5.3 按貝塞爾函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)ppt課件

1 5 3按貝塞爾函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù) 應(yīng)用貝塞爾函數(shù)求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題 時(shí) 最終都要把已知函數(shù)按貝塞爾函數(shù)系展開(kāi)為 級(jí)數(shù) 本節(jié)我們將討論這個(gè)問(wèn)題 本章開(kāi)始 我們從薄圓盤(pán)溫度分布的定解問(wèn)題 中 導(dǎo)出了貝塞爾方程的固有值問(wèn)題 方程 32 的通解為 32 33 2 無(wú)窮大 方程 32 的通解為 32 33 由于 由邊界條件 33 中的有界性條件 可知 從而 另外 再利用 33 中的條件 得 34 3 5 3 1貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn) 32 33 34 方程 34 表明 為了求出固有值問(wèn)題 32 33 的固有值 我們需要判明 的零點(diǎn)是否存在 所謂貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn) 指的是使 的那些 的值 關(guān)于貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)有下面一系列的定理 4 5 3 1貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn) 1 有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn) 這些零點(diǎn)在 軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布 因而 有無(wú)窮多 個(gè)正零點(diǎn) 2 的零點(diǎn)與 的零點(diǎn)是彼此相間分布的 且 的絕對(duì)值最小的零點(diǎn)比 的絕對(duì)值 最小的零點(diǎn)更接近于0 自然有 與 沒(méi)有公共零點(diǎn) 3 當(dāng) 值充分大時(shí) 的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的 的距離接近于 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)應(yīng)用更多 特別是 與 5 34 應(yīng)用上述關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 設(shè) 為 的正零點(diǎn) 則由方程 34 得 與這些固有值相對(duì)應(yīng)的固有函數(shù)為 35 36 6 32 36 5 3 2貝塞爾函數(shù)系的正交性 階貝塞爾函數(shù)序列 36 在區(qū)間 上帶權(quán) 正交 即 37 證 將貝塞爾方程 32 改寫(xiě)如下 7 37 為書(shū)寫(xiě)方便 記 其中 為任意參變量 則有 將上面兩式分別乘以 和 8 37 為書(shū)寫(xiě)方便 記 其中 為任意參變量 則有 上兩式相減得 9 37 為書(shū)寫(xiě)方便 記 其中 為任意參變量 則有 上式兩邊對(duì) 從 到 積分得 38 10 37 38 在 38 式中取 并且由于 便立即可得 37 式成立 階貝塞爾函數(shù)序列 36 在區(qū)間 上帶權(quán) 正交 11 5 3 3貝塞爾函數(shù)的模 38 定積分 39 的平方根 稱為貝塞爾函數(shù) 的模 當(dāng) 時(shí) 由 38 式得 12 在上式中 令 仍為任意參數(shù) 由于 故上式化為 形式的不定型 當(dāng) 時(shí) 上式右端為 應(yīng)用洛必達(dá)法則 得 13 應(yīng)用洛必達(dá)法則 得 40 由遞推公式 14 40 由遞推公式 以及 得 從而 40 式變?yōu)?41 由于貝塞爾函數(shù) 與 沒(méi)有公共零點(diǎn) 由 41 式知貝塞爾函數(shù)的模不為0 15 5 3 4傅里葉 貝塞爾級(jí)數(shù) 41 在應(yīng)用貝塞爾函數(shù)求解數(shù)學(xué)物理方程的定解 問(wèn)題時(shí) 往往需要把已知函數(shù)按貝塞爾函數(shù)系 展成級(jí)數(shù) 內(nèi)分段連續(xù)的囿變函數(shù) 且積分 的值有限 則它必能展開(kāi)成如下形式的級(jí)數(shù) 42 并且 在 的連續(xù)點(diǎn)級(jí)數(shù) 42 收斂于 可以證明 如果 為定義于區(qū)間 16 41 42 在 的間斷點(diǎn) 處 級(jí)數(shù)收斂于點(diǎn) 左右極限 的平均值 即收斂于 其中系數(shù) 由下式確定 43 由公式 43 確定的 稱為傅里葉 貝塞爾系數(shù) 級(jí)數(shù) 42 稱為傅里葉 貝塞爾級(jí)數(shù) 17 41 42 43 37 事實(shí)上 并對(duì) 從 到 積分得 42 式兩邊同乘 18 41 42 43 37 事實(shí)上 并對(duì) 從 到 積分得 42 式兩邊同乘 19 41 42 43 37 事實(shí)上 并對(duì) 從 到 積分得 42 式兩邊同乘 20 例 43 設(shè) 是函數(shù) 的正零點(diǎn) 試將 函數(shù) 在 上展成 的傅里葉 貝塞爾級(jí)數(shù) 解 由 42 43 式有 先計(jì)算分子 42 21 例 設(shè) 是函數(shù) 的正零點(diǎn) 試將 函數(shù) 在 上展成 的傅里葉 貝塞爾級(jí)數(shù) 解 由 42 43 式有