第7章 電磁感應(yīng).doc

第8章 氣體動理論一、目的與要求1了解物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)及氣體分子熱運動的圖象，掌握理想氣體的微觀模型。2了解宏觀量的統(tǒng)計性質(zhì)，理解統(tǒng)計平均的概念，掌握統(tǒng)計平均值的計算方法。3理解氣體壓強的統(tǒng)計意義和溫度的微觀本質(zhì)，掌握理想氣體壓強公式和溫度公式。4理解速率分布函數(shù)的概念和麥克斯韋速率分布律，掌握最概然速率、平均速率、方均根速率的概念和計算方法。5理解玻爾茲曼能量分布律，掌握等溫氣壓公式。6了解自由度的概念，掌握能量均分定理和理想氣體內(nèi)能的計算。7理解分子的平均自由程和平均碰撞頻率的概念，掌握平均自由程和平均碰撞頻率的計算。二、內(nèi)容提要1氣體的狀態(tài)方程描述系統(tǒng)平衡態(tài)的各狀態(tài)參量之間的函數(shù)關(guān)系，稱作氣體的狀態(tài)方程。理想氣體狀態(tài)方程式中為理想氣體的摩爾數(shù)，為氣體分子數(shù)密度。2理想氣體壓強公式其中為分子質(zhì)量，為理想氣體分子熱運動的平均平動動能。3溫度的統(tǒng)計意義溫度是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)，是分子熱運動平均平動動能的量度。4分子的自由度確定分子空間位置所需的獨立坐標數(shù)，稱作分子的自由度。單原子分子的自由度為3，剛性雙原子分子自由度為5，剛性多原子分子的自由度為6。5能量均分定理平衡態(tài)時，分子每個自由度的平均動能為自由度為的分子所具有的總平均動能為摩爾的理想氣體（剛性分子）的內(nèi)能為6速率分布函數(shù)和麥克斯韋速率分布律速率分布函數(shù)表示處平衡態(tài)時，氣體分子速率在附近，單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率，即麥克斯韋速率分布律7三種速率最概然速率平均速率方均根速率式中M為氣體分子的摩爾質(zhì)量。8玻耳茲曼能量分布律平衡態(tài)時，能量為的某狀態(tài)區(qū)間中的粒子數(shù)重力場中粒子按高度的分布等溫氣壓公式9氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程平均碰撞頻率平均自由程式中d為分子的有效直徑。三、例題8-1 容積分別為和的兩容器中，各貯有壓強為，溫度為的同種理想氣體，用一容積可忽略的細管連通兩容器，將置于100的沸水中，置于0的冰水中，如圖所示。求穩(wěn)定時容器內(nèi)氣體的壓強。分析 這是一個應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程的題目。根據(jù)氣體系統(tǒng)總質(zhì)量不變可求解之題。解 初態(tài)中的氣體摩爾數(shù)為初態(tài)中的氣體摩爾數(shù)為設(shè)末態(tài)時氣體的壓強為，則末態(tài)時中氣體的摩爾數(shù)為。末態(tài)時中氣體的摩爾數(shù)為由于和中的氣體總質(zhì)量不變，所以有即所以說明 在求解一些具體問題時，通常需要同時應(yīng)用狀態(tài)方程和質(zhì)量守恒。8-2 一熱氣球的容積為，氣球本身和負載的總質(zhì)量。若大氣壓強為，大氣的溫度為，要使熱氣球上升，其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度？（空氣的摩爾質(zhì)量為）分析 這是一個涉及到浮力和氣態(tài)方程的題目。以熱氣球內(nèi)部的氣體為研究對象，在加熱氣球內(nèi)部氣體的過程中，氣球的容積及氣體的壓強不變，氣體的質(zhì)量從氣球中逸出不斷減少，因而，當達到一定溫度時，熱氣球所受的浮力就會大于等于熱氣球系統(tǒng)整體所受的重力。解 設(shè)開始時，熱氣球中氣體的質(zhì)量為，則熱氣球所受浮力為。