矢量場(chǎng)旋度ppt課件.ppt

0 3矢量場(chǎng)的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField Stoke sTheorem 1 1 矢量場(chǎng)的環(huán)流 TheCircumfluenceofVector sField 在數(shù)學(xué)上 將矢量場(chǎng)沿一條有向閉合曲線L 即取定了正線方向的閉合曲線 的線積分稱為沿該曲線L的循環(huán)量或流量 2 旋度 Rotation 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近 那么 2 以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小 也將逐漸減小 一般說(shuō)來(lái) 這兩者的比值有一極限值 記作即單位面積平均環(huán)流的極限 它與閉合曲線的形狀無(wú)關(guān) 但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 且通常L的正方向與規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則 為此定義 3 稱為矢量場(chǎng)的旋度 rot是rotation縮寫 旋度的重要性在于 可用以表征矢量在某點(diǎn)附近各方向上環(huán)流強(qiáng)弱的程度 如果場(chǎng)中處處rot稱為無(wú)旋場(chǎng) 3 斯托克斯定理 Stoke sTheorem 它能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分 反之亦然 4 0 4正交曲線坐標(biāo)系中運(yùn)算的表達(dá)式ExpressionofOperationonOrthogonalCurvilinearCoordinatesFrame 5 1 度量系數(shù) MeasurementCoefficents 設(shè)x y z是某點(diǎn)的笛卡兒坐標(biāo) x1 x2 x3是這點(diǎn)的正交曲線坐標(biāo) 長(zhǎng)度元的平方表示為其中 6 稱度量系數(shù) 或拉梅系數(shù) 正交坐標(biāo)系完全由三個(gè)拉梅系數(shù)h1 h2 h3來(lái)描述 2 哈密頓算符 梯度 散度 旋度及拉普拉斯算符在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式 TheGeneralExpressionofHamiltonOperator Gradient Divergence RotationandLaplaceOperatorinOrthogonalCurvilinearCoordinates 7 8 9 其中為正交曲線坐標(biāo)系的基矢 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 是一個(gè)矢量函數(shù) 只有在笛卡兒坐標(biāo)系中 在其它正交坐標(biāo)系中 10 3 不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式 DifferenceExpressioninDifferentCoordinates a 笛卡兒坐標(biāo)x1 x x2 y x3 zh1 1 h2 1 h3 1 11 12 b 圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量 x1 rx2 x3 z與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系 x rcos y rsin z z拉梅系數(shù) h1 1h2 rh3 1 13 14 將應(yīng)用于圓柱坐標(biāo)可得 15 c 球坐標(biāo)系 z 16 坐標(biāo)變量 與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系 拉梅系數(shù) 17 18 其中 19 20 0 5二階微分算符格林定理Second orderDifferenceOperator Green sTheorem 21 1 一階微分運(yùn)算 First orderDifferenceCalculation 將算符直接作用于標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 即分別得到梯度 散度和旋度 即這些都叫一階微分運(yùn)算 舉例 a 設(shè)為源點(diǎn)與場(chǎng)之間的距離 r的方向規(guī)定為源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn) 試分別對(duì)場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)求r的梯度 22 第一步 源點(diǎn)固定 r是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù) 對(duì)場(chǎng)點(diǎn)求梯度用r表示 則有而 23 同理可得 故得到 24 第二步 場(chǎng)點(diǎn)固定 r是源點(diǎn)的函數(shù) 對(duì)源點(diǎn)求梯度用表示 而同理可得 25 所以得到 作業(yè) b 設(shè)u是空間坐標(biāo)x y z的函數(shù) 證明 26 證 這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 梯度 按復(fù)合函數(shù)微分法則 有 27 c 設(shè)求解 而同理可得 28 那么這里同理可得故有 29 由此可見(jiàn) d 設(shè)u是空間坐標(biāo)x y z的函數(shù) 證明證 30 e 設(shè)u是空間坐標(biāo)x y z的函數(shù) 證明證 31 2 二階微分運(yùn)算 CalculationofTwo orderDifference 將算符作用于梯度 散度和旋度 則稱為二階微分運(yùn)算 設(shè)為標(biāo)量場(chǎng) 為矢量場(chǎng) 32 并假設(shè)的分量具有所需要的階的連續(xù)微商 則不難得到 1 標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無(wú)旋場(chǎng) 2 矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng) 3 無(wú)旋場(chǎng)可表示一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度 4 無(wú)散場(chǎng)可表示一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度 33 5 標(biāo)量場(chǎng)的梯度的散度為 6 矢量場(chǎng)的旋度的旋度為3 運(yùn)算于乘積 CalculationofMultiplicationwith 1 34 35 2 36 3 37 4 5 38 6 根據(jù)常矢運(yùn)算法則則有 39 故有 7 根據(jù)常矢運(yùn)算法則 則有 40 8 因?yàn)楣视袕亩玫?41 4 格林定理 Green stheorem 由Gauss stheorem得到 將上式交換位置 得到以上兩式相減 得到 42