2019-2020學(xué)年重慶市重慶外國語學(xué)校高二上學(xué)期一月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年重慶市重慶外國語學(xué)校高二上學(xué)期一月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1直線經(jīng)過點(diǎn)，且在y軸上的縱截距為6，則直線的斜率為（ ）ABCD2【答案】D【解析】由直線過兩點(diǎn)，直接代入斜率公式即可求解.【詳解】直線經(jīng)過點(diǎn)，且在y軸上的縱截距為6，直線過兩點(diǎn)，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查斜率的公式應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2已知雙曲線（）的一條漸近線方程為，則（ ）A1B2CD【答案】A【解析】先判斷雙曲的焦點(diǎn)位置，再利用求得的值.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線，考查對概念的理解和基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3設(shè)為實數(shù)，直線，則“”是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 ，但不能推出故是充分不必要條件故選A4已知橢圓C：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的周長為（ ）A2B4C6D8【答案】D【解析】利用橢圓的定義，可求得的周長為，即可得到答案.【詳解】根據(jù)橢圓的定義，的周長為，的周長為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意5已知命題“，使得”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】若命題“，使”是假命題，則函數(shù)的最小值大于等于0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】若命題“，使”是假命題，則函數(shù)的最小值大于等于0，即，解得：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵6將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD=a，則三棱錐DABC的體積為( )ABCD【答案】D【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接因為是邊長為的正方形，是中點(diǎn)，所以且在中，因為，所以，從而可得，即所以可得面，從而有，故選D7四棱錐的底面是一個正方形，平面是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是 （ ）ABCD【答案】B【解析】【詳解】取的中點(diǎn)，連接.為的中點(diǎn)，就是異面直線與所成的角.，四邊形是正方形，.又平面，.連接，與 交于，連接.四邊形是正方形，為的中點(diǎn)， 平面，.，.在中， ，即異面直線 與 所成角的余弦值為；故選B.點(diǎn)睛：本題是一道有關(guān)異面直線所成角的題目，在求解的過程中，首先要找到異面直線所成的平面角，根據(jù)題意取的中點(diǎn)，連接，分析可知就是異面直線與所成的角；然后再由勾股定理可知，為直角三角形，由此即可求出的余弦值，進(jìn)而求出結(jié)果.8對于平面和共面的直線，下列命題是真命題的是A若，與所成的角相等，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【解析】利用直線和平面平行、垂直的判定和性質(zhì)，判斷命題A、B、C都不正確，只有D正確，從而得到結(jié)論【詳解】由于平面和共面的直線，若，與所成的角相等，則直線，平行或相交，故A不正確若，則，則共面直線，平行或相交，故B不正確若，則與平面平行或在平面內(nèi)，故C不正確若，根據(jù)直線，是共面的直線，則一定有，故D正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判定，命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題9已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)，代入橢圓方程得，利用“點(diǎn)差法”可得利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，利用斜率計算公式可得于是得到，化為，再利用，即可解得，進(jìn)而得到橢圓的方程【詳解】解：設(shè)，代入橢圓方程得，相減得，化為，又，解得，橢圓的方程為故選：【點(diǎn)睛】熟練掌握“點(diǎn)差法”和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵10已知過定點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，直線的傾斜角為（ ）ABCD【答案】A【解析】【詳解】試題分析：畫出圖象如下圖所示，所以時面積最大，此時，圓心到直線的距離為，設(shè)直線斜率為，直線方程為，圓心到直線距離.傾斜角為.【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.11雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，設(shè)以點(diǎn)為圓心且過點(diǎn)的圓交雙曲線的一條漸近線于，兩點(diǎn)，若不小于雙曲線的虛軸長，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)題意寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到漸近線的距離，運(yùn)用弦長公式求得弦長，再由題意不小于，結(jié)合，的關(guān)系和離心率公式即可求出離心率的取值范圍【詳解】解：雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)，圓，則雙曲線的一條漸近線方程為，圓心到漸近線的距離為，則，即有，即為，由離心率，得，解得；又，所以故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線和圓的應(yīng)用問題，屬于中檔題12如圖，在長方體中，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱上，且滿足，P是側(cè)面四邊形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】取中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、，則平面平面，由此推導(dǎo)出線段，當(dāng)與的中點(diǎn)重合時，線段長度取最小值，當(dāng)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，線段長度取最大值或，由此能求出線段長度的取值范圍【詳解】取中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、，則平面平面，是側(cè)面四邊形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），平面，線段，當(dāng)與的中點(diǎn)重合時，線段長度取最小值，當(dāng)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，線段長度取最大值或，在長方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，線段長度的取值范圍是，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線段長取值范圍，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力二、填空題13已知直線：與直線：垂直，則m的值為_【答案】【解析】由兩直線垂直的充要條件可得，從而可求得m的值.【詳解】，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直的充要條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為2，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為_【答案】【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)可得，從而得到準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式求得的值，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程得，利用三角形的面積公式可求得答案.