設(shè)熱氣球中氣體的溫度被加熱到時，熱氣球中的氣體質(zhì)量為，要使氣球開始上浮，則即(1)根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，初態(tài)時有(2)末態(tài)時有(3)將（2）、（3）兩式代入（1）式有所以 說明 （1）在解本題時，分析清楚具體發(fā)生的過程非常重要。（2）在初態(tài)時，氣球內(nèi)的氣體與氣球外的空氣密度相同，因而氣體所受浮力為。（3）由（1）式可以看出，若則熱氣球中的氣體無論溫度多高都不會上升。8-3 在一容器中有氮氣和氫氣的混合氣體。當溫度為時，氮氣全部分離成原子，而氫氣基本上沒有分離（即氫氣的分離可忽略），此時的壓強為。當溫度升高到時，兩種氣體全部分離成原子，容器中的壓強為。求混合氣體中氮和氫的重量比。分析 這是一個應(yīng)用混合氣體理想氣體狀態(tài)方程的題目，當氣體發(fā)生分解時，系統(tǒng)的摩爾數(shù)增加，將理想氣體狀態(tài)方程應(yīng)用于始末兩態(tài)即可求解。解 設(shè)分解前氮氣的摩爾數(shù)為，氫氣的摩爾數(shù)為，則初態(tài)時，有末態(tài)時，有兩式相除，有即所以所以說明 在氣體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)（如分解或合成）時，氣體系統(tǒng)的總摩爾數(shù)將發(fā)生變化，掌握化學(xué)反應(yīng)中摩爾數(shù)變化的規(guī)律，是解這類問題的基礎(chǔ)。8-4 一容積為的真空系統(tǒng)在室溫()下抽到的真空。為了提高真空度，將它放到500K的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體，而后進一步抽真空。若烘烤后壓強增為，試求器壁釋放出的分子數(shù)。分析 由理想氣體狀態(tài)方程分別求出兩個狀態(tài)下的總分子數(shù)。末態(tài)分子數(shù)減初態(tài)分子數(shù)即為器壁釋放的分子數(shù)。解 由理想氣體狀態(tài)方程，有所以，器壁釋放的分子數(shù)為(個)說明 由此題可看出，在條件允許的情況下，加熱系統(tǒng)對系統(tǒng)的抽真空是非常重要的。8-5 一個容器中有16g氧氣（剛性分子），溫度為100，試求：（1）分子的平均平動動能；（2）分子的平均轉(zhuǎn)動動能；（3）分子的平均動能；（4）氧氣的內(nèi)能。分析 這是一個用能量均分定理求解的題目，剛性分子振動自由度為零。解 （1）分子的平均平動動能為（J）（2）氧氣為雙原子分子，轉(zhuǎn)動自由度為2，所以分子的平均轉(zhuǎn)動動能為 （J）（3）剛性分子，振動自由度，所以分子的平均動能為（J）（4）氧氣的內(nèi)能為 （J）說明 在應(yīng)用能量均分定理求解問題時，關(guān)鍵是確定分子的自由度。氣體溫度很低時，氣體分子僅有平動自由度，在室溫附近一般振動自由度為零（即剛性分子），只有在比較高的溫度時，振動自由度才不為零。8-6 試求由質(zhì)量的氦氣，的氮氣和的水蒸氣組成的混合氣體在常溫下的定體摩爾熱容。分析 這是一個涉及到求混合氣體平均摩爾質(zhì)量和定體摩爾熱容的題目。氦氣是單原子分子，自由度為，在常溫下，分子的振動自由度對氣體的熱容沒有影響，因而，對雙原子和多原了分子可看作是剛性分子，這樣，氮為雙原子分子其自由度為，水蒸氣為3原了分子，自由度為，根據(jù)能量均分定理可分別求出三種氣體的定體摩爾熱容，根據(jù)平均摩爾質(zhì)量的概念可進一步求出混合氣體的定體摩爾熱容。解 根據(jù)能量均分定理，氦氣的定體摩爾熱容為氮氣的定體摩爾熱容為水蒸氣的定體摩爾數(shù)為設(shè)混合氣體的平均摩爾質(zhì)量為M，則根據(jù)摩爾熱容的定義，設(shè)混合氣體的定體摩爾熱容為，則所以 說明 在實驗中經(jīng)常會遇到混合氣體，例如空氣就是混合氣體。搞清楚混合氣體的組份，求出平均摩爾質(zhì)量，可以解決很多問題。在這方面確切地理解平均摩爾質(zhì)量的概念非常重要。8-7 在一封閉容器內(nèi)裝有溫度為，密度為的氧氣，容器以的速率作勻速直線運動。若容器突然停止，定向運動的動能全部轉(zhuǎn)化為氣體熱運動的動能，試求當平衡后氣體的溫度和壓強。