第一輪數(shù)學(xué)：13.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算

*第十三章 導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標定位1.理解導(dǎo)數(shù)的定義，會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)數(shù)的物理、幾何意義，會求函數(shù)在某點處切線的斜率和物體運動到某點處的瞬時速度.3.會用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)的單調(diào)性，會求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.理解函數(shù)極大（?。┲档母拍睿瑫脤?dǎo)數(shù)求多項式、函數(shù)的極值及在閉區(qū)間上的最值，會求一些簡單的實際問題的最大（小）值.復(fù)習(xí)方略指南在本章的復(fù)習(xí)過程中應(yīng)始終把握對導(dǎo)數(shù)概念的認識、計算及應(yīng)用這條主線.復(fù)習(xí)應(yīng)側(cè)重概念、公式、法則在各方面的應(yīng)用，應(yīng)淡化某些公式、法則的理論推導(dǎo).課本只給出了兩個簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們只要求記住這幾個公式，并會應(yīng)用它們求有關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可.從2000年高考開始，導(dǎo)數(shù)的知識已成為高考考查的對象，特別是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考的重要內(nèi)容之一，題型涉及選擇題、填空題與解答題，要給予充分的重視.但是，本章內(nèi)容是限定選修內(nèi)容，試題難度不大，要重視基本方法和基礎(chǔ)知識；做練習(xí)題時要控制好難度，注意與函數(shù)、數(shù)列、不等式相結(jié)合的問題.13.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運算知識梳理1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.（1）求函數(shù)的改變量y；（2）求平均變化率.（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)（x0）=.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義：曲線f（x）在某一點（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過點（x0，y0）的切線斜率.物理意義：若物體運動方程是s=s（t），在點P（i0，s（t0）處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的瞬時速度.3.求導(dǎo)公式(c=0，(xn=nxn1（nN*）.4.運算法則如果f（x）、g（x）有導(dǎo)數(shù)，那么f（x）g（x）=（x）g（x），cf（x）=c（x）.點擊雙基1.若函數(shù)f（x）=2x21的圖象上一點（1，1）及鄰近一點（1+x，1+y），則等于 A.4 B.4xC.4+2x D.4+2x2解析：y=2（1+x）211=2x2+4x，=4+2x.答案：C2.對任意x，有（x）=4x3，f（1）=1，則此函數(shù)為A.f（x）=x42 B.f（x）=x4+2C.f（x）=x3 D.f（x）=x4解析：篩選法.答案：A3.如果質(zhì)點A按規(guī)律s=2t3運動，則在t=3 s時的瞬時速度為A.6 B.18 C.54 D.81解析：s=6t2，s|t=3=54.答案：C4.若拋物線y=x2x+c上一點P的橫坐標是2，拋物線過點P的切線恰好過坐標原點，則c的值為_.解析：y=2x1，y|x=2=5.又P（2，6+c），=5.c=4.答案：45.設(shè)函數(shù)f（x）=（xa）（xb）（xc）（a、b、c是兩兩不等的常數(shù)），則+=_.解析：f（x）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）xabc，（x）=3x22（a+b+c）x+ab+bc+ca.又（a）=（ab）（ac），同理（b）=（ba）（bc），（c）=（ca）（cb）.代入原式中得值為0.答案：0典例剖析【例1】 （1）設(shè)a0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0）處切線的傾斜角的取值范圍為0，則P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為A.0， B.0，C.0，|D.0，|（2）（2004年全國，3）曲線y=x33x2+1在點（1，1）處的切線方程為A.y=3x4 B.y=3x+2C.y=4x+3 D.y=4x5（3）（2004年重慶，15）已知曲線y=x3+，則過點P（2，4）的切線方程是_.（4）（2004年湖南，13）過點P（1，2）且與曲線y=3x24x+2在點M（1，1）處的切線平行的直線方程是_.剖析：本題的各小題都是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點處的切線的斜率.解析：（1）過P（x0，f（x0）的切線的傾斜角的取值范圍是0，P到曲線y=f（x）對稱軸x=的距離d=x0（）=x0+.又（x0）=2ax0+b0，1，x0，.d=x0+0，.（2）點（1，1）在曲線上，y=3x26x，切線斜率為31261=3.所求切線方程為y+1=3（x1）.（3）P（2，4）在y=x3+上，又y=x2，斜率k=22=4.所求直線方程為y4=4（x2），4xy4=0.（4）y=6x4，切線斜率為614=2.所求直線方程為y2=2（x+1），即2xy+4=0.答案：（1）B （2）B （3）4xy4=0 （4）2xy+4=0評述：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個基本應(yīng)用.