【詳解】點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，不妨設(shè)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意焦半徑公式的應(yīng)用.15已知球的半徑為，三點(diǎn)在球的球面上，球心到平面的距離為，則球的表面積為 【答案】【解析】試題分析：設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，由題設(shè)可得，解之得，故球的面積.故應(yīng)填答案.【考點(diǎn)】球的幾何性質(zhì)與面積公式的運(yùn)用【易錯點(diǎn)晴】球是立體幾何中的重要圖形之一，也是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)之一,也歷屆高考必考考點(diǎn)之一.本題以球中的有關(guān)概念為背景，考查是與球有關(guān)的知識的綜合運(yùn)用讀能力和空間想象能力.解答時先運(yùn)用正弦定理可得，即，再由題設(shè)可得，解之得，最后求得球的面積，從而獲得答案.16設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，、分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，當(dāng)點(diǎn)位于該雙曲線的左支時，由圓的幾何性質(zhì)得，然后利用不等式的性質(zhì)和雙曲線的定義可得出的最大值.【詳解】如下圖所示：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，則點(diǎn)為圓的圓心，點(diǎn)為圓的圓心，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)在該雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得.由圓的幾何性質(zhì)得，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線段長度差最大值的求解，涉及雙曲線的定義與以及圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題17已知圓C經(jīng)過和兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是圓C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出線段的中垂線方程，再與直線聯(lián)立求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑，從而得到圓的方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線與圓相切時斜率的值，即可得到答案.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立方程，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓的方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線與圓相切時，解得：.的值為直線的斜率的值，且直線與圓相切或相交，的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程求程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意斜率幾何意義的應(yīng)用.18在多面體中，直角梯形與正方形所在平面互相垂直，分別是，的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求證：平面.【答案】（）證明見解析；（）證明見解析.【解析】（）利用線面平行的判定定理證明；（）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明；【詳解】證明：（）連接，在正方形中，點(diǎn)也是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).在中，又平面，平面；平面；（）因為直角梯形與正方形所在平面互相垂直，平面，平面平面平面平面，所以在中，又，平面，平面.平面.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線、平面的位置關(guān)系，考查推理論證能力，屬于中檔題.19已知動點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離大1.（1）求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）若直線與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得動點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，再利用拋物線的定義得到的軌跡的方程（2）設(shè)，由，消去，得：，由此利用根的判別式、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線的方程【詳解】（1）由已知得動點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，動點(diǎn)的軌跡為拋物線，設(shè)，動點(diǎn)的軌跡的方程為（2）設(shè)，將直線代入得：，則，解得，以為直徑的圓過原點(diǎn)，解得.【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意拋物線定義的運(yùn)用.20如圖，在三棱柱中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，已知平面，（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知可得，進(jìn)一步得到再由，是的中點(diǎn)，可得然后利用線面垂直的判定可得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，可證是與平面所成的角，然后求解直角三角形可得與平面 所成角的正弦值【詳解】（1）平面，又，是的中點(diǎn)，又，平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，平面，是與平面所成的角由，解得，【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定、線面角的求法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意傳統(tǒng)法求線面角的三個步驟：一作、二證、三求.21已知四棱錐中，平面，底面為菱形，E是中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上的動點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）直線與平面所成角的正切值為，當(dāng)F是中點(diǎn)時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面平面（2）以，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值【詳解】（1）連接，底面為菱形，是正三角形；是中點(diǎn)，又，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）由（1）得，兩兩垂直，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面，就是與平面所成的角，在中，即，設(shè)，則，得，又，設(shè)，則，從而，則,，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得，又平面，是平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為則二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明、二面角的余弦值的求法，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意空間直角坐標(biāo)系的建立.22已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，設(shè)，滿足.（i）試證的值為定值，并求出此定值；（ii）試求四邊形ABCD面積的最大值.【答案】（）；（）(i)為定值0；(ii)最大值為4【解析】【詳解】試題分析：（）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（）聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的