高中數(shù)學第二章平面向量2.2從位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法課件2

2 2從位移的合成到向量的加法2 2 1向量的加法 知識提煉 1 向量的加法 1 定義 求兩個向量 和的運算 2 運算法則 a b 2 向量加法的運算律 1 交換律 a b 2 結(jié)合律 a b c a 特別地 對于零向量與任一向量a的和有0 a b a b c a 0 a 即時小測 1 思考下列問題 1 兩個向量的和向量方向如何確定 提示 根據(jù)向量加法的三角形法則 即 首尾相接 起點指向終點 2 力的合成與向量的加法有著怎樣的關(guān)系 提示 力的合成也可以看成是向量加法的一個物理模型 2 等于 A 0B 0C 2D 2 解析 選B 如圖 由向量加法的運算法則可知 3 在四邊形ABCD中 則 A ABCD一定是矩形B ABCD一定是菱形C ABCD一定是正方形D ABCD一定是平行四邊形 解析 選D 由知A B C D構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形 4 化簡 解析 原式 答案 5 在正方形ABCD中 邊長為1 則 a b 解析 a b 所以 a b 答案 知識探究 知識點1向量的加法法則觀察圖形 回答下列問題 問題1 三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有何不同 問題2 兩個向量共線時怎樣求和 問題3 多個向量相加時 運用哪個法則求解 總結(jié)提升 對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解 1 兩個法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個非零向量求和 平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和 當兩個向量不共線時 兩個法則是一致的 如圖所示 平行四邊形法則 又因為 三角形法則 2 在使用三角形法則時 應注意 首尾相接 在使用平行四邊形法則時相加向量共起點 3 多個向量相加的運算法則推廣 兩個向量相加有三角形法則 多個向量相加怎么辦呢 我們知道 兩個向量相加的三角形法則的物理模型是位移的合成 類似地 多個向量的相加 也可以用位移合成 即向量求和的三角形法則可推廣到多個向量求和的多邊形法則 n個向量經(jīng)過平移 順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合 組成一個向量折線 這n個向量的和等于折線起點到終點的向量 即 特別地 知識點2向量加法的運算律觀察圖形 回答下列問題 問題1 向量加法的交換律中向量b可以是零向量嗎 問題2 任意兩個向量相加都可以用平行四邊形法則嗎 問題3 向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量還成立嗎 總結(jié)提升 1 向量加法的交換律在圖 中的平行四邊形ABCD中 故a b b a 即向量加法滿足交換律 當向量a b至少有一個為零向量時 交換律顯然成立 當a b為非零向量且共線時 1 當a b同向時 向量a b與a同向 且 a b a b 向量b a與b同向 且 b a b a 故a b b a 2 當a b反向時 不妨設(shè) a b a b與a同向 且 a b a b b a與a同向 且 b a a b 故a b b a 2 向量加法的結(jié)合律在圖 中 所以從而 a b c a b c 即向量加法滿足結(jié)合律 3 向量加法運算律的推廣向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量仍然成立 恰當?shù)厥褂眠\算律可以實現(xiàn)簡化運算的目的 在進行多個向量的加法運算時 可以按照任意的次序和任意的組合進行 如 a b c d a d b c 題型探究 類型一向量求和 典例 1 如圖所示 四邊形ABCD是平行四邊形 E F G H分別是所在邊的中點 點O是對角線的交點 則下列各式正確的是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 如圖 已知梯形ABCD AD BC 則 解題探究 1 解答本題可用向量的哪些知識 提示 顯然可用向量的加法的平行四邊形法則及相等向量判斷 