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1.2.1任意角的三角函數(shù)(2)一、【教學目標】重點: 三角函數(shù)線的概念及應用.難點:理解三角函數(shù)線作為有向線段其方向規(guī)定的合理性,三角函數(shù)線的應用知識點:有向線段,正弦線、余弦線、正切線的概念,作三角函數(shù)線.能力點:逐步發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值與單位圓中的“有向線段”的對應,分類討論及數(shù)形結合的數(shù)學思想的運用.教育點:讓學生通過經(jīng)歷由不確定的對應建立確定的對應的過程,體會發(fā)現(xiàn)的艱辛,享受發(fā)現(xiàn)的樂趣.自主探究點:角的終邊在坐標軸上時三角函數(shù)線的情況.考試點:利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)值或角的范圍.易錯易混點:三角函數(shù)線作為有向線段與一般線段的聯(lián)系與區(qū)別.拓展點:利用三角函數(shù)線證明有關不等式.二、【引入新課】 前面我們學習了角的弧度制,角弧度數(shù)的絕對值,其中是以角作為圓心角時所對弧的長,是圓的半徑.特別地, 當時,,此時的圓稱為單位圓,這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值,那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢?這就是我們今天一起要研究的問題.【師生互動】教師設問,學生思考.【設計意圖】設置問題,點明主題.既可以引出單位圓的用途,又可以使學生通過類比聯(lián)想主動、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.三、【探究新知】探究1:有向線段的概念【師生活動】教師給出問題,學生解答,師生共同分析完成引入有向線段的討論.【設計說明】由教師提問,學生分析討論,層層深入地進入課題的探究,讓學生在自主合作探究中解決、理解重難點.問題1:如果角是第一象限角,它的三個三角函數(shù)值用定義如何來求?【設計意圖】利用具體問題探究討論,降低探究問題的難度.做出角的終邊和單位圓,記交點為,那么,,.問題2:在求解中,的值都是正數(shù),你能分別用一條線段表示正、余弦值嗎?【設計意圖】直接指明問題研究的方向,給學生一個明確的思路探究下面的問題.,.問題3:如果角的終邊在其他象限內,的值也與這兩條線段的長度相等嗎?若不相等,有什么關系?(例如,角是第三象限角)【設計意圖】讓學生明確給線段方向性的必要性.不一定相等.有時相等,有時互為相反數(shù).在第三象限,.為了簡化上述表示,去掉上述等式中的絕對值符號,我們設想將線段的兩個端點規(guī)定一個為始點,另一個為終點,使得線段具有方向性,表示帶有正負值的數(shù)量.正、余弦值由角的終邊上的點的坐標表示,直角坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關,因此,我們以坐標軸的方向來規(guī)定線段的方向.結論:1.規(guī)定了始點和終點,帶有方向的線段叫做有向線段.2.規(guī)定:在直角坐標系內,線段從始點到終點與坐標軸同向時為正方向,反向時為負方向.探究2:正弦線、余弦線【師生活動】教師提問,學生討論形成正弦線、余弦線的定義.【設計意圖】讓學生體驗知識的形成,深刻理解知識點.問題4:如圖中,哪條有向線段可以表示正弦值和余弦值?【設計意圖】讓學生分析理解有向線段的數(shù)量如何表示正余弦值.有向線段可以表示正弦值,有向線段可以表示余弦值.我們將與單位圓有關的有向線段稱為角的正弦線, 有向線段稱為角的余弦線.問題5:若角的終邊在坐標軸上時,角的正弦線和余弦線的含義如何?【設計意圖】讓學生理解正弦線、余弦線的一般性.當角的終邊在軸的非負半軸上時,角的正弦線是一個點,余弦線是有向線段;當角的終邊在軸的非正半軸上時,角的正弦線是一個點,余弦線是有向線段.當角的終邊在軸的非負半軸上時,角的正弦線是有向線段,余弦線是一個點;當角的終邊在軸的非正半軸上時,角的正弦線是有向線段,余弦線是一個點.