分析 這是一個涉及系統(tǒng)宏觀運動的機械能向系統(tǒng)熱運動內(nèi)能轉(zhuǎn)化的題目。對每個分子而言都有一個隨容器運動的平動動能，將此能量轉(zhuǎn)化為一個分子所具有的平均熱運動動能，求出氣體溫度的增量，進而由理想氣體狀態(tài)方程可求出氣體的壓強。解 氧氣分子隨容器一起運動，一個氧氣分子所具有的平動動能為將此能量全部轉(zhuǎn)化為氣體熱運動動能，則氣體溫度的增量為即（K）所以，氣體的溫度為（K）由理想氣體狀態(tài)方程有 （Pa）說明 在室溫情況下，氧氣可看作是剛性雙原子理想氣體，分子的自由度。8-8 試計算氫氣、氮氣的方均根速率等于地球表面的逃逸速率時所需要的溫度。分析 根據(jù)力學(xué)知識求出地球表面的逃逸速率，再根據(jù)能量均分定理算出氣體的溫度。解 在地球表面，根據(jù)機械能守恒有式中和分別為地球的質(zhì)量和地球的平均半徑。故將，代入上式，有 m/s對于氫氣，有所以 (K)同理，對于氮氣有(K)說明 從此題的計算結(jié)果可以看出，方均根速率要達到地球表面的逃逸速率，所需的溫度很高。請讀者考慮，若情況不是這樣，所需溫度僅為幾百，將會怎樣？8-9 某些恒星的溫度達到的數(shù)量級，在這樣的溫度下原子已不存在，只有質(zhì)子存在，試求：（1）質(zhì)子的平均平動動能；（2）質(zhì)子的方均根速率。分析 由能量均分定理求質(zhì)子的平均平動動能，再由平均平動動能公式求方均根速率。解 （1）由能量均分定理有 （J）（2）由平均平動動能公式，有式中m/s是地球表面的逃逸速度。說明 （1）能量均分定理不僅適用于分子、原子系統(tǒng)，也適用于質(zhì)子，中子、電子、等離子體等系統(tǒng)。（2）恒星上質(zhì)子的熱運動非常劇烈，有很大的速度，因而恒星表面也必然有很大的引力場，否則恒星會因熱運動而離散消失。8-10 有N個粒子，其速率分布如圖所示。試求：（1）速率分布函數(shù)；（2）由N和確定常量；（3）在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。（4）在區(qū)間內(nèi)粒子的平均速率。分析 根據(jù)速率分布函數(shù)的定義，求速率分布函數(shù)；由速率分布函數(shù)的歸一化條件確定常量；根據(jù)速率分布函數(shù)的意義和平均速率的概念，求粒子數(shù)和平均速率。解 （1）由圖可得（2）由歸一化條件有由此可得故分布函數(shù)可寫成（3）在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 （4）在速率區(qū)間內(nèi)分子的平均速率說明 （1）本題亦可用幾何的方法求解（1），（2），（3）問。（2）求某一速率區(qū)間的平均速率時注意其計算公式為，注意此時分母部分不等于1。8-11 在金屬導(dǎo)體中，自由電子的運動可看作類似于氣體分子的運動。設(shè)導(dǎo)體中有N個自由電子，電子的最大速率為（稱作費米速率）。電子的速率分布函數(shù)為式中為常量，試求：（1）用N和確定常數(shù)；（2）自由電子的平均速率和方均根速率。分析 根據(jù)歸一化條件可確定常數(shù)，根據(jù)速率分布函數(shù)的概念，由電子的速率分布函數(shù)可求出電子的平均速率和方均根速率。解 （1）根據(jù)歸一化條件，有積分后，有所以（2）電子平均速率為=電子的方均根速率為=說明 統(tǒng)計的方法不僅適用于氣體，也可適用于其它由大量微觀粒子組成的系統(tǒng)。8-12 對處于平衡態(tài)的理想氣體，試計算（1）；（2）；（3）速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。分析 應(yīng)用麥克斯韋速率分布律可求解此題。在速率區(qū)間比較小時，可近似地認為在該區(qū)間內(nèi)速率分布函數(shù)值不變。