淺談三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的思維障礙.doc

淺談三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的思維障礙 武鋼三中 梁倩 郝曉輝學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，總會遇到這樣或那樣的困難，我們將其統(tǒng)稱為思維障礙。這種障礙的原因是多方面的，有概念理解不清造成的、也有結(jié)論應(yīng)用不當(dāng)超出其適用范圍造成的，還有以偏概全忽視分類討論導(dǎo)致錯誤等等。在學(xué)習(xí)過程中如何及時發(fā)現(xiàn)錯誤、排除錯誤，需要我們有批判意識，掌握常用的診斷錯誤的方法，了解預(yù)防和掌握障礙的策略，本文例舉三角函數(shù)章節(jié)中若干例題予以說明。例1、錯解：由已知得: ，故即.錯因分析：缺少分類討論思想，等式兩邊同時去掉了.正解：由已知得: ，當(dāng)時，；當(dāng)時，;即.例2、求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.錯解：由得: 故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.錯因分析：錯誤的使用了整體思想，忽略了內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)，對于復(fù)合函數(shù)的“同增異減”性質(zhì)理解不夠透徹.正解1：,由題意:只需求的單調(diào)遞減區(qū)間.由得: .故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.正解2：令,是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù).由題意:只需求的單調(diào)遞減區(qū)間.由得: .故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是例3、函數(shù)y=的最小正周期.錯解：由y=,的周期是,故原函數(shù)的周期也是.錯因分析：在使用正切的二倍角公式時,忽略了公式成立的隱含條件.也就是作了這樣的變換之后,函數(shù)的定義域擴大了,兩式并不等價,所以周期未必相同,那么怎么求其周期呢？應(yīng)該作出的圖象,結(jié)合圖像觀察得出結(jié)論. 正解：函數(shù)的定義域要滿足兩個條件：要有意義且， ，且。 而的圖象與的圖象大致相同，只需在圖中去掉所對應(yīng)的點，從去掉的幾個零值點看，原函數(shù)的周期應(yīng)為.例4、求的單調(diào)遞減區(qū)間.錯解：令因為單調(diào)遞減，由題意知只需求的遞增區(qū)間，由，得,故的單調(diào)減區(qū)間是.錯因分析：忽略了函數(shù)的定義域而產(chǎn)生錯誤,即由外層函數(shù)的定義域為,可推出內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值必須大于0,故需求的遞增區(qū)間且同時滿足.正解:因為在上單調(diào)遞減,由題意：需求的遞增區(qū)間且,故，得.故的單調(diào)減區(qū)間是.例5、把函數(shù)的周期擴大為原來的2倍，再將圖像向右平移個單位，求所得圖像的解析式錯解：函數(shù)的周期擴大為原來的2倍，得到函數(shù)，再將圖像向右平移 個單位，得到.錯因分析：機械地記憶“左加右減”口訣，沒有理解平移變換是針對于自變量而言的.正解：函數(shù)的周期擴大為原來的2倍，得到，再將圖像向右平移個單位，得到.例6、如圖為的一段，求其解析式.O2錯解1：由圖知，A=2，得所以.將帶入解析式，得又由故所求的解析式.錯因分析：將錯誤的認(rèn)為是“五點作圖法”中的第一個點.正解：將代入解析式，得因為是“五點作圖法”中的第三點，所以又由故錯解2：由圖可知，的圖像可看作是由的圖像向右平移個單位得到的，故.錯因分析：未理解平移變換是針對自變量而言的.正解：，由圖可知.例7、求直線與函數(shù)圖像所有交點的坐標(biāo).錯解1：由得, 解得，故所有交點的坐標(biāo)為.錯因分析：沒有正確理解正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)，同一個函數(shù)值對應(yīng)著兩個自變量.錯解2：由