奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽初級(jí)講座第3講 奇偶分析.doc

第3講 奇偶分析我們知道，全體自然數(shù)按被2除的余數(shù)不同可以劃分為奇數(shù)與偶數(shù)兩大類。被2除余1的屬于一類，被2整除的屬于另一類。前一類中的數(shù)叫做奇數(shù)，后一類中的數(shù)叫做偶數(shù)。關(guān)于奇偶數(shù)有一些特殊性質(zhì)，比如，奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)等。靈活、巧妙、有意識(shí)地利用這些性質(zhì)，加上正確的分析推理，可以解決許多復(fù)雜而有趣的問題。用奇偶數(shù)性質(zhì)解題的方法稱為奇偶分析，善于運(yùn)用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例1 下表中有15個(gè)數(shù)，選出5個(gè)數(shù)，使它們的和等于30，你能做到嗎？為什么？分析與解：如果一個(gè)一個(gè)去找、去試、去算，那就太費(fèi)事了。因?yàn)闊o論你選擇哪5個(gè)數(shù)，它們的和總不等于30，而且你還不敢馬上斷言這是做不到的。最簡單的方法是利用奇偶數(shù)的性質(zhì)來解，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和仍是奇數(shù)，表中15個(gè)數(shù)全是奇數(shù)，所以要想從中找出5個(gè)使它們的和為偶數(shù)，是不可能的。例2 小華買了一本共有96張練習(xí)紙的練習(xí)本，并依次將它的各面編號(hào)（即由第1面一直編到第192面）。小麗從該練習(xí)本中撕下其中25張紙，并將寫在它們上面的50個(gè)編號(hào)相加。試問，小麗所加得的和數(shù)能否為2000？解：不能。由于每一張上的兩數(shù)之和都為奇數(shù)，而25個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故不可能為2000。說明：“相鄰兩個(gè)自然數(shù)的和一定是奇數(shù)”，這條性質(zhì)幾乎是顯然的，但在解題過程中，能有意識(shí)地運(yùn)用它卻不容易做到，這要靠同學(xué)們多練習(xí)、多總結(jié)。例3 有98個(gè)孩子，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到98各不相同。試問：能否將這些孩子排成若干排，使每排中都有一個(gè)孩子的號(hào)碼數(shù)等于同排中其余孩子號(hào)碼數(shù)的和？并說明理由。解：不能。如果可以按要求排成，每排中都有一個(gè)孩子的號(hào)碼數(shù)等于同排中其余孩子號(hào)碼數(shù)的和，那么每一排中各號(hào)碼數(shù)之和都是某一個(gè)孩子號(hào)碼數(shù)的2倍，是個(gè)偶數(shù)。所以這98個(gè)號(hào)碼數(shù)的總和是個(gè)偶數(shù)，但是這98個(gè)數(shù)的總和為1+2+98=9949，是個(gè)奇數(shù)，矛盾！所以不能按要求排成。例4 如右圖，把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：有無可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請(qǐng)說明理由。 解：不可能。 如果每條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，而五角星有五條邊，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，那么五條線上的紅圈共有奇數(shù)個(gè)（包括重復(fù)的）。從另一個(gè)角度看，由于每個(gè)圓圈是兩條直線的交點(diǎn)，則每個(gè)圓圈都要計(jì)算兩次，因此，每個(gè)紅圈也都算了兩次，總個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，得出矛盾。所以，不可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)。說明：上述兩題都是從兩個(gè)不同的角度去分析處理同一個(gè)量，而引出矛盾的。例5 有20個(gè)1升的容器，分別盛有1，2，3，20厘米3水。允許由容器A向容器B倒進(jìn)與B容器內(nèi)相同的水（在A中的水不少于B中水的條件下）。問：在若干次倒水以后能否使其中11個(gè)容器中各有11厘米3的水？解：不可能。在倒水以后，含奇數(shù)立方厘米水的容器數(shù)是不會(huì)增加的。事實(shí)上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）來表示兩個(gè)分別盛有偶數(shù)及偶數(shù)，偶數(shù)及奇數(shù)，奇數(shù)及奇數(shù)立方厘米水的容器。于是在題中條件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍為（偶，偶）；而（偶，奇）會(huì)成為（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）卻成為（偶，偶）。在任何情況下，盛奇數(shù)立方厘米水的容器沒有多出來。因?yàn)殚_始時(shí)有10個(gè)容器里盛有奇數(shù)立方厘米的水，所以不會(huì)出現(xiàn)有11個(gè)盛有奇數(shù)立方厘米水的容器。例6 一個(gè)俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說真話；一種是騙子，永遠(yuǎn)說假話。某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè)騙子兩旁都是老實(shí)人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？”張三答：“共有45人?！绷硪粋€(gè)成員李四說：“張三是老實(shí)人。”請(qǐng)判斷李四是老實(shí)人還是騙子？分析與解：根據(jù)俱樂部的全體成員圍坐一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè)騙子兩旁都是老實(shí)人的條件，可知俱樂部中的老實(shí)人與騙子的人數(shù)相等，也就是說俱樂部的全體成員總和是偶數(shù)。而張三說共有45人是奇數(shù)，這說明張三是騙子，而李四說張三是老實(shí)人，說了假話，所以李四也是騙子。說明：解答此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件導(dǎo)出老實(shí)人與騙子的人數(shù)相等，這里實(shí)質(zhì)上利用了對(duì)應(yīng)的思想。