2.1多邊形的概念及內(nèi)角和

2 1多邊形 第2章四邊形 第1課時(shí)多邊形的內(nèi)角 情境引入 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解并掌握多邊形及有關(guān)概念 2 對角線條數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系 重點(diǎn) 3 理解正多邊形及其有關(guān)概念 重點(diǎn) 4 會用分割法探索多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式 難點(diǎn) 導(dǎo)入新課 情景引入 在實(shí)際生活當(dāng)中 除了三角形 還有許多由線段圍成的圖形 觀察圖片 你能找到一些由線段圍成的圖形嗎 中國第一奇村諸葛八卦村 美國國防部大樓 五角大樓 講授新課 問題2觀察畫某多邊形的過程 類比三角形的概念 你能說出什么是多邊形嗎 在平面內(nèi) 由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形 問題1什么是三角形 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 思考 比較多邊形的定義與三角形的定義 為什么要強(qiáng)調(diào) 在平面內(nèi) 呢 怎樣命名多邊形呢 這是因?yàn)槿切沃械娜齻€(gè)頂點(diǎn)肯定都在同一個(gè)平面內(nèi) 而四點(diǎn) 五點(diǎn) 甚至更多的點(diǎn)就有可能不在同一個(gè)平面內(nèi) 多邊形用圖形名稱以及它的各個(gè)頂點(diǎn)的字母表示 字母要按照頂點(diǎn)的順序書寫 可以按順時(shí)針或逆時(shí)針的順序 內(nèi)角 多邊形相鄰兩邊組成的角 問題3根據(jù)圖示 類比三角形的有關(guān)概念 說明什么是多邊形的邊 頂點(diǎn) 內(nèi)角 外角 頂點(diǎn) 邊 外角 多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角 n邊形有n個(gè)頂點(diǎn) n條邊 n個(gè)內(nèi)角 2n個(gè)外角 多邊形按它的邊數(shù)可分為 三角形 四邊形 五邊形等等 其中三角形是最簡單的多邊形 例1六邊形紙片剪去一個(gè)角后 得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少 畫出圖形說明 解 六邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)有增加1 減少1 不變?nèi)N情況 新多邊形的邊數(shù)為7 5 6三種情況 如圖所示 一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后 多邊形的邊數(shù)可能增加了一條 也可能不變或減少了一條 典例精析 A B C D E 定義 多邊形中連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段 叫做多邊形的對角線 線段AC是五邊形ABCDE的一條對角線 多邊形的對角線通常用虛線表示 探究 請畫出下列圖形從某一頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù) 0 1 2 3 5 n 3 1 2 3 4 6 n 2 從n n 3 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出 n 3 條對角線 將多邊形分成 n 2 個(gè)三角形 n n 3 邊形共有對角線條 歸納總結(jié) 畫一畫 畫出下列多邊形的全部對角線 定義 在平面內(nèi) 邊相等 角也都相等的多邊形叫作正多邊形 想一想 下列多邊形是正多邊形嗎 如不是 請說明為什么 答 都不是 第一個(gè)圖形不符合四個(gè)角都相等 第二個(gè)圖形不符合各邊都相等 問題2你知道長方形和正方形的內(nèi)角和是多少度嗎 問題1三角形內(nèi)角和是多少度 三角形內(nèi)角和是180 都是360 問題3猜想任意四邊形的內(nèi)角和是多少度 猜想 四邊形ABCD的內(nèi)角和是360 問題4你能用以前學(xué)過的知識證明一下你的結(jié)論嗎 猜想與證明 方法1 如圖 連接AC 所以四邊形被分為兩個(gè)三角形 所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180 2 360 E 方法2 如圖 在BC邊上任取一點(diǎn)E 連接AE DE 所以該四邊形被分成三個(gè)三角形 所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180 3 AEB AED CED 180 3 180 360 方法3 如圖 在四邊形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E 連接AE BE CE DE 把四邊形分成四個(gè)三角形 ABE ADE CDE CBE 所以四邊形ABCD內(nèi)角和為 180 4 AEB AED CED CEB 180 4 360 360 E P 方法4 如圖 在四邊形外任取一點(diǎn)P 連接PA PB PC PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形 所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180 3 180 360 這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想 把四邊形分割成三角形 轉(zhuǎn)化到已學(xué)的三角形內(nèi)角和求解 結(jié)論 四邊形的內(nèi)角和為360 例2 如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ) 那么另一組對角有什么關(guān)系 試說明理由 解 如圖 四邊形ABCD中 A C 180 A B C D 360 因?yàn)?B D 360 A C 360 180 180 所以 如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ) 那么另一組對角互補(bǔ) 變式題 如圖 在四邊形ABCD中 A與 C互補(bǔ) BE平分 ABC DF平分 ADC 若BE DF 求證 DCF為直角三角形 證明 在四邊形ABCD中 A與 C互補(bǔ) ABC ADC 180 BE平分 ABC DF平分 ADC CDF EBF 90 BE DF EBF CFD CDF CFD 90 故 DCF為直角三角形 運(yùn)用了整體思想 問題5你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法 選一種方法求五邊形和六邊形內(nèi)角和嗎 內(nèi)角和為180 3 540 內(nèi)角和為180 4 720 0 n 3 1 2 3 1 2 3 4 n 2 n 2 180 1 180 180 2 180 360 3 180 540 4 180 720 由特殊到一般 分割 多邊形 三角形 分割點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系 頂點(diǎn) 邊上 內(nèi)部 外部 轉(zhuǎn)化思想 總結(jié)歸納 多邊形的內(nèi)角和公式 n邊形內(nèi)角和等于 n 2 180 60 90 120 完成下面的表格 108 135 例3一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720 并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等 這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度 解 設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n 則 n 2 180 360 720 解得n 8 這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等 8 2 180 1080 它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1080 8 135 例4如圖 在五邊形ABCDE中 C 100 D 75 E 135 AP平分 EAB BP平分 ABC 求 P的度數(shù) 解析 根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540 由 C D E的度數(shù)可求 EAB ABC的度數(shù) 再根據(jù)角平分線的定義可得 PAB與 PBA的角度和 進(jìn)一步求得 P的度數(shù) 可運(yùn)用整體思想 解 EAB ABC C D E 540 C 100 D 75 E 135 EAB ABC 540 100 75 135 230 AP平分 EAB PAB EAB 同理可得 ABP ABC P PAB PBA 180 P 180 PAB PBA 180 EAB ABC 180 230 65 1 九邊形的對角線有 A 25條B 31條C 27條D 30條 C 2 若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā) 最多可以引10條對角線 則這是邊形 十三 3 過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)畫對角線 把這個(gè)八邊形分割成個(gè)三角形 六 當(dāng)堂練習(xí) 4 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是 A 1800 B 540 C 720 D 810 D 5 一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可引對角線3條 這個(gè)多邊形內(nèi)角和等于 A 360 B 540 C 720 D 900 C 6 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800 截去一個(gè)角后 求得到的多邊形的內(nèi)角和 解 1800 180 10 原多邊形邊數(shù)為10 2 12 一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后 邊數(shù)可能減1 可能不變 也可能加1 新多邊形的邊數(shù)可能是11 12 13 新多邊形的內(nèi)角和可能是1620 1800 1980 能力提升 如圖 求 1 2