2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)19利用空間向量求角和距離新人教A版選修2_1.docx

課時(shí)作業(yè)19利用空間向量求角和距離|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知平面的一個(gè)法向量為n(2，2,1)，點(diǎn)A(1,3,0)在平面內(nèi)，則點(diǎn)P(2,1,4)到平面的距離為()A10B3C. D.解析：點(diǎn)P到平面的距離d.答案：D2直三棱錐ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：根據(jù)已知條件，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA2，則A(2,0,2)，N(1,0,0)，B(0,2,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，M(1,1,0)；所以(1，1，2)，(1,0，2)；所以cos，；所以BM與AN所成角的余弦值為.故選D.答案：D3如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，(2,0,1)連接AC，易證AC平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一個(gè)法向量為a(2,2,0)所求角的正弦值為|cosa，|.答案：D4正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，PA平面ABCD.若PAAB，則平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小為()A30 B45C60 D90解析：建系如圖，設(shè)AB1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量為n1(1,0,0)設(shè)平面PCD的法向量n2(x，y，z)，則得令x1，則z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為.此角的大小為45.答案：B5已知矩形ABCD與ABEF全等，DABF為直二面角，M為AB中點(diǎn)，F(xiàn)M與BD所成角為，且cos，則AB與BC的邊長之比為()A11 B.1C.2 D12解析：設(shè)ABa，BCb，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)，(0，a，b)，所以|，|，|cos，|，整理得45260，所以.故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)6直線l的方向向量a(2,3,2)，平面的一個(gè)法向量n(4,0,1)，則直線l與平面所成角的正弦值為_解析：設(shè)直線l與平面所成的角是，a，n所成的角為，sin|cos|.答案：7在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，_.解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長為2.則C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：8棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是_解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)，所以(a，a,0)，設(shè)平面MBD的法向量為n(x，y，z)，則即所以令x1，則n(1，1，2)，所以點(diǎn)A1到平面MBD的距離為da.答案：a三、解答題(每小題10分，共20分)9正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a，求AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，B1(0，a，a)方法一如圖，取A1B1的中點(diǎn)M，則M，連接AM，MC1，則，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，MC1平面ABB1A1.C1AM即直線AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角，02a2.又|a，|，cos，.，30，即AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為30.方法二(0，a,0)，(0,0，a)設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n(，x，y)，則n0且n0，ax0且ay0，xy0，故n(，0,0)又，cos，n.設(shè)AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為，則sin|cos，n|，30，即AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為30.10如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA4，CB4，CC12，ACB90，點(diǎn)M在線段A1B1上(1)若A1M3MB1，求異面直線AM與A1C所成角的余弦值；(2)若直線AM與平面ABC1所成角為30，試確定點(diǎn)M的位置解析：(1)分別以CA，CB，CC1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示Cxyz，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4,2)因?yàn)锳1M3MB1，所以M(1,3,2)，可得(4,0，2)，(3,3,2)，所以cos，.所以異面直線AM與A1C所成角的余弦值為.(2)由(1)得B(0,4,0)，B1(0,4,2)，所以(4,4,0)，(4,0,2)設(shè)n(a，b，c)是平面ABC1的法向量，可得取a1，得b1，c，所以n(1,1，)，而直線AM與平面ABC1所成角為30，可得與n所成角為60或120，所以|cos，n|，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則(x4,4x,2)，即，解得x2或6.由M在線段A1B1上可得0x4，故x2，即點(diǎn)M為線段A1B1的中點(diǎn)時(shí)，滿足直線AM與平面ABC1所成角為30.|能力提升|(20分鐘，40分)11正方體ABCDA1B1C1D1棱長為a，則點(diǎn)C1到平面A1BD的距離是()A.a B.aC.a D.a解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(a，a，a)，(0，a，a)，由于AC1平面A1BD，所以點(diǎn)C1到平面A1BD的距離是a.故選D.答案：D12如圖正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為_解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量又，BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為.答案：13如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE90，AFDE，DEDA2AF2.請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解答下列問題：(1)求證：AC平面BEF；(2)求平面BEF與平面ABCD所成角的余弦值解析：(1)證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,1)(0，2,1)，(2，2,2)，(2,2,0)設(shè)平面BEF的法向量n(x，y，z)，則有n0，n0.即2yz0，2x2y2z0，取y1，則z2，x1，所以n(1,1,2)，又n0，所以n，又AC平面BEF，所以AC平面BEF.(2)易知(0,0,2)是平面ABCD的一個(gè)法向量，cos，n.即平面BEF與平面ABCD所成角的余弦值為.14如圖1所示，在邊長為12的正方形AAA1A1中，BB1CC1AA1，且AB3，BC4，AA1分別交BB1，CC1于點(diǎn)P，Q，將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得AA1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABCA1B1C1，請?jiān)趫D2中解決下列問題：(1)求證：ABPQ；(2)求直線BC與平面A1PQ所成角的正弦值解析：(1)證明：由題圖1知，CAAAABBC5，BPAB3，CQAC7，在題圖2中，因?yàn)锳B2BC2AC2，所以ABBC，又B1BAB，B1BBC，所以，以B為原點(diǎn)，分別以直線AB，BC，BB1為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則B(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,4,0)，A1(3