數(shù)學(xué)建模 微分方程模型

2傳染病模型 3戰(zhàn)爭模型 4最優(yōu)捕魚問題 1微分方程模型 微分方程模型 1微分方程模型 一 微分方程模型的建模步驟在自然科學(xué)以及工程 經(jīng)濟(jì) 醫(yī)學(xué) 體育 生物 社會等學(xué)科中的許多系統(tǒng) 有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系 函數(shù)表達(dá)式 但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式 這時(shí)往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng) 即建立微分方程模型 我們以一個(gè)例子來說明建立微分方程模型的基本步驟 例1某人的食量是10467 焦 天 其中5038 焦 天 用于基本的新陳代謝 即自動消耗 在健身訓(xùn)練中 他所消耗的熱量大約是69 焦 公斤 天 乘以他的體重 公斤 假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100 地有效 而1公斤脂肪含熱量41868 焦 試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律 模型分析在問題中并未出現(xiàn) 變化率 導(dǎo)數(shù) 這樣的關(guān)鍵詞 但要尋找的是體重 記為W 關(guān)于時(shí)間t的函數(shù) 如果我們把體重W看作是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù) 我們就能找到一個(gè)含有的微分方程 模型假設(shè)1 以W t 表示t時(shí)刻某人的體重 并設(shè)一天開始時(shí)人的體重為W0 2 體重的變化是一個(gè)漸變的過程 因此可認(rèn)為W t 是關(guān)于連續(xù)t而且充分光滑的 3 體重的變化等于輸入與輸出之差 其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收 輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗 模型建立問題中所涉及的時(shí)間僅僅是 每天 由此 對于 每天 體重的變化 輸入 輸出 由于考慮的是體重隨時(shí)間的變化情況 因此 可得體重的變化 天 輸入 天 輸出 天 代入具體的數(shù)值 得輸入 天 10467 焦 天 5038 焦 天 5429 焦 天 輸出 天 69 焦 公斤 天 公斤 69 焦 天 體重的變化 天 W t 公斤 天 當(dāng) t 0時(shí) 它等于dW dt 考慮單位的匹配 利用 公斤 天 焦 每天 41868 焦 公斤 可建立如下微分方程模型 模型求解用變量分離法求解 模型方程等價(jià)于積分得 從而求得模型解就描述了此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律 現(xiàn)在我們再來考慮一下 此人的體重會達(dá)到平衡嗎 顯然由W的表達(dá)式 當(dāng)t 時(shí) 體重有穩(wěn)定值W 81 我們也可以直接由模型方程來回答這個(gè)問題 在平衡狀態(tài)下 W是不發(fā)生變化的 所以這就非常直接地給出了W平衡 81 所以 如果我們需要知道的僅僅是這個(gè)平衡值 就不必去求解微分方程了 至此 問題已基本上得以解決 一般地 建立微分方程模型 其方法可歸納為 1 根據(jù)規(guī)律列方程 利用數(shù)學(xué) 力學(xué) 物理 化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律和定律 如牛頓運(yùn)動定律 物質(zhì)放射性的規(guī)律 曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分方程模型 3 模擬近似法 在生物 經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中 許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚 即使有所了解也是極其復(fù)雜的 常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型 建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象 這個(gè)過程是近似的 用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上去求解或分析解的性質(zhì) 再去同實(shí)際情況對比 看這個(gè)微分方程模型能否刻劃 模擬 近似某些實(shí)際現(xiàn)象 本章將結(jié)合例子討論幾個(gè)不同領(lǐng)域中微分方程模型的建模方法 2傳染病模型 問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律 用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù) 病人 i t 每個(gè)病人每天有效接觸 足以使人致病 人數(shù)為 模型1 假設(shè) 若有效接觸的是病人 則不能使病人數(shù)增加 建模 模型2 區(qū)分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)N不變 病人和健康人的比例分別為 2 每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為 且使接觸的健康人致病 建模 日接觸率 SI模型 模型2 tm 傳染病高潮到來時(shí)刻 日接觸率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 模型3 傳染病無免疫性 病人治愈成為健康人 健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS模型 3 病人每天治愈的比例為 日治愈率 建模 日接觸率 1 感染期 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù) 稱為接觸數(shù) 模型3 接觸數(shù) 1 閾值 感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 模型2 SI模型 如何看作模型3 SIS模型 的特例 模型4 傳染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系統(tǒng) 稱移出者 SIR模型 假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)N不變 病人 健康人和移出者的比例分別為 2 病人的日接觸率 日治愈率 接觸數(shù) 建模 需建立的兩個(gè)方程 模型4 SIR模型 模型4 SIR模型 相軌線的定義域 在D內(nèi)作相軌線的圖形 進(jìn)行分析 模型4 SIR模型 相軌線及其分析 s t 單調(diào)減 相軌線的方向 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 單調(diào)降至0 1 閾值 模型4 SIR模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段 日接觸率 衛(wèi)生水平 日治愈率 醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件 s0 1 的估計(jì) 降低s0 提高r0 提高閾值1 模型4 SIR模型 被傳染人數(shù)的估計(jì) 記被傳染人數(shù)比例 小 s0 1 提高閾值1 降低被傳染人數(shù)比例x s0 1 戰(zhàn)爭分類 正規(guī)戰(zhàn)爭 游擊戰(zhàn)爭 混合戰(zhàn)爭 只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱 兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少 因增援而增加 戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān) 建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例 第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型 3戰(zhàn)爭模型 一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為u t v t f g取決于戰(zhàn)爭類型 x t 甲方兵力 y t 乙方兵力 模型假設(shè) 模型 正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力 雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn) 忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援 f x y ay a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率 a rypy ry 射擊率 py 命中率 正規(guī)戰(zhàn)爭模型 為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局 不求x t y t 而在相平面上討論x與y的關(guān)系 平方律模型 游擊戰(zhàn)爭模型 雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 f x y cxy c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率 c rypyry 射擊率py 命中率 游擊戰(zhàn)爭模型 線性律模型 混合戰(zhàn)爭模型 甲方為游擊部隊(duì) 乙方為正規(guī)部隊(duì) 乙方必須10倍于甲方的兵力 設(shè)x0 100 rx ry 1 2 px 0 1 sx 1 km2 sry 1 m2 再生資源 漁業(yè) 林業(yè)等 與非再生資源 礦業(yè)等 再生資源應(yīng)適度開發(fā) 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益 問題及分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳 如果使捕撈量等于自然增長量 漁場魚量將保持不變 則捕撈量穩(wěn)定 背景 4最優(yōu)捕魚問題 產(chǎn)量模型 假設(shè) 無捕撈時(shí)魚的自然增長服從Logistic規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 不需要求解x t 只需知道x t 穩(wěn)定的條件 r 固有增長率 N 最大魚量 h x Ex E 捕撈強(qiáng)度 x t 漁場魚量 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 一階非線性 自治 方程 F x 0的根x0 微分方程的平衡點(diǎn) 不求x t 判斷x0穩(wěn)定性的方法 直接法 1 的近似線性方程 產(chǎn)量模型 穩(wěn)定性判斷 x0穩(wěn)定 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1穩(wěn)定 漁場干枯 E 捕撈強(qiáng)度 r 固有增長率 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 P的橫坐標(biāo)x0 平衡點(diǎn) P的縱坐標(biāo)h 產(chǎn)量 產(chǎn)量最大 控制漁場魚量為最大魚量的一半 效益模型 假設(shè)