類似的問題是：圍棋盤上有1919個(gè)交叉點(diǎn)，現(xiàn)在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點(diǎn)上放著白子（或黑子）。問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置上？提示：仿例6。答：不能。例7 某市五年級(jí)99名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題共30道，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是基礎(chǔ)分15分，答對(duì)一道加5分，不答記1分，答錯(cuò)一道倒扣1分。問：所有參賽同學(xué)得分總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：對(duì)每個(gè)參賽同學(xué)來說，每題都答對(duì)共可得165分，是奇數(shù)。如答錯(cuò)一題，就要從165分中減去6分，不管錯(cuò)幾道，6的倍數(shù)都是偶數(shù)，165減去偶數(shù)，差還是奇數(shù)。同樣道理，如有一題不答，就要減去4分，并且不管有幾道題不答，4的倍數(shù)都是偶數(shù)，因此，從總分中減去的仍是偶數(shù)，所以每個(gè)同學(xué)的得分為奇數(shù)。而奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和仍為奇數(shù)，故99名同學(xué)得分總和一定是奇數(shù)。例8 現(xiàn)有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆（每堆都有蘋果、梨和桔子三種水果），才能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。分析與解：當(dāng)每堆都含有三種水果時(shí)，三種水果的奇偶情況如下表： 可見，三種水果的奇偶情況共有8種可能，所以必須最少分成9堆，才能保證有兩堆的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。說明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況一一列舉出來，使問題一目了然。例9 有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內(nèi)共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成？解：當(dāng)幣值為偶數(shù)時(shí)，可以用若干枚2分硬幣組成；當(dāng)幣值為奇數(shù)時(shí)，除1分和3分這兩種幣值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬幣組成，所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。說明：將全體整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類，分而治之，逐一討論，是解決整數(shù)問題的常用方法。若偶數(shù)用2k表示，奇數(shù)用2k+1表示，則上述討論可用數(shù)學(xué)式子更為直觀地表示如下：當(dāng)幣值為偶數(shù)時(shí)，2k說明可用若干枚2分硬幣表示；當(dāng)幣值為奇數(shù)時(shí)，2k+1=2（k-2）+5，其中k2。當(dāng)k=0，1時(shí)，2k+1=1，3。1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成，而其他幣值均可由2分和5分硬幣組成。例10 設(shè)標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開關(guān)?，F(xiàn)在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈沒亮。小華從燈A開始順次拉動(dòng)開關(guān)，即從A到G，再從A開始順次拉動(dòng)開關(guān)，他這樣拉動(dòng)了999次開關(guān)后，哪些燈亮著，哪些燈沒亮？解：一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，將改變?cè)瓉淼臓顟B(tài)，即亮的變成熄的，熄的變成亮的；而一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變?cè)瓉淼臓顟B(tài)。由于999=7142+5，因此，燈A，B，C，D，E各被拉動(dòng)143次開關(guān)，燈F，G各被拉動(dòng)142次開關(guān)。所以，當(dāng)小華拉動(dòng)999次后B，E，G亮，而A，C，D，F(xiàn)熄。例11 桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動(dòng)77枚，第2次翻動(dòng)其中的76枚，第3次翻動(dòng)其中的75枚第77次翻動(dòng)其中的1枚。按這樣的方法翻動(dòng)硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說明你的理由。分析：對(duì)每一枚硬幣來說，只要翻動(dòng)奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實(shí)，對(duì)我們解決這個(gè)問題起著關(guān)鍵性作用。解：按規(guī)定的翻動(dòng)，共翻動(dòng)1+2+77=7739次，平均每枚硬幣翻動(dòng)了39次，這是奇數(shù)。因此，對(duì)每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到7739=77+（76+1）+（75+2）+（39+38），根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計(jì)如下的翻動(dòng)方法：第1次翻動(dòng)77枚，可以將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；第2次與第77次共翻動(dòng)77枚，又可將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動(dòng)一次。這樣每枚硬幣都翻動(dòng)了39次，都由正面朝下變?yōu)檎娉?。說明：（1）此題也可從簡單情形入手（如9枚硬幣的情形），按規(guī)定的翻法翻動(dòng)硬幣，從中獲得啟發(fā)。