概率分布期望方差匯總.doc

1.編號1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是X.（1）求隨機(jī)變量X的分布列；（2）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.解 （1）P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=3）=；隨機(jī)變量X的分布列為 X013P（2）E（X）=1+3=1.D（X）=(1-0)2+(1-1)2+(3-1)2=1.2 某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求：（1）X的分布列；（2）X的均值.解 （1）X的所有可能取值為0，10，20，50，60.P（X=0）=；P（X=10）=+=;P(X=20)= =;P(X=50)=;P(X=60)= =.故X的分布列為X010205060P（2）E（X）=0+10+20+50+60=3.3(元).3（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。 （2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P故4湖南理18（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。（）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。4解（I）（“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（）由題意知，的可能取值為2,3. （“當(dāng)天商品銷售量為1件”） （“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）（“當(dāng)天商品銷售量為3件”） 故的分布列為23 的數(shù)學(xué)期望為5、江西理16（本小題滿分12分）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以使確定工資級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對，則月工資定為3500元，若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力 （1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望。（本小題滿分12分）解：（1）X的所有可能取值為：0，1，2，3，4即X01234P （2）令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100，2800，3500所以新錄用員工月工資的期望為2280元.6、遼寧理（19）（本小題滿分12分）某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）試驗(yàn)時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)6解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數(shù)學(xué)期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 8分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 10分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.7、山東理18（本小題滿分12分）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.7解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因?yàn)橛蓪α⑹录母怕使街t隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此由對立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0103504015因此20解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應(yīng)選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應(yīng)選擇L2（）A,B分別表示針對（）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨(dú)立， 的分布列為X012P0040420548、四川理18（本小題共12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時免費(fèi)，超過兩小時的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時的部分按1小時計(jì)算）。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；8解析：（1）所付費(fèi)用相同即為元。設(shè)付0元為，付2元為，付4元為則所付費(fèi)用相同的概率為（2）設(shè)甲，乙兩個所付的費(fèi)用之和為，可為分布列9、天津理16（本小題滿分13分）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中， （i）摸出3個白球的概率； （ii）獲獎的概率；（）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望 .9本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決簡單的實(shí)際問題的能力.滿分13分. （I）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則 （ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的數(shù)學(xué)期望10重慶理17（本小題滿分13分）（）小問5分，（）小問8分）某市公租房的房源位于A，B，C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請人中： （）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率； （）申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望10（本題13分）解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題. （I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為解法二：設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 （II）的所有可能值為1，2，3.又綜上知，有分布列 1 2 3P 從而有11.（2008全國理，20）已知5只動物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個化驗(yàn),直到能確定患病動物為止.方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只,然后再逐個化驗(yàn),直到能確定患病動物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;(2)表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求的期望.解 （1）設(shè)1、2分別表示依方案甲和依方案乙需化驗(yàn)的次數(shù)，P表示對應(yīng)的概率，則方案甲中1的分布列為1234P方案乙中2的分布列為 123P0若甲化驗(yàn)次數(shù)不少于乙化驗(yàn)次數(shù),則P=P(1=1)P(2=1)+P(1=2)P(2=1)+P(2=2)+P(1=3)P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)+P(1=4)=0+（0+）+（0+）+=0.72.(2)E（）=10+2+3=2.4.12.甲、乙兩個籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解 (1)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B.由題意得(1-P(B)2=(1-p)2=,解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率為.（2）由題設(shè)和（1）知P(A)=,P()=,P(B)= ,P()=.可能的取值為0，1，2，3，故P(=0)=P()P()=,P(=1)=P(A)P()+P（B）P（）P（）=+2=,P(=3)=P(A)P(BB)=,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.的分布列為0123P的數(shù)學(xué)期望 E（）=0+1+2+3=2.13.設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以和分別表示取出次品和正品的個數(shù).（1）求的分布列、期望值及方差；（2）求的分布列、期望值及方差.解 （1）的可能值為0，1，2.若=0，表示沒有取出次品，其概率為：P（=0）=;同理，有P（=1）=；P（=2）=.的分布列為：012PE（）=0+1+2=.D（）=(0-)2+=+=.(2)的可能值為1，2，3，顯然+=3.P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,P(=3)=P(=0)=.的分布列為： 123PE（）=E（3-）=3-E（）=3-=.=-+3，D（）=（-1）2D（）=.14.某地區(qū)的一個季節(jié)下雨天的概率是0.3，氣象臺預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨，若下雨而不做處理，每天會損失3 000元，若對當(dāng)天產(chǎn)品作防雨處理，可使產(chǎn)品不受損失，費(fèi)用是每天500元.（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失的分布列，并求其平均值；（2）若該廠完全按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理，以表示每天的損失，寫出的分布列.計(jì)算的平均值，并說明按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理是否是正確的選擇？解 （1）設(shè)為損失數(shù)，分布列為：03 000P0.70.3E（）=3 0000.3=900（元）.（2）設(shè)為損失數(shù)，則P（=0）=0.70.8=0.56.P(=500)=0.30.8+0.70.2=0.38.P（=3 000）=0.30.2=0.06.分布列為：05003 000P0.560.380.06E（）=0+5000.38+3 0000.06=370平均每天損失為370元.370900，按天氣預(yù)報(bào)作防雨處理是正確的選擇.15.（2008湖北理，17）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號.（1）求的分布列、期望和方差；（2）若=a+b,E（）=1,D（）=11,試求a,b的值.解 （1）的分布列為 01234PE（）=0+1+2+3+4=1.5.D（）=(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(4-1.5)2=2.75.(2)由D（）=a2D（）,得a22.75=11,即a=2.又E（）=aE（）+b,所以當(dāng)a=2時,由1=21.5+b,得b=-2.當(dāng)a=-2時,由1=-21.5+b,得b=4.或即為所求.16.A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn).每個試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效.若在一個試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效