1.2 任意角的三角函數(shù).doc

1.2.1任意角的三角函數(shù)（2）一、【教學目標】重點: 三角函數(shù)線的概念及應用.難點：理解三角函數(shù)線作為有向線段其方向規(guī)定的合理性，三角函數(shù)線的應用知識點：有向線段，正弦線、余弦線、正切線的概念，作三角函數(shù)線.能力點：逐步發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值與單位圓中的“有向線段”的對應，分類討論及數(shù)形結合的數(shù)學思想的運用.教育點：讓學生通過經(jīng)歷由不確定的對應建立確定的對應的過程，體會發(fā)現(xiàn)的艱辛，享受發(fā)現(xiàn)的樂趣.自主探究點：角的終邊在坐標軸上時三角函數(shù)線的情況.考試點：利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)值或角的范圍.易錯易混點：三角函數(shù)線作為有向線段與一般線段的聯(lián)系與區(qū)別.拓展點：利用三角函數(shù)線證明有關不等式.二、【引入新課】 前面我們學習了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對弧的長，是圓的半徑.特別地, 當時，,此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.【師生互動】教師設問，學生思考.【設計意圖】設置問題，點明主題.既可以引出單位圓的用途，又可以使學生通過類比聯(lián)想主動、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.三、【探究新知】探究1：有向線段的概念【師生活動】教師給出問題，學生解答，師生共同分析完成引入有向線段的討論.【設計說明】由教師提問，學生分析討論，層層深入地進入課題的探究，讓學生在自主合作探究中解決、理解重難點.問題1：如果角是第一象限角，它的三個三角函數(shù)值用定義如何來求？【設計意圖】利用具體問題探究討論，降低探究問題的難度.做出角的終邊和單位圓，記交點為，那么，,.問題2：在求解中，的值都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示正、余弦值嗎？【設計意圖】直接指明問題研究的方向，給學生一個明確的思路探究下面的問題.，.問題3：如果角的終邊在其他象限內，的值也與這兩條線段的長度相等嗎？若不相等，有什么關系？（例如，角是第三象限角）【設計意圖】讓學生明確給線段方向性的必要性.不一定相等.有時相等，有時互為相反數(shù).在第三象限，.為了簡化上述表示，去掉上述等式中的絕對值符號，我們設想將線段的兩個端點規(guī)定一個為始點，另一個為終點，使得線段具有方向性，表示帶有正負值的數(shù)量.正、余弦值由角的終邊上的點的坐標表示，直角坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關，因此，我們以坐標軸的方向來規(guī)定線段的方向.結論：1.規(guī)定了始點和終點，帶有方向的線段叫做有向線段.2.規(guī)定：在直角坐標系內，線段從始點到終點與坐標軸同向時為正方向，反向時為負方向.探究2：正弦線、余弦線【師生活動】教師提問，學生討論形成正弦線、余弦線的定義.【設計意圖】讓學生體驗知識的形成，深刻理解知識點.問題4：如圖中，哪條有向線段可以表示正弦值和余弦值？【設計意圖】讓學生分析理解有向線段的數(shù)量如何表示正余弦值.有向線段可以表示正弦值，有向線段可以表示余弦值.我們將與單位圓有關的有向線段稱為角的正弦線, 有向線段稱為角的余弦線.問題5：若角的終邊在坐標軸上時，角的正弦線和余弦線的含義如何？【設計意圖】讓學生理解正弦線、余弦線的一般性.當角的終邊在軸的非負半軸上時，角的正弦線是一個點，余弦線是有向線段;當角的終邊在軸的非正半軸上時，角的正弦線是一個點，余弦線是有向線段.當角的終邊在軸的非負半軸上時，角的正弦線是有向線段，余弦線是一個點；當角的終邊在軸的非正半軸上時，角的正弦線是有向線段，余弦線是一個點.探究3：正切線問題6：如果角是第一象限角，其終邊與單位圓的交點為，則，能否比照正弦線、余弦線的得到，怎樣用一個實數(shù)表示正切值？【設計意圖】利用已知，探究未知,加深學生對正切線的理解.令中的.那么中的的值怎么用圖象表示？在角的終邊上的點怎么找到？點在直線上，所以點是角的終邊與直線的交點，設,交點為，則.有向線段可以表示正切值，即：.問題7：如果角為第二、三象限角時，其終邊與直線沒有交點，若記終邊的反向延長線與直線的交點為，那么還成立嗎？【設計意圖】完善正切線的含義.成立.問題8：若角的終邊在坐標軸上時，角的正切線的含義如何？當角的終邊在軸上時，角的正切線是一個點; 當角的終邊在軸上時，角的正切線不存在.我們記，記角的終邊或其終邊的反向延長線與直線的交點為，稱有向線段為角的正切線.四、【理解新知】回顧總結：如何畫一個角的三角函數(shù)線？【設計意圖】總結知識點，加深對三角函數(shù)線的理解，突破重難點. 第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點；第二步：過點作軸的垂線，設垂足為，得正弦線、余弦線；第三步：過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設為，得角的正切線.要注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標軸的公共點為起點，其中點為定點.五、【運用新知】例1作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線（1） ； （2） ； （3）.【設計意圖】本例是為了使學生掌握各象限（尤其是第二、三、四象限）內角的正弦線、余弦線、正切線的畫法，屬于基礎題【設計說明】本題由學生板書演示.例2. 利用三角函數(shù)線，求角的取值集合（1） （2） （3）【設計意圖】利用三角函數(shù)線的逆向應用，讓學生在理解的基礎上靈活應用三角函數(shù)線.解：（1） （2） （3） =變式練習：求適合下列條件的角的集合(1) (2)【設計意圖】利用例題思路，解決三角不等式.解：(1) (2) 例3. 若，比較、的大小【設計意圖】讓學生體會三角函數(shù)線的幾何意義【設計說明】圖像由學生畫出，教師引導學生從幾何角度，利用三角函數(shù)線的長短解決問題.解：如圖，由于，知， 所以. ， 變式練習：設，利用單位圓和三角函數(shù)線證明： 【設計意圖】應用幾何意義，理解三角函數(shù)線.六、【課堂小結】 1.結合有向線段的概念理解正弦線、余弦線、正切線的概念；2.把握住五點，作三角函數(shù)線；3.利用三角函數(shù)線，把握角與角的三角函數(shù)值之間的對應關系.七、【布置作業(yè)】 1必做作業(yè)：作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線（1） ； （2）； （3）.選作作業(yè)：1. 已知：，那么下列命題成立的是（ ）A若、是第一象限的角，則coscos. B. 若、是第二象限的角，則tantan.C. 若、是第三象限的角，則coscos. D. 若、是第四象限的角，則tantan.2求下列函數(shù)的定義域：（1） y = ; (2) y = lg(34sin2x) .【設計意圖】鞏固基礎知識，設置分層作業(yè)，滿足每一位學生，增強學生學習數(shù)學的愿望和信心.2. 課后練習 自主學習叢書 1.2.1八、【教后反思】1.本節(jié)課能循序漸進、由特殊到一般，有條不紊地引入三角函數(shù)線的定義，使學生對知識的來源比較清晰；但正因為如此，占用了較多的知識講解時間，對于三角函數(shù)線的應用，講解相對少一些；2.本節(jié)課在例題和練習的設計上能做到由易到難、前后聯(lián)系，使學生對知識的理解和認識逐漸加深，起到潛移默化的作用；3.本節(jié)課的教育點是讓學生“體會發(fā)現(xiàn)的艱辛，享受發(fā)現(xiàn)的