中考數(shù)學(xué)解題思路之三

中考數(shù)學(xué)解題思路之三 中考數(shù)學(xué)解題思路之三分類思想與討論方法東格致中學(xué)郁強(qiáng)所謂“分類討論”就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)某一標(biāo)準(zhǔn)把研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后按類進(jìn)行討論。 分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中的基本邏輯方法，初中數(shù)學(xué)中分類思想的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生逐步建立邏輯思維能力較為有效的載體。 初中四年，是學(xué)生由形象的接受知識(shí)到抽象的感知知識(shí)的階段。 學(xué)生通過對(duì)分類思想的建立和研究，培養(yǎng)了學(xué)生思維的條理性和縝密性，提高了學(xué)生全面周密地分析問題和解決問題的能力。 分類是討論的前提，討論是分類的延續(xù)，在建立了合理的分類后，只有找到正確的討論方法，才能認(rèn)為是完整的解決了問題。 分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)與屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)分類思想須滿足兩點(diǎn)要求 （1）對(duì)稱性，即保證分類的對(duì)象既不重復(fù)又不遺漏。 （2）同一性，即每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)。 初中數(shù)學(xué)分類思想的研究主要體現(xiàn)在以下三個(gè)基本的層面 一、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)定義下的分類。 具體的體現(xiàn)在等腰三角形的底角和頂角的分類；等腰三角形的腰和底邊的分類；不確定的相似三角形中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的分類等等。 此類問題的主要特點(diǎn)是由于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在定義時(shí)自身產(chǎn)生了分類，而問題的提問方式?jīng)]有對(duì)該定義的分類內(nèi)容進(jìn)行解釋，題意本身要求學(xué)生在解題的時(shí)候，根據(jù)定義的分類要求進(jìn)行合理的分類討論。 例 1、如圖 （1），在直角三角形ABC中，直角邊AC=3cm,BC=4cm.設(shè)P，Q分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)A沿AB方向向點(diǎn)B作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，它們移動(dòng)的速度均為每秒1cm，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就停止移動(dòng)設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間t秒 （1）當(dāng)t為何值時(shí)，?PBQ為等腰三角形？ （2）?PBQ能否與直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，說明理由（xx年黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷第24題）B QC PA圖 （1）此題是典型的根據(jù)定義分類討論的問題，第一小題要求確定?PBQ為等腰三角形，但是題目中未確定哪兩條邊相等，所以根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，為了在討論中不重?fù)和不遺漏，對(duì)三條邊BP、BQ兩兩相等進(jìn)行了組合分類討論，分成了 (1)BP=； (2)=BQ； (3)BP=BQ三種不同的情況。 第二小題要求確定?PBQ使其與?ABC相似，但是題目中未確定相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，所以根據(jù)相似三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚绢}根據(jù)圖形特點(diǎn)存在公共角，則若?PBQ與?ABC，存在 (1)BP BQBP BQ?； (2)兩種不同的情況。 AB BC BC AB這類問題的分類思想還是明確的，學(xué)生也是容易掌握分類和討論的方法，相對(duì)的難點(diǎn)在于分類后的解題方法會(huì)有一些困難，需要學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練和總結(jié)。 二、數(shù)學(xué)問題中圖形形狀及位置不確定情況下的分類。 如不確定的三角形銳角、鈍角與直角的分類；不確定三角形的高存在外高和內(nèi)高的分類；圓中兩條平行弦在圓心同側(cè)和異側(cè)的分類；兩圓相切存在內(nèi)切和外切的分類；兩圓相交兩圓心在公共弦同側(cè)和異側(cè)的分類等等。 此類問題較多也較為復(fù)雜和隱蔽，很多情況下的分類是學(xué)生意想不到的。 例 2、若等腰三角形一腰上的高與該腰所對(duì)底角平分線的夾角是10，則此三角形的頂角是多少度.例 3、半徑為25的圓O中的兩條平行弦，AB=40，CD=48，求兩弦之間的距離？此兩題并不是很難理解，對(duì)于例2，學(xué)生很快會(huì)告訴我答案為答案不完整，還存在另一個(gè)解144度，我告訴他們3220度，很多學(xué)生的疑惑是“另一解是如何產(chǎn)生的？”3“此題我為什么不知道要分類？”。 由于問題中沒有給出具體的圖形，所以要求我們自己進(jìn)行畫圖，學(xué)生思維的習(xí)慣性會(huì)畫出圖 (2)，而很多人會(huì)忽略了圖 (3)的情況，即不確定的一個(gè)三角形的同一條邊所對(duì)的高和角平分線存在兩種不同的位置關(guān)系。 同樣分析例3，學(xué)生也是想不到畫兩條弦時(shí)有在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種不同情況的分類。 對(duì)于這類問題，學(xué)生不是不會(huì)做，而是分類思想是學(xué)生在解題時(shí)不容易想到，對(duì)于這類問題一方面在平時(shí)不斷的積累，不斷的總結(jié)，使再次遇上同類型問題時(shí)有分類的意識(shí)。 其次是在分析題目時(shí)要不斷的問自己（特別是未給出圖形，自己畫圖時(shí)），是否有其他情況存在的可能性。 B圖 （2）D HCBA AH DC圖 （3） 三、數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)型問題中不同情況下的分類。 具體體現(xiàn)在點(diǎn)在線段、射線、直線及折線上運(yùn)動(dòng)時(shí)在不同的位置產(chǎn)生的分類；圖形運(yùn)動(dòng)中構(gòu)成相應(yīng)圖形不同情況下的分類等等。 此類問題的主要特點(diǎn)是點(diǎn)或是圖形在運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了不同的情況。 例 4、如圖 （4），?ACB與?DFE是全等的兩個(gè)直角三角形，其中?ACB=?DFE=90，AC=DF=4，BC=EF=3，點(diǎn)D、C、F、B在同一條直線上，E點(diǎn)E在邊AC上，?DFE沿著直線DB向右平移的過程中，設(shè)平移過程中的平移距離為x，?DFE與?ACB的公共部分的面積為y，D0A在0?x?7移動(dòng)過程中，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.C（F）圖 (4)B此題的題意非常清楚，我們通過觀察，發(fā)現(xiàn)?DFE在移動(dòng)過程中與?ACB的公共部分分成了四種情況 (1)如圖 (5)圖形構(gòu)成梯形，此時(shí)x的范圍為0?x?圖形構(gòu)成五邊形，此時(shí)x的范圍為3； (2)如圖 (6)43?x?3； (3)如圖 (7)圖形構(gòu)成四邊形，此時(shí)x的4范圍為3?x?4； (4)如圖 (8)圖形構(gòu)成三角形，此時(shí)x的范圍為4?x?7。 D E A AE AEAE CF圖 (5)B DF C圖 (6)B DC圖 (7)B FC DB圖 (8)F此類問題涉及點(diǎn)或圖形的運(yùn)動(dòng)，一