（2）對(duì)有關(guān)正、反，開、關(guān)等實(shí)際問題通?？苫癁橛闷媾紨?shù)關(guān)系討論。例12 在88的棋盤的左下角放有9枚棋子，組成一個(gè)33的正方形（如左下圖）。規(guī)定每枚棋子可以跳過它身邊的另一枚棋子到一個(gè)空著的方格，即可以以它旁邊的棋子為中心作對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，可以橫跳、豎跳或沿著斜線跳（如右下圖的1號(hào)棋子可以跳到2，3，4號(hào)位置）。問：這些棋子能否跳到棋盤的右上角（另一個(gè)33的正方形）？解：自左下角起，每一個(gè)方格可以用一組數(shù)（行標(biāo)、列標(biāo)）來表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格記為（i，j）。問題的關(guān)鍵是考慮9枚棋子（所在方格）的列標(biāo)的和S。一方面，每跳一次，S增加0或偶數(shù)，因而S的奇偶性不變。另一方面，右上角9個(gè)方格的列標(biāo)的和比左下角9個(gè)方格的列標(biāo)之和大3（6+7+8）-3（1+2+3）=45，這是一個(gè)奇數(shù)。綜合以上兩方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那個(gè)33的正方形里。奇偶分析作為一種分析問題、處理問題的方法，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是處理存在性問題的有力工具，本講所舉例題大多屬于這類問題。這種方法具有很強(qiáng)的技巧性，尤其是選擇什么量進(jìn)行奇偶分析往往是很困難的。選準(zhǔn)了，只須依據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)，分析這個(gè)量的奇偶特征，問題便迎刃而解；選不好，事倍功半。同學(xué)們應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì)本講所舉例題，以把握選擇合適的量進(jìn)行奇偶分析的技巧。練習(xí)31下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？ += -= =2任意取出1234個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？3一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和。如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，試問：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)（包括第100個(gè)數(shù)）中，有多少個(gè)偶數(shù)？4能不能將1010寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。5能否將1至25這25個(gè)自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和？6在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個(gè)學(xué)生進(jìn)行比賽，每兩人都賽一局?，F(xiàn)知，其中有一位學(xué)生共得7分，另一位學(xué)生共得20分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。7在黑板上寫上1，2，909，只要黑板上還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，并寫上a-b（其中ab）。問：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)？8設(shè)a1，a2，a64是自然數(shù)1，2，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，b32=a63-a64；c1=b1-b2，c2=b3-b4，c16=b31-b32；d1=c1-c2，d2=c3-c4，d8=c15-c16；這樣一直做下去，最后得到的一個(gè)整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？練習(xí)31.至少有6個(gè)偶數(shù)。2.奇數(shù)。解：12342=617，所以在任取的1234個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。3.33。提示：這串?dāng)?shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶”循環(huán)。4.不能。如果1010能表示成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間2個(gè)數(shù)的和應(yīng)當(dāng)是10105=202。但中間 2個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應(yīng)是奇數(shù)，不能等于偶數(shù)202。所以，1010不能寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。5.不能。提示：仿例3。6.證：設(shè)得7分的學(xué)生勝了x1局，敗了y1局，得 20分的學(xué)生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：x1-y1=7，x2-y220。如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場(chǎng)次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。7.奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S1+2+909是一個(gè)奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-（a-b）=2b，這是一個(gè)偶數(shù)，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時(shí)S是奇數(shù)，因此終止時(shí)S仍是一個(gè)奇數(shù)。8.偶數(shù)。解：我們知道，對(duì)于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計(jì)算的第二步中，32個(gè)數(shù)a1-a2， a