中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總(含初中、高中).doc

中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總（含初中、高中）初中數(shù)學(xué)常用公式1、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)如：3，0.231，0.737373，無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)如：，0.1010010001(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)2、絕對(duì)值：a0丨a丨a；a0丨a丨a如：丨丨；丨3.14丨3.143、一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字如：0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6，04、把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成a10n的形式(其中1a10，n是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法如：407004.07105，0.0000434.31055、乘法公式(反過(guò)來(lái)就是因式分解的公式)：(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb2(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab6、冪的運(yùn)算性質(zhì)：amanamnamanamn(am)namn(ab)nanbn()nnan，特別：()n()na01(a0)如：a3a2a5，a6a2a4，(a3)2a6，(3a3)327a9，(3)1，52，()2()2，(3.14)1，()017、二次根式：()2a(a0)，丨a丨，(a0，b0)如：(3)2456a0時(shí)，a的平方根4的平方根2（平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念）8、一元二次方程：對(duì)于方程：ax2bxc0：求根公式是x，其中b24ac叫做根的判別式當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根注意：當(dāng)0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2，并且二次三項(xiàng)式ax2bxc可分解為a(xx1)(xx2)以a和b為根的一元二次方程是x2(ab)xab09、一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在y軸上的截距)當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)特別：當(dāng)b0時(shí)，ykx(k0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過(guò)原點(diǎn)10、反比例函數(shù)y(k0)的圖象叫做雙曲線當(dāng)k0時(shí)，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k0時(shí)，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)因此，它的增減性與一次函數(shù)相反11、統(tǒng)計(jì)初步：（1）概念：所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè))，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（2）公式：設(shè)有n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，那么：平均數(shù)為：；極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；方差：數(shù)據(jù)、, 的方差為，則=標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.數(shù)據(jù)、, 的標(biāo)準(zhǔn)差，則=一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。12、頻率與概率：（1）頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。（2）概率如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；13、銳角三角函數(shù)：設(shè)A是RtABC的任一銳角，則A的正弦：sinA，A的余弦：cosA，A的正切：tanA并且sin2Acos2A10sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90A)cosA，cos(90A)sinAhl特殊角的三角函數(shù)值：sin30cos60，sin45cos45，sin60cos30， tan30，tan451，tan60斜坡的坡度：i設(shè)坡角為，則itan14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)：（1）對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a，b），則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1（a，b），P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2（a，b），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3（a，b）.（2）坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a，b）向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（ah，b），向右平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（ah，b）；向上平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，bh），向下平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，bh）.如：點(diǎn)A（2，1）向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1）.15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋物線上兩點(diǎn)（及y值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：9.拋物線中，的作用 （1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)()拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）()拋物線與軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（2）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn). （5）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，則 1、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180（n3，n是正整數(shù)），外角和等于3602、平行線分線段成比例定理：（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖：abc，直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)A、B、CD、E、F，則有（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖：ABC中，DEBC，DE與AB、AC相交與點(diǎn)D、E，則有：3、直角三角形中的射影定理：如圖：RtABC中，ACB90o，CDAB于D，則有：（1）（2）（3）4、圓的有關(guān)性質(zhì)：（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：經(jīng)過(guò)圓心；垂直弦；平分弦；平分弦所對(duì)的劣?。黄椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)注：具備，時(shí)，弦不能是直徑（2）兩條平行弦所夾的弧相等（3）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)（4）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（5）圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半（6）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等（8）90的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90，直徑是最長(zhǎng)的弦（9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn)常見(jiàn)結(jié)論：（1）RtABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑；（2）ABC的周長(zhǎng)為，面積為S，其內(nèi)切圓的半徑為r，則6、弦切角定理及其推論：（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：PAC為弦切角。OPBCA（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果AC是O的弦，PA是O的切線，A為切點(diǎn)，則推論：弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角（作用證明角相等）如果AC是O的弦，PA是O的切線，A為切點(diǎn)，則7、相交弦定理、割線定理、切割線定理：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖，即：PAPB = PCPD割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖，即：PAPB = PCPD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。如圖，即：PC2 = PAPB 8、面積公式：S正(邊長(zhǎng))2 S平行四邊形底高S菱形底高(對(duì)角線的積)，S圓R2l圓周長(zhǎng)2R弧長(zhǎng)L S圓柱側(cè)底面周長(zhǎng)高2rh，S全面積S側(cè)S底2rh2r2S圓錐側(cè)底面周長(zhǎng)母線rb， S全面積S側(cè)S底rbr2高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 元素與集合的關(guān)系,.2.德摩根公式 .3.包含關(guān)系4.容斥原理. 5集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有1個(gè)；非空子集有 1個(gè)；非空的真子集有2個(gè).6.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點(diǎn)式;(3)零點(diǎn)式.7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a0時(shí)，若，則；，.(2)當(dāng)a0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）.(2)（，且）.31根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.32有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 .34.對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).35對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2) ;(3).36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù).， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).推論:設(shè)，且，則（1）.（2）.38. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)和公式為.41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)的和公式為或.42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為；其前n項(xiàng)和公式為.43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).44常見(jiàn)三角不等式（1）若，則.(2) 若，則.(3) .45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，.46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)) 47.