華南理工大學(xué)版微積分下課件32.doc

第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)及其判別法一、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列，如果是有界的則一定存在極限（單調(diào)有界準(zhǔn)則）定理1：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界。定理2：（比較判別法）設(shè)級(jí)數(shù)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，若級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)也收斂；若級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)也發(fā)散。證明：設(shè)收斂于，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，則有 由定理1可得所需結(jié)論。推論1：設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，且存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有則級(jí)數(shù)收斂；如果級(jí)數(shù)發(fā)散，且存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有則級(jí)數(shù)發(fā)散；例5：討論級(jí)數(shù)的斂散性（）解：設(shè)，則由比較判別法，級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同斂散。我們考慮級(jí)數(shù)，其部分和當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。例6：證明收斂。解：因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂，由比較判別法級(jí)數(shù)收斂。定理3：（比較判別法極限形式）設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證明：由極限定義，取，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有由推論1可的所需結(jié)論。例7：判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)椋?jí)數(shù)發(fā)散所以級(jí)數(shù)發(fā)散。例8：判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?，?jí)數(shù)收斂所以級(jí)數(shù)收斂。定理4：（比值判別法）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比值的極限等于，即1）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂； 2）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； 3）當(dāng)時(shí)不能確定。證明：1）如果，由極限的定義，取適當(dāng)使得（無(wú)妨設(shè)），存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有由比較判別法得收斂。1） 如果，自己證明。3）由調(diào)和級(jí)數(shù)與例8說(shuō)明。例9：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散。例10：證明級(jí)數(shù)是收斂的。解：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂。例11：判別級(jí)數(shù)的斂散性解：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂。定理5：（根式判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則1）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂； 2）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；3）當(dāng)時(shí)不能確定。證明：1）如果，取適當(dāng)使得（無(wú)妨設(shè)），存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有由比較判別法得收斂。例12：判別級(jí)數(shù)的斂散性。解： 因?yàn)橛懈脚袆e法級(jí)數(shù)收斂。二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法級(jí)數(shù)中如果含有無(wú)限項(xiàng)正項(xiàng)和無(wú)限項(xiàng)負(fù)項(xiàng)，則稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。各項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)，叫交錯(cuò)級(jí)數(shù)。如是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理6：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件1） 2）則級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值證明：由單調(diào)有界準(zhǔn)則：，又因?yàn)?，所?三、 絕對(duì)收斂和條件收斂定理7：如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。證明：設(shè)，但注：逆定理不成立。如定義：對(duì)于一般的級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)收斂則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)發(fā)散而級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂。例12：判別級(jí)數(shù)的斂散性。（絕對(duì)收斂）解： 先考慮級(jí)數(shù)的斂散性，因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，由比較判別法收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。例13：判別級(jí)數(shù)的斂散性。（發(fā)