第二學期高一數(shù)學三角函數(shù)的圖象與性質同步檢測題A卷人教

2006-2007學年度第二學期高一數(shù)學三角函數(shù)的圖象與性質同步檢測題A卷第四章 三角函數(shù)三、三角函數(shù)的圖象與性質知識網(wǎng)絡范題精講【例1】已知函數(shù)y=sin2x+cos2x2.（1）用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內的圖象;（2）求這個函數(shù)的周期和單調區(qū)間;（3）求函數(shù)圖象的對稱軸方程.（4）說明圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.解: y=sin2x+cos2x2=2sin（2x+）2. （1）列表x2x+02y=2sin（2x+）220242 其圖象如下圖所示.（2）T=.由+2k2x+2k，知函數(shù)的單調增區(qū)間為+k+k，kZ;由+2k2x+2k，知函數(shù)的單調減區(qū)間為+k，+k，kZ.（3）由2x+=+k得x=+.函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+（kZ）.（4）把函數(shù)y1=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位，得到函數(shù)y2=sin（x+）的圖象；再把y2圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到y(tǒng)3=sin（2x+）的圖象；再把y3圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到y(tǒng)4=2sin（2x+）的圖象；最后把y4圖象上所有的點向下平移2個單位，得到函數(shù)y=2sin（2x+）2的圖象.評注:（1）求函數(shù)的周期、單調區(qū)間、最值等問題，一般都要化成一個角的三角函數(shù)形式.（2）對于函數(shù)y=Asin（x+）的對稱軸，實際上就是使函數(shù)y取得最大值或最小值時的x值.（3）第（4）問的變換方法不唯一，但必須特別注意平移變換與伸縮變換的先后順序.【例2】 如右圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（x+）+B.（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.解: （1）由圖，可知這段時間的最大溫差是3010=20（）.（2）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin（x+）+B的半個周期的圖象，=146=.又由圖可得A=10，B=20.y=10sin（x+）+20.將x=6，y=10代入上式，得sin（+）=1.+=.故所求曲線的解析式為y=10sin（x+）+20，x6，14.評注: （1）本題以應用題的形式考查熱點題型，設計新穎別致，獨具匠心.（2）此類“由已知條件或圖象求函數(shù)的解析式”的題目，實質上是用“待定系數(shù)法”確定A，和B，它們的計算方法為A=，B=.與周期有關，可通過T=求得，而關鍵的一步在于如何確定.通常是將圖象上已知點的坐標代入函數(shù)解析式，得到一個關于的簡單三角方程，但到底取何值卻值得考慮.若得方程sin=，那么是取，還是取呢？這就要看所代入的點是在上升的曲線上，還是在下降的曲線上了.若在上升的曲線上，就取，否則就取，而不能同時取兩個值.【例3】a為何值時，方程sin2x+2sinxcosx2cos2x=a有實數(shù)解.分析:所給方程的特征較明顯，即是關于sinx與cosx的齊次方程，通過變形就可化為以tanx為變元的一元二次方程，從而據(jù)判別式進行求解.解法一:原方程可化為sin2x+2sinxcosx2cos2x=a（sin2x+cos2x），即（1a）sin2x+2sinxcosx（2+a）cos2x=0.（1）當a1時，cosx0，方程兩邊同除以cos2x，得（1a）tan2x+2tanx（2+a）=0.tanxR，0，即4+4（1a）（2+a）0，即a2+a30.又a1，a，1）（1，.（2）當a=1時，原方程化為2sinxcosx3cos2x=0，此方程有實根.綜合（1）（2）可得當a，時，原方程有實數(shù)根.解法二:（用函數(shù)觀點）當實數(shù)a取函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx2cos2x值域中的數(shù)值時，原方程有實根.因此，求a的范圍，實質上就是求上述函數(shù)的值域.y=sin2x+2sinxcosx2cos2x=1+sin2x3cos2x=1+sin2x （1+cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x），其中y， ，即a，時，原方程有實數(shù)根.評注: 解法一是常規(guī)解法，解法二利用了變換的觀點，通過函數(shù)思想來解方程.函數(shù)與方程是數(shù)學中兩個重要的概念，在解決數(shù)學問題時，如能靈活運用，將使解答具有創(chuàng)造性.【例4】某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室.