思考討論導(dǎo)數(shù)除用來求切線的斜率外，還有哪些方面的應(yīng)用?答：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用較廣，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值、最值等.【例2】 曲線y=x3在點（3，27）處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積是多少?剖析：求出切線的方程后再求切線與坐標軸的交點.解：曲線在點（3，27）處切線的方程為y=27x54，此直線與x軸、y軸交點分別為（2，0）和（0，54），切線與坐標軸圍成的三角形面積是S=254=54.評述：求切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個基本應(yīng)用.【例3】 已知曲線C：y=x33x2+2x，直線l：y=kx，且直線l與曲線C相切于點（x0，y0）（x00），求直線l的方程及切點坐標.剖析：切點（x0，y0）既在曲線上，又在切線上，由導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率.聯(lián)立方程組解之即可.解：直線過原點，則k=（x01）.由點（x0，y0）在曲線C上，則y0=x033x02+2x0，=x023x0+2.又y=3x26x+2，在（x0，y0）處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=（x0）=3x026x0+2.x023x0+2=3x026x0+2.整理得2x023x0=0.解得x0=（x00）.這時，y0=，k=.因此，直線l的方程為y=x，切點坐標是（，）.評述：對于高次函數(shù)凡涉及到切線或其單調(diào)性的問題時，要有求導(dǎo)意識.【例4】 證明：過拋物線y=a（xx1）（xx2）（a0，x10 B. （x0）0C. （x0）=0D. （x0）不存在解析：由題知（x0）=3.答案：B3.函數(shù)f（x）=ax3+3x2+2，若（1）=4，則a的值等于_.解析： （x）=3ax2+6x，從而使3a6=4，a=.答案： 4.曲線y=2x2+1在P（1，3）處的切線方程是_.解析：點P（1，3）在曲線上，k=（1）=4，y3=4（x+1），4x+y+1=0.答案：4x+y+1=05.已知曲線y=x21與y=3x3在x=x0處的切線互相垂直，求x0.解：在x=x0處曲線y=x21的切線斜率為2x0，曲線y=3x3的切線斜率為3x02.2x0（3x02）=1，x0=.答案： 6.點P在曲線y=x3x+上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，求的范圍.解：tan=3x21，tan1，+）.當tan0，+）時，0，）；當tan1，0）時，）.0，），）.培養(yǎng)能力7.曲線y=x2+4x上有兩點A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程；（2）在曲線AB上是否存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行?若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）kAB=2，y=2（x4）.所求割線AB所在直線方程為2x+y8=0.（2）=2x+4，2x+4=2，得x=3，y=32+34=3.C點坐標為（3，3），所求切線方程為2x+y9=0.8.有點難度喲！若直線y=3x+1是曲線y=x3a的一條切線，求實數(shù)a的值.解：設(shè)切點為P（x0，y0），對y=x3a求導(dǎo)數(shù)是=3x2，3x02=3.x0=1.（1）當x=1時，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=31+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上，4=13a.a=3.（2）當x=1時，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3（1）+1=2，即P（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3a.a=1.綜上可知，實數(shù)a的值為3或1.9.確定拋物線方程y=x2+bx+c中的常數(shù)b和c，使得拋物線與直線y=2x在x=2處相切.解：=2x+b，k=y|x=2=4+b=2，b=2.又當x=2時，y=22+（2）2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究創(chuàng)新10.有點難度喲！曲線y=x3+3x2+6x10的切線中，求斜率最小的切線方程.解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，x=1時，切線最小斜率為3，此時，y=（1）3+3（1）2+6（1）10=14.切線方程為y+14=3（x+1），即3xy11=0.思悟小結(jié)1.理解導(dǎo)數(shù)的定義及幾何和物理方面的意義是解題的關(guān)鍵.2.非多項式函數(shù)要化成多項式函數(shù)求導(dǎo).3.要注意含有參數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的寫法及研究在不定點處切線問題時切點的設(shè)法.教師下載中心教學(xué)點睛1.（x0）=的幾種等價形式：（x0）=2.曲線C：y=f（x）在其上一點P（x0，f（x0）處的切線方程為yf（x0）=（x0）（xx0）.3.若質(zhì)點的運動規(guī)律為s=s（t），則質(zhì)點在t=t0時的瞬時速度為v=（t0）.這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.4.直線與曲線相切，并不一定只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，由解析幾何知，直線與曲線相切，有且只有一個公