解 理想氣體的最概然速率為代入到麥克斯韋速率分布中，消去溫度，有 （1）速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為 （2）速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為 （3）速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為 說明 從此題可以看出，將代入麥克斯韋速率分布律中可使計算簡化。本題的計算結(jié)果表明，分子速率偏離越大，在該速率附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就越小。8-13 用統(tǒng)計的概念和麥克斯韋速率分布律求理想氣體單位時間打到器壁單位面積上的分子數(shù)。分析 這是一個涉及到分子運動方向的統(tǒng)計問題。下面用球坐標系分析這個問題。根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律，平衡態(tài)時，總分子數(shù)為的氣體沿單位立體角方向運動的分子數(shù)為，因而運動方向在立體角為范圍的分子數(shù)為。很明顯，由于，即，因而可近似地認為這些分子有相同或相反速度方向，即對應(yīng)分子的速度方向平行于由球坐標確定的方向。解 設(shè)器壁垂直于軸，在器壁上取一小面元，如圖所示。由分析可知，容器內(nèi)氣體分子運動方向介于，之間的分子數(shù)為結(jié)合麥克斯韋速率分布律，在容器里單位體積中，速率介于之間，速度方向滿足上述條件的氣體分子數(shù)為 式中為麥克斯韋速率分布函數(shù)。在速度方向介于，之間，速率介于之間的所有分子中，在時間內(nèi)能與面相碰的分子一定是位于以為底，為母線的斜柱體中的那部分，對應(yīng)的這部分的分子數(shù)為。所以，速度方向介于，之間，速率介于之間的分子在單位時間內(nèi)能碰上單位面積器壁的數(shù)目為。由于的分子不可能與面元相碰，故在計及所有可能碰到器壁的分子時只需將上式作以下積分 式中是分子的平均速率。說明 本題亦可用麥克斯韋速度分布律求解，而且方便。本題是在已知速率分布的條件下進行，因而利用統(tǒng)計方法分析氣體分子的速度分布是求解本題的關(guān)鍵。8-14 在一個被抽成真空，體積為的容器上開一個面積為的小孔，這樣大氣中的分子就會通過小孔進入容器。設(shè)大氣的壓強和溫度恒定，分子的平均速率為。試求開了小孔后，經(jīng)過多長時間容器中的壓強增至外界大氣壓的二分之一。分析 由于容器上的孔很小，容器起初為真空，因而進入容器的氣體可很快達平衡態(tài)，而且氣體溫度不變。根據(jù)上題的結(jié)論，同時考慮時刻容器外和容器內(nèi)氣體分子對的碰撞，此題即可求解。解 設(shè)大氣的壓強為，溫度為，時刻容器中氣體的壓強為。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，大氣分子的數(shù)密度為時刻容器中氣體分子的數(shù)密度為根據(jù)上題結(jié)果，在時刻，時間內(nèi)大氣分子碰撞小孔進入容器的分子數(shù)為在時刻時間內(nèi)容器中氣體分子碰撞小孔跑出容器的分子數(shù)為式中為容器中氣體分子的平均速率。由于容器中氣體的溫度不變與大氣溫度相同，因而。這樣在時刻，時間內(nèi)容器中凈增加的分子數(shù)為(1)對于容器中的氣體，有對上式兩邊求微分，有即容器中每增加的壓強，分子數(shù)增加，將（1）式代入，化簡后有分離變量，得兩邊積分故說明 此題只適合孔很小的情況，否則容器中的氣體不能看作是平衡態(tài)，結(jié)論不成立。8-15 一容積為的容器裝有氬氣，其壓強為，溫度為300K，氬的原子量為40，如果在器壁上開一個的小孔，試求這容器中的原子個數(shù)減少到最初數(shù)值的要經(jīng)過多少時間（假設(shè)容器中氣體溫度不變）？分析 根據(jù)例題8-13的結(jié)論并假設(shè)碰到小孔上的分子都能逸出容器，即可求解。解 設(shè)時刻容器中的分子數(shù)為，在時間內(nèi)離開容器的分子數(shù)為，則式中的負號表示容器中氣體分子減少，整理后，有積分得將代入，有故將代入，有 (s)說明 在本題中假設(shè)碰到小孔上的分子都能逸出容器是必須的，在容器中的壓強甚大于外界壓強時，這個假設(shè)是正確的，在此情況下，以外進入容器的大氣分子亦可忽略。