探究3:正切線問題6:如果角是第一象限角,其終邊與單位圓的交點為,則,能否比照正弦線、余弦線的得到,怎樣用一個實數(shù)表示正切值?【設計意圖】利用已知,探究未知,加深學生對正切線的理解.令中的.那么中的的值怎么用圖象表示?在角的終邊上的點怎么找到?點在直線上,所以點是角的終邊與直線的交點,設,交點為,則.有向線段可以表示正切值,即:.問題7:如果角為第二、三象限角時,其終邊與直線沒有交點,若記終邊的反向延長線與直線的交點為,那么還成立嗎?【設計意圖】完善正切線的含義.成立.問題8:若角的終邊在坐標軸上時,角的正切線的含義如何?當角的終邊在軸上時,角的正切線是一個點; 當角的終邊在軸上時,角的正切線不存在.我們記,記角的終邊或其終邊的反向延長線與直線的交點為,稱有向線段為角的正切線.四、【理解新知】回顧總結:如何畫一個角的三角函數(shù)線?【設計意圖】總結知識點,加深對三角函數(shù)線的理解,突破重難點. 第一步:作出角的終邊,與單位圓交于點;第二步:過點作軸的垂線,設垂足為,得正弦線、余弦線;第三步:過點作單位圓的切線,它與角的終邊或其反向延長線的交點設為,得角的正切線.要注意:三角函數(shù)線是有向線段,在用字母表示這些線段時,要注意它們的方向,分清起點和終點,書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點,正弦線和正切線以此線段與坐標軸的公共點為起點,其中點為定點.五、【運用新知】例1作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線(1) ; (2) ; (3).【設計意圖】本例是為了使學生掌握各象限(尤其是第二、三、四象限)內角的正弦線、余弦線、正切線的畫法,屬于基礎題【設計說明】本題由學生板書演示.例2. 利用三角函數(shù)線,求角的取值集合(1) (2) (3)【設計意圖】利用三角函數(shù)線的逆向應用,讓學生在理解的基礎上靈活應用三角函數(shù)線.解:(1) (2) (3) =變式練習:求適合下列條件的角的集合(1) (2)【設計意圖】利用例題思路,解決三角不等式.解:(1) (2) 例3. 若,比較、的大小【設計意圖】讓學生體會三角函數(shù)線的幾何意義【設計說明】圖像由學生畫出,教師引導學生從幾何角度,利用三角函數(shù)線的長短解決問題.解:如圖,由于,知, 所以. , 變式練習:設,利用單位圓和三角函數(shù)線證明: 【設計意圖】應用幾何意義,理解三角函數(shù)線.六、【課堂小結】 1.結合有向線段的概念理解正弦線、余弦線、正切線的概念;2.把握住五點,作三角函數(shù)線;3.利用三角函數(shù)線,把握角與角的三角函數(shù)值之間的對應關系.七、【布置作業(yè)】 1必做作業(yè):作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線(1) ; (2); (3).選作作業(yè):1. 已知:,那么下列命題成立的是( )A若、是第一象限的角,則coscos. B. 若、是第二象限的角,則tantan.C. 若、是第三象限的角,則coscos. D. 若、是第四象限的角,則tantan.2求下列函數(shù)的定義域:(1) y = ; (2) y = lg(34sin2x) .【設計意圖】鞏固基礎知識,設置分層作業(yè),滿足每一位學生,增強學生學習數(shù)學的愿望和信心.2. 課后練習 自主學習叢書 1.2.1八、【教后反思】1.本節(jié)課能循序漸進、由特殊到一般,有條不紊地引入三角函數(shù)線的定義,使學生對知識的來源比較清晰;但正因為如此,占用了較多的知識講解時間,對于三角函數(shù)線的應用,講解相對少一些;2.本節(jié)課在例題和練習的設計上能做到由易到難、前后聯(lián)系,使學生對知識的理解和認識逐漸加深,起到潛移默化的作用;3.本節(jié)課的教育點是讓學生“體會發(fā)現(xiàn)的艱辛,享受發(fā)現(xiàn)的

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