第一輪數(shù)學(xué):13.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算_第1頁
第一輪數(shù)學(xué):13.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算_第2頁
第一輪數(shù)學(xué):13.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算_第3頁
第一輪數(shù)學(xué):13.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算_第4頁
第一輪數(shù)學(xué):13.1導(dǎo)數(shù)的概念與運算_第5頁
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文檔簡介

*第十三章 導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標定位1.理解導(dǎo)數(shù)的定義,會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)數(shù)的物理、幾何意義,會求函數(shù)在某點處切線的斜率和物體運動到某點處的瞬時速度.3.會用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)的單調(diào)性,會求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.理解函數(shù)極大(?。┲档母拍睿瑫脤?dǎo)數(shù)求多項式、函數(shù)的極值及在閉區(qū)間上的最值,會求一些簡單的實際問題的最大(小)值.復(fù)習(xí)方略指南在本章的復(fù)習(xí)過程中應(yīng)始終把握對導(dǎo)數(shù)概念的認識、計算及應(yīng)用這條主線.復(fù)習(xí)應(yīng)側(cè)重概念、公式、法則在各方面的應(yīng)用,應(yīng)淡化某些公式、法則的理論推導(dǎo).課本只給出了兩個簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,我們只要求記住這幾個公式,并會應(yīng)用它們求有關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可.從2000年高考開始,導(dǎo)數(shù)的知識已成為高考考查的對象,特別是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考的重要內(nèi)容之一,題型涉及選擇題、填空題與解答題,要給予充分的重視.但是,本章內(nèi)容是限定選修內(nèi)容,試題難度不大,要重視基本方法和基礎(chǔ)知識;做練習(xí)題時要控制好難度,注意與函數(shù)、數(shù)列、不等式相結(jié)合的問題.13.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運算知識梳理1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.(1)求函數(shù)的改變量y;(2)求平均變化率.(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)(x0)=.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義:曲線f(x)在某一點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)是過點(x0,y0)的切線斜率.物理意義:若物體運動方程是s=s(t),在點P(i0,s(t0)處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的瞬時速度.3.求導(dǎo)公式(c=0,(xn=nxn1(nN*).4.運算法則如果f(x)、g(x)有導(dǎo)數(shù),那么f(x)g(x)=(x)g(x),cf(x)=c(x).點擊雙基1.若函數(shù)f(x)=2x21的圖象上一點(1,1)及鄰近一點(1+x,1+y),則等于 A.4 B.4xC.4+2x D.4+2x2解析:y=2(1+x)211=2x2+4x,=4+2x.答案:C2.對任意x,有(x)=4x3,f(1)=1,則此函數(shù)為A.f(x)=x42 B.f(x)=x4+2C.f(x)=x3 D.f(x)=x4解析:篩選法.答案:A3.如果質(zhì)點A按規(guī)律s=2t3運動,則在t=3 s時的瞬時速度為A.6 B.18 C.54 D.81解析:s=6t2,s|t=3=54.答案:C4.若拋物線y=x2x+c上一點P的橫坐標是2,拋物線過點P的切線恰好過坐標原點,則c的值為_.解析:y=2x1,y|x=2=5.又P(2,6+c),=5.c=4.答案:45.設(shè)函數(shù)f(x)=(xa)(xb)(xc)(a、b、c是兩兩不等的常數(shù)),則+=_.解析:f(x)=x3(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)xabc,(x)=3x22(a+b+c)x+ab+bc+ca.又(a)=(ab)(ac),同理(b)=(ba)(bc),(c)=(ca)(cb).代入原式中得值為0.答案:0典例剖析【例1】 (1)設(shè)a0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍為0,則P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為A.0, B.0,C.0,|D.0,|(2)(2004年全國,3)曲線y=x33x2+1在點(1,1)處的切線方程為A.y=3x4 B.y=3x+2C.y=4x+3 D.y=4x5(3)(2004年重慶,15)已知曲線y=x3+,則過點P(2,4)的切線方程是_.(4)(2004年湖南,13)過點P(1,2)且與曲線y=3x24x+2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是_.剖析:本題的各小題都是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點處的切線的斜率.解析:(1)過P(x0,f(x0)的切線的傾斜角的取值范圍是0,P到曲線y=f(x)對稱軸x=的距離d=x0()=x0+.