8-16 已知塵埃的質(zhì)量，飄浮在空氣中。試求塵埃濃度改變?yōu)椋瑢?yīng)的空氣層厚度（設(shè)空氣的溫度均勻，）。分析 應(yīng)用玻耳茲曼分布律即可求解。解 由玻耳茲曼分布律，在重力場中塵埃按高度的分布為亦即故說明 對于大量的微粒系統(tǒng)，當它在保守場中處于平衡態(tài)時，其粒子數(shù)密度按高度的分布符合玻耳茲曼分布律，隨著高度的增加粒子數(shù)密度按指數(shù)規(guī)律減小。8-17 假定海平面上的大氣壓是Pa，氣溫為300K，忽略氣溫隨高度的變化，試求（1）地處海拔約為3600m的拉薩的大氣壓強。（已知空氣的摩爾質(zhì)量）；（2）若某人在海平面上每分鐘呼吸18次，他在拉薩應(yīng)呼吸多少次才能吸入同樣質(zhì)量的空氣？分析 應(yīng)用等溫氣壓公式和理想氣體狀態(tài)方程即可求解此題。解 （1）根據(jù)等溫氣壓公式，有 Pa（2）設(shè)人每次呼吸吸入的空氣容積為，在拉薩每分鐘呼吸次才能吸入與在海平面上吸入的空氣質(zhì)量相同，則故 （次）說明 等溫氣壓公式表明，在重力場中，壓強隨高度按指數(shù)規(guī)律減少。它可以用來近似的估計某高度處的大氣壓強，或根據(jù)測量的壓強估算高度。8-18 大氣溫度隨高度的變化可近似地表述為其中為海平面處的溫度，為一常量。（1）求大氣壓強隨高度的變化關(guān)系。（2）若水平面處的大氣壓強為，溫度，珠穆朗瑪峰峰頂海拔為8848m，溫度為221K，試求的值和峰頂?shù)拇髿鈮簭?。分?在大氣中取一豎直柱體，根據(jù)流體靜力學(xué)原理可得出大氣壓強與高度之間的微分關(guān)系；在局部的非常小的范圍內(nèi)，理想氣體狀態(tài)方程成立，代入到微分關(guān)系中解微分方程即可求出壓強隨高度的變化關(guān)系。解 在大氣中取一豎直的空氣柱體，建立如圖所示的坐標，以海平面為坐標原點，向上為軸正方向。根據(jù)流體力學(xué)原理，當高度由變?yōu)闀r，壓強的增加量為式中為處氣體的密度，假設(shè)該處粒子的數(shù)密度為，則，所以將代入，消去，有分離變量，有兩邊積分解得整理后，有（2）將，代入有故將和以上數(shù)據(jù)代入到壓強和高度的關(guān)系中，可得珠穆朗瑪峰峰頂?shù)膲簭姙?8-19 容器中盛有氮氣，在標準狀態(tài)下（，），已知氮分子的有效直徑。試求（1）單位體積中的分子數(shù)；（2）分子間的平均距離；（3）分子的平均速率；（4）平均碰撞頻率和平均自由程。分析 本題涉及到與氣體熱運動有關(guān)的一些物理量。根據(jù)題意正確地選用計算公式即可求解。解 （1）根據(jù)狀態(tài)方程，有（2）分子均勻分布在容器中，分子間的平均距離，則故（m）（3）分子的平均速率為（4）平均自由程為 m平均碰撞頻率為說明 本題為分子動理論中常用公式的直接應(yīng)用。通過本題的結(jié)果可以看到在標準狀態(tài)下，分子的熱運動非常復(fù)雜，分子碰撞頻繁，平均自由程非常短。四、練習(xí)題8.1 兩個半徑分別為和的球形容器，分別裝有相同質(zhì)量的氮氣和氧氣，用一玻璃細管相連通，管的正中有一小滴水銀，如圖所示。試求：（1）如果兩容器內(nèi)氣體的溫度相同，為使水銀滴保持平衡，則的值為多少？（2）如果將氮氣的溫度保持為，氧氣的溫度保持為，為使水銀滴保持平衡，則的值為多少？（3）如果，要使水銀滴在兩容器溫度變化時保持平衡，則氮氣和氧氣的變化應(yīng)遵從什么規(guī)律？8.2 一凈質(zhì)量為、容積為的氣球，其中充有溫度為，壓強為，體積為的氫氣。在氣球上升的過程中，氫氣可通過氣球下面的小孔跑出。求（1）當氣球上升到壓強為，溫度為的高空處，從氣球下面的小孔跑出的氫氣的質(zhì)量？（2）氣球受到的升力改變了多少？8.3 一個容積為的密封容器，溫度始終保持在25，將的氫和的氧裝入容器，當氫全部與氧化合成水蒸氣后，試求：（1）容器中的總分子數(shù)；（2）混合氣體的壓強；（3）各成份的分壓強。8.4 一體積為電子管，當溫度為300K時，用真空泵把管內(nèi)空氣抽成壓強為的高真空，試求：（1