高等數(shù)學(xué)上泰勒公式ppt課件.ppt

1 二 幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 一 泰勒公式的建立 三 泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用 用多項(xiàng)式近似表示函數(shù) 理論分析 近似計(jì)算 5 3泰勒 Taylor 公式 2 特點(diǎn) 一 泰勒公式的建立 以直代曲 在微分應(yīng)用中已知近似公式 需要解決的問題 如何提高精度 如何估計(jì)誤差 x的一次多項(xiàng)式 3 1 求n次近似多項(xiàng)式 要求 故 令 則 4 2 余項(xiàng)估計(jì) 令 稱為余項(xiàng) 則有 5 6 公式 稱為的n階泰勒公式 公式 稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) 泰勒中值定理 階的導(dǎo)數(shù) 時(shí) 有 其中 則當(dāng) 7 公式 稱為n階泰勒公式的佩亞諾 Peano 余項(xiàng) 在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) 泰勒公式可寫為 注意到 可以證明 式成立 8 特例 1 當(dāng)n 0時(shí) 泰勒公式變?yōu)?2 當(dāng)n 1時(shí) 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理 可見 誤差 9 稱為麥克勞林 Maclaurin 公式 則有 在泰勒公式中若取 則有誤差估計(jì)式 若在公式成立的區(qū)間上 由此得近似公式 10 二 幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 其中 11 其中 12 類似可得 其中 13 其中 14 已知 其中 類似可得 15 三 泰勒公式的應(yīng)用 1 在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差 M為 在包含0 x的某區(qū)間上的上界 需解問題的類型 1 已知x和誤差限 要求確定項(xiàng)數(shù)n 2 已知項(xiàng)數(shù)n和x 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差 3 已知項(xiàng)數(shù)n和誤差限 確定公式中x的適用范圍 16 已知 例1 計(jì)算無理數(shù)e的近似值 使誤差不超過 解 令x 1 得 由于 欲使 由計(jì)算可知當(dāng)n 9時(shí)上式成立 因此 的麥克勞林公式為 17 說明 注意舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響 本例 若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位 則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過 總誤差為 這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過 因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 18 例2 用近似公式 計(jì)算cosx的近似值 使其精確到0 005 試確定x的適用范圍 解 近似公式的誤差 令 解得 即當(dāng) 時(shí) 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果 能準(zhǔn)確到0 005 19 2 利用泰勒公式求極限 例3 求 解 由于 用洛必塔法則不方便 20 3 利用泰勒公式證明不等式 例4 證明 證 21 內(nèi)容小結(jié) 1 泰勒公式 其中余項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)為麥克勞林公式 22 2 常用函數(shù)的麥克勞林公式 3 泰勒公式的應(yīng)用 1 近似計(jì)算 3 其他應(yīng)用 求極限 證明不等式等 2 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) 23 泰勒多項(xiàng)式逼近 24 泰勒多項(xiàng)式逼近 25 思考與練習(xí) 計(jì)算 解 原式 26 由題設(shè)對 證 備用題1 有 且 27 下式減上式 得 令 28 兩邊同乘n 整數(shù) 假設(shè)e