如圖所示，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在上.設矩形AGHM的面積為S，HCF=，請將S表示為的函數(shù)，并指出當點H在的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？分析:主要考查學生解決實際問題的能力及函數(shù)最值的求解.解: 延長GH交CD于N，則NH=40sin，CN=40cos.HM=ND=5040cos，AM=5040sin.故S=（5040cos）（5040sin）=1002520（sin+cos）+16sincos（0）.令t=sin+cos=sin（+），則sincos=，且t1，.S=1002520t+8（t21）=800（t）2+450.又t1，當t=1時，Smax=500，此時sin（+）=1sin（+）=.+，+=或，即=0或=.答:當點H在的端點E或F處時，該健身室的面積最大，最大面積是500 m2.【例5】 已知f（x）為R上的奇函數(shù)，且當x0時，f（x）=sin3x+2x21，求f（x）的解析式解:f（x）為奇函數(shù)，且xR，f（0）=0.設x0，則x0，f （x）=sin3（x）+2（x） 21=sin3x+2x21.f （x）為奇函數(shù)，f（x）=f（x）.f （x）=f（x）=sin3x2x2+1.f （x）=三角函數(shù)（三）（A卷）說明：本試卷分為第、卷兩部分，請將第卷選擇題的答案填入題后括號內，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第卷（選擇題 共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（ ）A.y=sin2xB.y=cosC.y=sin2x+cos2xD.y=分析:考查三角函數(shù)的奇偶性及周期性.關于求三角函數(shù)的最小正周期，要會求y=Asin（x+）的周期或者經(jīng)過簡單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期.解析:用排除法.y=sin2x為奇函數(shù)，可排除A；y=cos的最小正周期為4，可排除B；y=sin2x+cos2x為非奇非偶函數(shù)，可排除C；故選D.答案:D2.函數(shù)y=|sinx|+sin|x|的值域是（ ）A.2，2B.1，1C.0，2D.0，1解析:顯然此函數(shù)是偶函數(shù)，所以，研究其值域只需研究自變量大于零時的值域即可當x0時，原函數(shù)化為y=|sinx|+sinx，當sinx0時，y=2sinx0，2;當sinx0時，y=0，所以，原函數(shù)的值域是0，2答案:C3.把函數(shù)y=cosx的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的兩倍，然后把圖象向左平移個單位，則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為（ ）A.y=2sin2xB.y=2sin2xC.y=2cos（2x+）D.y=2cos（+）解析:把函數(shù)y=cosx的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，所得圖象表示的函數(shù)的解析式為y=cos2x，再把縱坐標擴大到原來的兩倍，所得圖象表示的函數(shù)的解析式為y=2cos2x，然后把圖象向左平移個單位，所得圖象表示的函數(shù)的解析式為y=2cos2（x+）=2sin2x答案:B4.與函數(shù)y=tan（2x+）的圖象不相交的一條直線是（ ）A.x=B.x=C.x=D.x=解析:當x=時，2x+=，y=tan（2x+）無意義，故x=與函數(shù)的圖象不相交.答案:D5.如果，（，），且tancot，那么必有（ ）A.B.C.+D.+解析:tancottantan（）.、（，），、（，）.而y=tan在區(qū)間（，）上是增函數(shù)，故，即+.答案:C6.函數(shù)y=|cotx|sinx（0x且x）的圖象是（ ）解析:當x（0，）時，y=cotxsinx=cosx0，排除A，D;當x（，）時，y=cotxsinx=cosx0，排除B.答案:C7.函數(shù)y=xcosxsinx在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)（ ）A.（，）B.（，2）C.（）D.（2，3）解析:本題即求y=xcosx的單調遞增區(qū)間與y=sinx的單調遞減區(qū)間的交集，排除B，C，D，故選A.答案:A8.函數(shù)y=sin4x+cos2x的最小正周期為（ ）A.B.C.D.2解析：y=sin4x+cos2x=（）2+=+=cos4x+，故最小正周期T=.答案:B9.已知0x，且a0，那么函數(shù)f（x）=cos2x2asinx1的最小值是（ ）A.2a+1B.2a1C.2a1D.2a解析:f（x）=（1sin2x）2asinx1=（sinx+a） 2+a2，由0x，得0sinx1.而a0，得0a.當sinx=1，即x=時，f（x） min=（1+a） 2+a2=2a1.答案:C10.對于函數(shù)f（x）=下列命題正確的是（ ）A.該函數(shù)的值域是1，1B.當且僅當x=2k+ （kZ）時，函數(shù)取得最大值1C.