2 運用向量加法的結(jié)合律應如何結(jié)合較好 提示 一個向量的終點是另一個向量的起點時 兩個向量兩兩結(jié)合較好 解析 1 選A 由向量加法的平行四邊形法則知所以 正確 因為又因為所以 不正確 因為又因為 而所以 正確 因為所以 不正確 2 答案 方法技巧 向量加法運算律的應用原則及注意點 1 應用原則 利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律 使各向量 首尾相接 通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序 2 注意點 三角形法則強調(diào) 首尾相接 平行四邊形法則強調(diào) 起點相同 向量的和仍是向量 向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實質(zhì)上是向量加法的幾何意義 變式訓練 解析 方法一 方法二 答案 類型二利用向量的加法法則作圖 典例 如圖 已知a b 分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出a b 解題探究 如何作不共線的兩個向量的和 提示 在平面內(nèi)任取一點A 作 a 然后利用三角形法則或平行四邊形法則 作進而可得 解析 如圖所示 a b 延伸探究 1 變換條件 如果兩個向量變?yōu)槿鐖D所示 作出a b 解析 方法一 在平面內(nèi)任意取一點O 作如圖 方法二 在平面內(nèi)任意取一點O 以O(shè)A OB為鄰邊作 OACB 且連接OC 則 a b 如圖 2 變換條件 若本例再增加一個向量c 如圖 利用三角形法則作出a b c 解析 如圖 在平面內(nèi)任取一點O 作 方法技巧 利用向量加法的兩種法則作圖的方法 補償訓練 若正方形ABCD的邊長為1 試作出向量a b c 解析 根據(jù)平行四邊形法則可知 根據(jù)三角形法則 延長AC 在AC的延長線上作如圖 延伸探究 1 改變問法 本題條件不變 求 a b c 解析 因為 2 變換條件 如圖 O為 ABC內(nèi)一點 求作b c a 解析 方法一 如圖 以為鄰邊作 OBDC 連接則 方法二 如圖 作連接AD 則 類型三向量加法的應用 典例 如圖 O是四邊形ABCD對角線的交點 使得求證 四邊形ABCD是平行四邊形 解題探究 證明平行四邊形的方法有哪些 本例可從什么角度入手 提示 可證一組對邊平行且相等 也可證對角線互相平分 本例可證進而可得ABDC 解析 因為所以所以ABDC 所以四邊形ABCD是平行四邊形 延伸探究 本例的條件不變 在BD的延長線和反向延長線上各取一點F E 使BE DF 求證 四邊形AECF是平行四邊形 證明 因為四邊形ABCD是平行四邊形 所以因為BE DF 且的方向相同 所以所以即AE與FC平行且相等 所以四邊形AECF是平行四邊形 方法技巧 應用向量加法解決平面幾何與物理學問題的基本步驟 1 表示 用向量表示相關(guān)的量 將所有解決的問題轉(zhuǎn)化為向量的加法問題 2 運算 應用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則 進行相關(guān)運算 3 還原 根據(jù)向量運算的結(jié)果 結(jié)合向量共線 相等概念回答原問題 變式訓練 一架救援直升飛機從A地沿北偏東60 方向飛行了40km到達B地 再由B地沿正北方向飛行40km到達C地 求此時直升飛機與A地的相對位置 解題指南 利用向量加法的三角形法則 知是線段AC的長度 解析 如圖 設(shè)分別是直升飛機的兩次位移 則表示兩次位移的合位移 即在Rt ABD中 在Rt ACD中 CAD 60 即此時直升飛機位于A地北偏東30 方向 且距離A地40km處 補償訓練 P是 ABC內(nèi)的一點 則 ABC的面積與 ABP的面積之比為 解析 如圖 D為BC的中點 則所以P為 ABC的重心 故C到AB距離為P到AB距離的3倍 即若 ABC中AB邊上的高為h 則 ABP中AB邊上的高為h 所以答案 3 易錯案例向量的求和 典例 化簡 失誤案例 錯解分析 分析上面的解析過程 你知道錯在哪里嗎 提示 錯誤的根本原因在于對向量的加法運算的結(jié)果沒有正確理解 平面向量的加法運算的結(jié)果仍是一個向量 特別對于結(jié)果為零向量的運算 往往容易出現(xiàn)符號方面的錯誤 認為結(jié)果為零而將結(jié)果0錯誤地寫成