和角與差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).48.二倍角公式 .49. 三倍角公式 .50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期；函數(shù)，(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期.51.正弦定理.52.余弦定理;.53.面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).54.三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有.55. 簡(jiǎn)單的三角方程的通解 . .特別地,有. .56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 . . . .57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) ab= ba （交換律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底60向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a|b|cos 61. ab的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則ab=.63.兩向量的夾角公式(a=,b=).64.平面兩點(diǎn)間的距離公式 =(A，B).65.向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則A|bb=a .ab(a0)ab=0.66.線段的定比分公式 設(shè)，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則（）.67.三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則ABC的重心的坐標(biāo)是.68.點(diǎn)的平移公式 .注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.70. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.71.常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))（2）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))（3）（4）柯西不等式（5）.72.極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.推廣 已知，則有（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；當(dāng)最小時(shí),最小.（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最小；當(dāng)最小時(shí), 最大.73.一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.；.74.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a 0時(shí)，有. 或.75.無(wú)理不等式（1） .（2）.（3）.76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí),; .(2)當(dāng)時(shí),;77.斜率公式 （、）.78.直線的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式 ()(、 ().(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).79.兩條直線的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；80.夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是.81. 到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時(shí)，直線l1到l2的角是.82四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是()，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線 (A0，B0)垂直的直線系方程是,是參變量83.點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn),直線：).84. 或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域. 簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.85. 或所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .（2）圓的一般方程 (0).（3）圓的參數(shù)方程 .（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、).87. 圓系方程(1)過(guò)點(diǎn),的圓系方程是,其中是直線的方程,是待定的系數(shù)(2)過(guò)直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)(3) 過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).89.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:;.其中.90.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;.91.圓的切線方程(1)已知圓若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當(dāng)圓外時(shí), 表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為;斜率為的圓的切線方程為.92.橢圓的參數(shù)方程是.93.橢圓焦半徑公式 ，.94橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.95. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. （3）橢圓與直線相切的條件是.96.雙曲線的焦半徑公式，.97.雙曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.99. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. （3）雙曲線與直線相切的條件是.100. 拋物線的焦半徑公式拋物線焦半徑.過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng).101.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 .102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.103.拋物線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.104. 拋物線的切線方程(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過(guò)拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是.105.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程(1)過(guò)曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線.106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 或（弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是.108.“四線”一方程 對(duì)于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.109證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3)數(shù)乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.117.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b0 )，ab存在實(shí)數(shù)使a=b三點(diǎn)共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.119.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面四點(diǎn)共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則a，e=ae122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.設(shè)A，B，則= .124空間的線線平行或垂直設(shè)，則；.125.夾角公式 設(shè)a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.126. 四面體的對(duì)棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.130.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).134.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =.135.點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).137.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式 .（）. (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 140. 長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.141. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是和,則.143作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理(歐拉公式) (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積147.球的組合體 (1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.148柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.151.排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.152.排列恒等式 (1）;（2）; （3）; （4）; （5）.(6) .153.組合數(shù)公式 =(N*，且).154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定. 155.組合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6). (7). (8).(9).(10).156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .157單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有種；某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問(wèn)題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.158分配問(wèn)題（1）(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 .（5）(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，件無(wú)記號(hào)的堆，且，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，件無(wú)記號(hào)的堆，且，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問(wèn)題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，時(shí)，則無(wú)論，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.159“錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為.160不定方程的解的個(gè)數(shù)(1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè).(2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè).(3) 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè).1