該函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)D.當且僅當2k+x2k+（kZ）時，f（x）0解析:畫出此函數(shù)的圖象，由圖象容易看出：該函數(shù)的值域是，1，當且僅當x=2k+或x=2k（kZ）時，函數(shù)取得最大值1;該函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，當且僅當2k+x2k+（kZ）時，f（x）0.答案:D第卷（非選擇題 共70分）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）11.函數(shù)y=的值域是_.解法一:y=，（12y）cosx=y，即cosx=.1y2（2y1）3y24y+10y或y1.故值域為（，1，+）.解法二:y=，當1cosx時，y1；當cosx1時，y.故函數(shù)的值域是（，1，+）.答案:（，）1，+12.如果x，y0，且滿足|sinx|=2cosy2，則x=_ ，y=_.解析:1sinx1，0|sinx|1.1cosy1，2cosy20.又|sinx|=2cosy2，|sinx|=2cosy2=0.由|sinx|=0，得x=k（kZ）.又x0，x=0或.由2cosy2=0，得cosy=1，y=2k（kZ）.y0，y=0.答案:0或 013.函數(shù)y=sinx+cosx在區(qū)間0，上的最小值為_ .解析:y=sinx+cosx=2sin（x+）.x0，x+，.ymin=2sin=1.答案:114.關于函數(shù)f（x）=4sin（2x+）（xR）有下列命題：由f（x1）=f（x2）=0可得x1x2必是的整數(shù)倍；y=f（x）的表達式可改為y=4cos（2x）；y=f（x）的圖象關于點（，0）對稱；y=f（x）的圖象關于直線x=對稱其中正確命題的序號是_ 分析:本題主要考查學生對y=Asin（x+）這個函數(shù)的圖象和性質的分析判斷能力.解析:由于f（x）的周期是，由圖象易知f（x）=0時，相鄰的兩點正好相差，故不正確;f（x）=4sin（2x+）=4cos（2x+）=4cos（2x），故正確;當x=時，f（x）=0，y=f（x）的圖象關于點（，0）對稱，故正確，不正確答案:三、解答題（本大題共5小題，共54分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分8分）已知函數(shù)y=Asin（x+）在一個周期內的圖象，如圖所示，求其解析式.解法一:由圖象知A=2，1分T=2（）=，=2. 3分又由圖象知T=4（x1），即=4（x1）.解得x1=. 5分=，即=.解得=.7分所求解析式為y=2sin（2x+）.8分解法二:由圖象知，當x取時，y取最大值2;當x取時，y取最小值2， 2分代入解析式y(tǒng)=2sin（x+），得方程組 4分 6分所求解析式為y=2sin（2x+）.8分16.（本小題滿分10分）求函數(shù)f（x）=的最小正周期，最大值和最小值.解:f（x）= 2分=（1+sinxcosx） 5分=sin2x+， 7分所以函數(shù)f（x）的最小正周期是，最大值是最小值是. 10分17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=log（sinxcosx），（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調減區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的一個周期.分析:研究復合函數(shù)的性質（定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性），應同時考慮內層函數(shù)與外層函數(shù)各自的特性以及它們的相互制約關系解:（1）由題意得sinxcosx0， 1分即sin（x）0，從而得2kx2k+.所以函數(shù)的定義域為（2k+，2k+）（kZ）. 2分0sin（x）1，0sinxcosx，即log（sinxcosx）log=故函數(shù)的值域是，+ 3分（2）sinxcosx=sin（x）在f（x）的定義域上的單調遞增區(qū)間為（2k+，2k+）（kZ）， 5分函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（2k+，2k+）（kZ）. 6分（3）f（x）的定義域在數(shù)軸上對應的點不關于原點對稱，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù). 9分（4）f（x+2）=logsin（x+2）cos（x+2）=log（sinxcosx）=f（x），函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，2是它的一個周期. 12分18.（本小題滿分12分）某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠（如圖），為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.若水渠橫斷面面積設計為定值 m，渠深3 m，則水渠側壁的傾斜角應為多少時，方能使修建的成本最低？分析:本題中水與水渠壁的接觸面最小，即是修建的成本最