立體幾何之三棱錐知識要點(diǎn).doc

三棱錐定義 幾何體，錐體的一種，由四個三角形組成，亦稱為四面體。底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐稱作正三棱錐；而由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。三棱錐有六條棱長，四個頂點(diǎn)，四個面。相關(guān)計(jì)算h為底高（法線長度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長有：三棱錐棱錐的側(cè)面展開圖是由4個三角形組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側(cè)面積，則 ：(其中Si,i= 1,2為第i個側(cè)面的面積）S全=S棱錐側(cè)+S底S正三棱錐=1/2CL+S底V=S(底面積)H(高)3三棱錐體積公式一個三棱柱中的三個等體積的三棱錐：h為底高（法線長度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長三棱錐的底面面積S加頂點(diǎn)A面積0除以2的平均面積1/2S的一個三棱柱乘以高h(yuǎn),就是三棱錐體積：V=1/2（S+0）h=1/2ShS面積三角形AC乘h除以2三棱錐公式 海倫秦九韶體積公式任意一個三棱錐或者說四面體，其棱為a，b，c，d，e，f，其中a與d，b與e，c與f互為對邊，那么有三棱錐（四面體）的體積公式為內(nèi)切球心正三棱錐內(nèi)切球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處相關(guān)計(jì)算：因?yàn)檎忮F底面為正三角形，所以高線位于任意頂點(diǎn)與底邊中點(diǎn)連線，又三線合一，所以重心位于高線距頂點(diǎn)2/3處，即可算出頂點(diǎn)與重心的距離，又知正三棱錐邊長，即可根據(jù)勾股定理算出圓心所在直線（即頂點(diǎn)與底面重心的連線）的長度，即可算出底面與球心的距離（即內(nèi)切球半徑）。一般的三棱錐內(nèi)切球心在四個面上的射影與四個面的重心重合，據(jù)此可確定球心位置。外接球心正三棱錐外接球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處相關(guān)計(jì)算：和計(jì)算內(nèi)切球心一樣算出圓心所在直線（即頂點(diǎn)與底面重心的連線）的長度，即可算出頂點(diǎn)與球心的距離（即外接球半徑）。一般的三棱錐外切球心在四個面上的射影與四個面的外心重合，據(jù)此可確定球心位置。與棱相切的球心正三棱錐的與棱相切的球心在頂點(diǎn)與底面重心的連線的距底面1/4處（正三棱錐三心重合）一般的三棱錐與四條棱都相切的球心在四個面上的射影與四個面的內(nèi)心重合，據(jù)此可確定球心位置。三棱錐頂點(diǎn)射影與底面三角形的“心”設(shè)有三棱錐P-ABC，P在平面ABC上的射影為O， 外心當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等時，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成角相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形外內(nèi)心當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。當(dāng)三棱錐的各個側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。旁心當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。當(dāng)三棱錐的各個側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的外部，那么射影是旁心。垂心當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直（或每條側(cè)棱都與所對的側(cè)面垂直）時，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。當(dāng)三棱錐有兩條側(cè)棱與對應(yīng)的對邊垂直時，第三組側(cè)棱與對邊也垂直，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。重心當(dāng)三棱錐的三個側(cè)面在底面上的射影面積相等時，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的重心。正四面體定義正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等。它有4個面，6條棱，4個頂點(diǎn)。正四面體是最簡單的正多面體。正三棱錐正四面體屬于正三棱錐，但是正三棱錐只需要底面為正三角形，其他三個面是全等的等腰三角形就可以，不需要四個面全等且都是等邊三角形。因此，正四面體又是特殊的正三棱錐?；拘再|(zhì)正四面體是一種柏拉圖多面體，正四面體與自身對偶。正四面體的重心、四條高的交點(diǎn)、外接球、內(nèi)切球球心共點(diǎn)，此點(diǎn)稱為中心。正四面體有一個在其內(nèi)部的內(nèi)切球和七個與四個面都相切的旁切球，其中有三個旁切球球心在無窮遠(yuǎn)處。正四面體有四條三重旋轉(zhuǎn)對稱軸，六個對稱面。正四面體可與正八面體填滿空間，在一頂點(diǎn)周圍有八個正四面體和六個正八面體。正四面體的對邊相互垂直。相關(guān)數(shù)據(jù)當(dāng)正四面體的棱長為a時，一些數(shù)據(jù)如下：高：6a/3。中心把高分為1:3兩部分。表面積：3a2體積：2a3/12對棱中點(diǎn)的連線段的長：2a/2外接球半徑：6a/4，正四面體體積占外接球體積的2*30.5/9*，約12.2517532%。內(nèi)切球半徑：6a/12，內(nèi)切球體積占正四面體體積的*30.5/18，約30.2299894%。棱切球半徑：2a/4.如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體。正棱錐（1）正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；正四面體（2）正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形；（3）正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等