又(x0)=2ax0+b0,1,x0,.d=x0+0,.(2)點(1,1)在曲線上,y=3x26x,切線斜率為31261=3.所求切線方程為y+1=3(x1).(3)P(2,4)在y=x3+上,又y=x2,斜率k=22=4.所求直線方程為y4=4(x2),4xy4=0.(4)y=6x4,切線斜率為614=2.所求直線方程為y2=2(x+1),即2xy+4=0.答案:(1)B (2)B (3)4xy4=0 (4)2xy+4=0評述:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個基本應(yīng)用.思考討論導(dǎo)數(shù)除用來求切線的斜率外,還有哪些方面的應(yīng)用?答:導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用較廣,如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)的極值、最值等.【例2】 曲線y=x3在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積是多少?剖析:求出切線的方程后再求切線與坐標軸的交點.解:曲線在點(3,27)處切線的方程為y=27x54,此直線與x軸、y軸交點分別為(2,0)和(0,54),切線與坐標軸圍成的三角形面積是S=254=54.評述:求切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個基本應(yīng)用.【例3】 已知曲線C:y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且直線l與曲線C相切于點(x0,y0)(x00),求直線l的方程及切點坐標.剖析:切點(x0,y0)既在曲線上,又在切線上,由導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率.聯(lián)立方程組解之即可.解:直線過原點,則k=(x01).由點(x0,y0)在曲線C上,則y0=x033x02+2x0,=x023x0+2.又y=3x26x+2,在(x0,y0)處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=(x0)=3x026x0+2.x023x0+2=3x026x0+2.整理得2x023x0=0.解得x0=(x00).這時,y0=,k=.因此,直線l的方程為y=x,切點坐標是(,).評述:對于高次函數(shù)凡涉及到切線或其單調(diào)性的問題時,要有求導(dǎo)意識.【例4】 證明:過拋物線y=a(xx1)(xx2)(a0,x10 B. (x0)0C. (x0)=0D. (x0)不存在解析:由題知(x0)=3.答案:B3.函數(shù)f(x)=ax3+3x2+2,若(1)=4,則a的值等于_.解析: (x)=3ax2+6x,從而使3a6=4,a=.答案: 4.曲線y=2x2+1在P(1,3)處的切線方程是_.解析:點P(1,3)在曲線上,k=(1)=4,y3=4(x+1),4x+y+1=0.答案:4x+y+1=05.已知曲線y=x21與y=3x3在x=x0處的切線互相垂直,求x0.解:在x=x0處曲線y=x21的切線斜率為2x0,曲線y=3x3的切線斜率為3x02.2x0(3x02)=1,x0=.答案: 6.點P在曲線y=x3x+上移動,設(shè)點P處切線的傾斜角為,求的范圍.解:tan=3x21,tan1,+).當tan0,+)時,0,);當tan1,0)時,).0,),).培養(yǎng)能力7.曲線y=x2+4x上有兩點A(4,0)、B(2,4).求:(1)割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程;(2)在曲線AB上是否存在點C,使過C點的切線與AB所在直線平行?若存在,求出C點的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)kAB=2,y=2(x4).所求割線AB所在直線方程為2x+y8=0.(2)=2x+4,2x+4=2,得x=3,y=32+34=3.C點坐標為(3,3),所求切線方程為2x+y9=0.8.有點難度喲!若直線y=3x+1是曲線y=x3a的一條切線,求實數(shù)a的值.解:設(shè)切點為P(x0,y0),對y=x3a求導(dǎo)數(shù)是=3x2,3x02=3.x0=1.(1)當x=1時,P(x0,y0)在y=3x+1上,y=31+1=4,即P(1,4).又P(1,4)也在y=x3a上,4=13a.a=3.(2)當x=1時,P(x0,y0)在y=3x+1上,y=3(1)+1=2,即P(1,2).又P(1,2)也在y=x3a上,2=(1)3a.a=1.綜上可知,實數(shù)a的值為3或1.9.確定拋物線方程y=x2+bx+c中的常數(shù)b和c,使得拋物線與直線y=2x在x=2處相切.解:=2x+b,k=y|x=2=4+b=2,b=2.又當x=2時,y=22+(2)2+c=c,代入y=2x,得c=4.探究創(chuàng)新10.有點難度喲!曲線y=x3+3x2+6x10的切線中,求斜率最小的切線方程.解:=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,x=1時,切線最小斜率為3,此時,y=(1)3+3(1)2+6(1)10=14.切線方程為y+14=3(x+1),即3xy11=0.思悟小結(jié)1.理解導(dǎo)數(shù)的定義及幾何和物理方面的意義是解題的關(guān)鍵.2.非多項式函數(shù)要化成多項式函數(shù)求導(dǎo).3.要注意含有參數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的寫法及研究在不定點處切線問題時切點的設(shè)法.教師下載中心教學(xué)點睛1.(x0)=的幾種等價形式:(x0)=2.曲線C:y=f(x)在其上一點P(x0,f(x0)處的切線方程為yf(x0)=(x0)(xx0).3.若質(zhì)點的運動規(guī)律為s=s(t),則質(zhì)點在t=t0時的瞬時速度為v=(t0).這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.4.直線與曲線相切,并不一定只有一個公共點,當曲線是二次曲線時,由解析幾何知,直線與曲線相切,有且只有一個公

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