蘇州市2018屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)調(diào)研試卷(含附加和答案)

蘇州市2018屆高三調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)試題 20181注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1. 本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題 - 第14題）、解答題（第15題 - 第20題）本卷滿分160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2. 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置3. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆參考公式：球的表面積公式S=4r2，其中r為球的半徑一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上1已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為 2已知集合，且，則正整數(shù) 3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 4蘇州軌道交通1號(hào)線每5分鐘一班，其中，列車在車站停留0.5分鐘，假設(shè)乘客到達(dá)站臺(tái)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則該乘客到達(dá)站臺(tái)立即能乘上車的概率為 5已知，則正實(shí)數(shù) v1，in1vvx+iii1輸出vNY開始結(jié)束輸入n,xi0（第6題圖）6秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法右邊的流程圖是秦九韶算法的一個(gè)實(shí)例若輸入n，x的值分別為3，3，則輸出v的值為 7已知變量x，y滿足則的最大值為 8已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的值為 9魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90榫卯起來(lái)若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為 （容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留）（第9題圖）DCBA（第10題圖）10如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離 m 11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)點(diǎn)的圓和直線 x + y = 1相切，且圓心在直線 y = -2x 上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 12已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的取值范圍是 PFECBA（第13題圖）13如圖，ABC為等腰三角形，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC與點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是劣弧上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 14已知直線ya分別與直線，曲線交于點(diǎn)A，B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值，并寫出取得最小值時(shí)自變量x的取值集合；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間16（本小題滿分14分）A1B1C1D1ABCDEFGH如圖，在正方體中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中點(diǎn)（1）求證：EF平面ABHG；（2）求證：平面ABHG平面CFED17. （本小題滿分14分）BCP東北A如圖，B,C分別是海岸線上的兩個(gè)城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處從海島A到城市C，先乘船按北偏西角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C已知船速為25km/h，車速為75km/h. （1）試建立由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與的函數(shù)解析式；（2）試確定登陸點(diǎn)P的位置，使所用時(shí)間最少，并說(shuō)明理由18（本小題滿分16分）OyxBAM在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于 A，B 兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由19. （本小題滿分16分）已知各項(xiàng)是正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）若（nN*，n2），且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）數(shù)列是公比為q（q0， q1）的等比數(shù)列，且an的前n項(xiàng)積為若存在正整數(shù)k，對(duì)任意nN*，使得為定值，求首項(xiàng)的值20. （本小題滿分16分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程在區(qū)間(0,+)上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實(shí)數(shù)，且，使得，求證：2018屆高三調(diào)研測(cè)試注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1. 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有A、B、C、D 4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題若學(xué)生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計(jì)分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時(shí)間30分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.2. 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置3. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 數(shù)學(xué)（附加題） 2018121【選做題】本題包括、四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟選修4 - 1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，與圓O分別切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)P為圓O上異于點(diǎn)B，C的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F. DPFEOCBA求證：.選修4 - 2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知，求選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求AOB的面積選修4 - 5：不等式選講（本小題滿分10分）已知a，b，cR，若對(duì)一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿分10分）PNEDCBAzyx如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，AD=AE=1，AEAB，且AEBP（1）求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由23（本小題滿分10分）在正整數(shù)集上定義函數(shù)，滿足，且（1）求證：；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使，對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論蘇州市2018屆高三調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷參考答案一、填空題（共70分）122345648789101811121314二、解答題（共90分）15. 