，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格越低，組合保險(xiǎn)的成本越小，不過也許我們需要一個(gè)確切的評(píng)估，市場(chǎng)上可能根本就沒有對(duì)應(yīng)的期權(quán)，要準(zhǔn)確估算成本十分困難，此時(shí)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式就十分有用。比如也許10的損失是可以接受的，那么執(zhí)行價(jià)格就可以設(shè)為9000萬，然后再將利率、波動(dòng)率和保值期限的數(shù)據(jù)代進(jìn)公式，就可以合理估算保值成本。（二）給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此可轉(zhuǎn)換債券相當(dāng)于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。即其中表示可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值，代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來的債券的價(jià)值，代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來的期權(quán)的價(jià)值。在實(shí)際中的估計(jì)是十分復(fù)雜的，因?yàn)閷?duì)利率非常敏感，而布萊克_舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式假定無風(fēng)險(xiǎn)利率不變，對(duì)顯然不適用。其次，從可轉(zhuǎn)換債券中隱含的期權(quán)的執(zhí)行與否會(huì)因?yàn)楣善惫衫蛡⒌膯栴}復(fù)雜化。第三，許多可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換比例會(huì)隨時(shí)間變化。還有就是絕大多數(shù)可轉(zhuǎn)換債券是可贖回的?？哨H回債券的分解更加復(fù)雜。對(duì)債券持有者而言，它相當(dāng)于一份普通的公司債券、一份看漲期權(quán)多頭（轉(zhuǎn)換權(quán)）和一份看漲期權(quán)空頭（贖回權(quán)）的組合?？哨H回的可轉(zhuǎn)換債券對(duì)股票價(jià)格變動(dòng)很敏感，而且對(duì)利率也非常敏感。當(dāng)利率下降的時(shí)候，公司可能會(huì)選擇贖回債券。當(dāng)然，利率上升的時(shí)候債券價(jià)值也會(huì)上升。（三）為認(rèn)股權(quán)證估值認(rèn)股權(quán)證通常是與債券或優(yōu)先股一起發(fā)行的，它的持有人擁有在特定時(shí)間以特定價(jià)格認(rèn)購一定數(shù)量的普通股，因此認(rèn)股權(quán)證其實(shí)是一份看漲期權(quán)，不過兩者之間還是存在細(xì)微的差別，看漲期權(quán)執(zhí)行的時(shí)候，發(fā)行股票的公司并不會(huì)受到影響，而認(rèn)股權(quán)證的執(zhí)行將導(dǎo)致公司發(fā)行更多的股票，因此，認(rèn)股權(quán)證的執(zhí)行存在稀釋效應(yīng)，在估值的時(shí)候必須考慮這一點(diǎn)。小結(jié)1. 效率市場(chǎng)假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。2. 證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為S2的伊藤過程來表示：3. 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：4. 證券價(jià)格對(duì)數(shù)呈正態(tài)分布:5. 為了給期權(quán)定價(jià)，我們假設(shè)期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，據(jù)此可以推導(dǎo)出著名的布萊克舒爾斯微分方程：6. 在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。它可大大簡化衍生證券的定價(jià)，然而得出的結(jié)論也適用于厭惡風(fēng)險(xiǎn)情況。7. 布萊克舒爾斯定價(jià)公式可用于看跌期權(quán)和美式看漲期權(quán)定價(jià)。對(duì)美式看跌期權(quán)定價(jià)只能用二叉樹、蒙特卡羅模擬、有限差分以及解析近似方法求出。 習(xí)題：1假設(shè)某不付紅利股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其預(yù)期年收益率16%，年波動(dòng)率30%，該股票當(dāng)天收盤價(jià)為50元，求：第二天收盤時(shí)的預(yù)期價(jià)格，第二天收盤時(shí)股價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)差，在量信度為95%情況下，該股票第二天收盤時(shí)的價(jià)格范圍。2.變量X1和X2遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，漂移率分別為m1和m2，方差率分別為s12和s22。請(qǐng)問在下列兩種情況下，X1+X2分別遵循什么樣的過程？（1）在任何短時(shí)間間隔中X1和X2的變動(dòng)都不相關(guān)；（2）在任何短時(shí)間間隔中X1和X2變動(dòng)的相關(guān)系數(shù)為r。3假設(shè)某種不支付紅利股票的市價(jià)為50元，風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，該股票的年波動(dòng)率為30%，求該股票協(xié)議價(jià)格為50元、期限3個(gè)月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格。4請(qǐng)證明布萊克舒爾斯看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)公式符合看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價(jià)公式。5某股票市價(jià)為70元，年波動(dòng)率為32%，該股票預(yù)計(jì)3個(gè)月和6個(gè)月后將分別支付1元股息，市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%?，F(xiàn)考慮該股票的美式看漲期權(quán)，其協(xié)議價(jià)格為65元，有效期8個(gè)月。請(qǐng)證明在上述兩個(gè)除息日提前執(zhí)行該期權(quán)都不是最優(yōu)的，并請(qǐng)計(jì)算該期權(quán)價(jià)格。6某股票目前價(jià)格為40元，假設(shè)該股票1個(gè)月后的價(jià)格要么為42元、要么38元。連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8%。請(qǐng)問1個(gè)月期的協(xié)議價(jià)格等于39元?dú)W式看漲期權(quán)價(jià)格等于多少？習(xí)題答案：1、 由于在本題中，S50，m0.16,s=0.30,Dt=1/365=0.00274.因此，DS/50f(0.160.00274,0.30.002740.5)=f(0.0004,0.0157)DSf(0.022,0.785)因此，第二天預(yù)期股價(jià)為50.022元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.785元，在95的置信水平上第2