解（1）2分4分當(dāng)，即時(shí)，取得最小值0此時(shí)，取得最小值時(shí)自變量x的取值集合為7分（注：結(jié)果不寫集合形式扣1分）（2）因?yàn)椋睿?分解得，10分又，令，令，所以函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間是和14分（注：如果寫成兩區(qū)間的并集，扣1分，其中寫對(duì)一個(gè)區(qū)間給2分）A1B1C1D1ABCDEFGHP16. 證明：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)是A1D1，B1C1的中點(diǎn)，所以，在正方體中，A1B1AB，（注：缺少A1B1AB扣1分）所以3分又平面ABHG，AB平面ABHG，（注：缺少AB平面ABHG不扣分）所以EF平面ABHG6分（2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD 平面BB1C1C，又平面，所以8分設(shè)，BCH，所以，因?yàn)镠BC+PHC=90，所以+PHC=90所以，即11分由，又，DC，CF平面CFED，所以平面CFED又平面ABHG，所以平面ABHG平面CFED14分 （注：缺少平面ABHG，此三分段不給分）17. 解（1）由題意，輪船航行的方位角為，所以，則， 4分（注：AP，BP寫對(duì)一個(gè)給2分）由A到P所用的時(shí)間為，由P到C所用的時(shí)間為，6分所以由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與的函數(shù)關(guān)系為8分函數(shù)的定義域?yàn)?，其中銳角的正切值為. （2）由（1），令，解得，10分設(shè)0，使00減函數(shù)極小值增函數(shù)12分所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)f()取得最小值，此時(shí)BP=17.68 ，答：在BC上選擇距離B為17.68 處為登陸點(diǎn)，所用時(shí)間最少14分（注：結(jié)果保留根號(hào)，不扣分）18. 解（1）由題意，故，1分又橢圓上動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為，所以，2分解得，所以，4分所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.6分（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，令，則，此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為7分當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為，8分聯(lián)立解得，即兩圓過(guò)點(diǎn)猜想以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)9分對(duì)一般情況證明如下：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為與橢圓C交于,則整理得，所以12分（注：如果不猜想，直接寫出上面的聯(lián)立方程、韋達(dá)定理，正確的給3分）因?yàn)?，所以所以存在以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T，且定點(diǎn)T的坐標(biāo)為16分19. 解（1）當(dāng)時(shí)，由 則 -得，即，2分當(dāng)時(shí)，由知，即，解得或（舍），所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.5分（注：不驗(yàn)證扣1分）由知，所以，由題意可得對(duì)一切恒成立，記，則，所以，8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.11分（2）由題意，設(shè)（），兩邊取常用對(duì)數(shù)， 令，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，13分若為定值，令，則，即對(duì)恒成立，因?yàn)?，問題等價(jià)于將代入，解得.因?yàn)?，所以，所以，又?16分20. 解（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，令，解得或（舍），所以時(shí)， 所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).2分當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，且.4分綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為5分（注：將單調(diào)減區(qū)間為和寫出的扣1分）（2）設(shè)，則，所以，由題意，在區(qū)間上有解，等價(jià)于在區(qū)間上有解.6分記，則，7分令，因?yàn)?，所以，故解得，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值.9分要使方程在區(qū)間上有解，當(dāng)且僅當(dāng)，綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為.10分（3）由題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，與條件矛盾，所以.11分令，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若存在，則介于m，n之間，12分不妨設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，由，可得，故，又在上單調(diào)遞減，且，所以所以，同理14分即解得，所以.16分2018屆高三調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)附加題參考答案21A 選修41 幾何證明選講證明 連PB，PC，因?yàn)榉謩e為同弧BP上的圓周角和弦切角，所以.2分因?yàn)?，所以PDBPFC，故.5分同理，又，所以PFBPEC，故.8分所以，即.10分21B 選修42 矩陣與變換解 矩陣的特征多項(xiàng)式為，2分令，解得，解得屬于1的一個(gè)特征向量為，屬于2的一個(gè)特征向量為5分令，即，所以解得7分所以10分21C 選修44 坐標(biāo)系與參數(shù)方程解 由曲線C的極坐標(biāo)方程是，得2sin2=2cos所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是y2=2x2分由直線l的參數(shù)方程 (t為參數(shù))，得，所以直線l的普通方程為4分將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程y2=2x，得，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，所以，7分因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以AOB的面積是10分21D 選修45 不等式選講解 因?yàn)閍，b，cR，由柯西不等式得，4分因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，所以當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，即；綜上，實(shí)數(shù)x的取值范圍為10分22. 解（1）因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABEP，平面ABCD平面ABEPAB，BPAB，所以BP平面ABCD，又ABBC，所以直線BA，BP，BC兩兩垂直， 以B為原點(diǎn)，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），因?yàn)锽C平面ABPE，所以為平面ABPE的一個(gè)法向量， 2分，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則 即令，則，故，4分設(shè)平面PCD與平