高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)I 2.8 函數(shù)與方程課件 理.ppt

2 8函數(shù)與方程 基礎(chǔ)知識自主學習 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學習 1 函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y f x x d 把使的實數(shù)x叫做函數(shù)y f x x d 的零點 2 幾個等價關(guān)系方程f x 0有實數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與有交點 函數(shù)y f x 有 3 函數(shù)零點的判定 零點存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有 那么 函數(shù)y f x 在區(qū)間內(nèi)有零點 即存在c a b 使得 這個也就是方程f x 0的根 1 函數(shù)的零點 知識梳理 f x 0 x軸 零點 f a f b 0 a b f c 0 c 對于在區(qū)間 a b 上連續(xù)不斷且的函數(shù)y f x 通過不斷地把函數(shù)f x 的零點所在的區(qū)間 使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 進而得到零點近似值的方法叫做二分法 2 二分法 f a f b 0 一分為二 零點 3 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與零點的關(guān)系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 1 有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論 1 若連續(xù)不斷的函數(shù)f x 在定義域上是單調(diào)函數(shù) 則f x 至多有一個零點 2 連續(xù)不斷的函數(shù) 其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號 3 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時 函數(shù)值可能變號 也可能不變號 2 三個等價關(guān)系方程f x 0有實數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與x軸有交點 函數(shù)y f x 有零點 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點 2 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 函數(shù)圖象連續(xù)不斷 則f a f b 0 3 只要函數(shù)有零點 我們就可以用二分法求出零點的近似值 4 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0時沒有零點 5 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)且f a f b 0 則函數(shù)f x 在 a b 上有且只有一個零點 1 教材改編 函數(shù)的零點個數(shù)為a 0b 1c 2d 3 考點自測 答案 解析 f x 是增函數(shù) 又f 0 1 f 1 f 0 f 1 0 f x 有且只有一個零點 2 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又存在零點的是a y cosxb y sinxc y lnxd y x2 1 答案 解析 由于y sinx是奇函數(shù) y lnx是非奇非偶函數(shù) y x2 1是偶函數(shù)但沒有零點 只有y cosx是偶函數(shù)又有零點 3 2016 吉林長春檢測 函數(shù)f x lnx x 2的零點所在的區(qū)間是a 1 b 1 2 c 2 e d e 3 答案 解析 所以f 2 f e 0 4 函數(shù)f x 2x log0 5x 1的零點個數(shù)為 答案 解析 2 由圖象知兩函數(shù)圖象有2個交點 故函數(shù)f x 有2個零點 5 函數(shù)f x ax 1 2a在區(qū)間 1 1 上存在一個零點 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 函數(shù)f x 的圖象為直線 由題意可得f 1 f 1 0 題型分類深度剖析 題型一函數(shù)零點的確定 命題點1確定函數(shù)零點所在區(qū)間例1 1 2017 長沙調(diào)研 已知函數(shù)f x lnx 的零點為x0 則x0所在的區(qū)間是a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 答案 解析 x0 2 3 故選c 2 2016 濟南模擬 設(shè)函數(shù)y x3與y x 2的圖象的交點為 x0 y0 若x0 n n 1 n n 則x0所在的區(qū)間是 答案 解析 1 2 易知f x 為增函數(shù) 且f 1 0 x0所在的區(qū)間是 1 2 命題點2函數(shù)零點個數(shù)的判斷 答案 解析 例2 1 函數(shù)f x 的零點個數(shù)是 2 當x 0時 令x2 2 0 解得x 正根舍去 所以在 0 上有一個零點 當x 0時 f x 2 0恒成立 所以f x 在 0 上是增函數(shù) 又因為f 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一個零點 綜上 函數(shù)f x 的零點個數(shù)為2 2 若定義在r上的偶函數(shù)f x 滿足f x 2 f x 當x 0 1 時 f x x 則函數(shù)y f x log3 x 的零點個數(shù)是a 多于4b 4c 3d 2 答案 解析 由題意知 f x 是周期為2的偶函數(shù) 在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y f x 及y log3 x 的圖象 如圖 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點 即函數(shù)y f x log3 x 有4個零點 思維升華 1 確定函數(shù)零點所在區(qū)間 可利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法 2 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 解方程法 零點存在性定理 結(jié)合函數(shù)的性質(zhì) 數(shù)形結(jié)合法 轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù) 跟蹤訓練1 1 已知函數(shù)f x log2x 在下列區(qū)間中 包含f x 零點的區(qū)間是a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 答案 解析 因為f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 所以函數(shù)f x 的零點所在區(qū)間為 2 4 2 函數(shù)f x xcosx2在區(qū)間 0 4 上的零點個數(shù)為a 4b 5c 6d 7 答案 解析 由f x xcosx2 0 得x 0或cosx2 0 又x 0 4 所以x2 0 16 由于cos k 0 k z 而在 k k z 的所有取值中 故零點個數(shù)為1 5 6 題型二函數(shù)零點的應用 例3 1 函數(shù)f x 2x a的一個零點在區(qū)間 1 2 內(nèi) 則實數(shù)a的取值范圍是a 1 3 b 1 2 c 0 3 d 0 2 答案 解析 因為函數(shù)f x 2x a在區(qū)間 1 2 上單調(diào)遞增 又函數(shù)f x 2x a的一個零點在區(qū)間 1 2 內(nèi) 則有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 所以0 a 3 2 已知函數(shù)f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4個互異的實數(shù)根 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 0 1 9 設(shè)y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐標系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的圖象如圖所示 由圖可知f x a x 1 0有4個互異的實數(shù)根等價于y1 x2 3x 與y2 a x 1 的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1 消去y得x2 3 a x a 0有兩個不等實根 所以 3 a 2 4a 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由圖象得a 0 09 幾何畫板展示 引申探究 本例 2 中 若f x a恰有四個互異的實數(shù)根 則a的取值范圍是 答案 解析 作出y1 x2 3x y2 a的圖象如右 當x 0或x 3時 y1 0 思維升華 已知函數(shù)零點情況求參數(shù)的步驟及方法 1 步驟 判斷函數(shù)的單調(diào)性 利用零點存在性定理 得到參數(shù)所滿足的不等式 組 解不等式 組 即得參數(shù)的取值范圍 2 方法 常利用數(shù)形結(jié)合法 跟蹤訓練2 1 2016 棗莊模擬 已知函數(shù)f x x2 x a a 0 在區(qū)間 0 1 上有零點 則a的取值范圍為 答案 解析 2 0 a x2 x在 0 1 上有解 函數(shù)y x2 x x 0 1 的值域為 0 2 0 a 2 2 a 0 2 2015 湖南 若函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 則實數(shù)b的取值范圍是 答案 解析 0 2 由f x 2x 2 b 0 得 2x 2 b 在同一平面直角坐標系中畫出y 2x 2 與y b的圖象 如圖所示 則當0 b 2時 兩函數(shù)圖象有兩個交點 從而函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 幾何畫板展示 題型三二次函數(shù)的零點問題 例4已知f x x2 a2 1 x a 2 的一個零點比1大 一個零點比1小 求實數(shù)a的取值范圍 解答 方法一設(shè)方程x2 a2 1 x a 2 0的兩根分別為x1 x2 x1 x2 則 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根與系數(shù)的關(guān)系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二函數(shù)圖象大致如圖 則有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 故實數(shù)a的取值范圍是 2 1 思維升華 解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題 1 利用一元二次方程的求根公式 2 利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系 3 利用二次函數(shù)的圖象列不等式組 跟蹤訓練3 2016 臨沂一模 若函數(shù)f x m 2 x2 mx 2m 1 的兩個零點分別在區(qū)間 1 0 和區(qū)間 1 2 內(nèi) 則m的取值范圍是 答案 解析 典例 1 若函數(shù)f x ax x a a 0且a 1 有兩個零點 則實數(shù)a的取值范圍是 2 若關(guān)于x的方程22x 2xa a 1 0有實根 則實數(shù)a的取值范圍為 1 利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點問題 思想與方法系列4 答案 解析 思想方法指導 1 函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù) 利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍 2 a f x 有解 型問題 可以通過求函數(shù)y f x 的值域解決 幾何畫板展示 1 函數(shù)f x ax x a a 0且a 1 有兩個零點 即方程ax x a 0有兩個根 即函數(shù)y ax與函數(shù)y x a的圖象有兩個交點 當0 a 1時 圖象如圖 所示 此時只有一個交點 當a 1時 圖象如圖 所示 此時有兩個交點 實數(shù)a的取值范圍為 1 返回 課時作業(yè) 1 設(shè)f x lnx x 2 則函數(shù)f x 的零點所在的區(qū)間為a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f 1 ln1 1 2 10 f 1 f 2 0 函數(shù)f x lnx x 2的圖象是連續(xù)的 f x 的零點所在的區(qū)間是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 濰坊模擬 已知函數(shù)則函數(shù)f x 的零點為 當x 1時 由f x 2x 1 0 解得x 0 又因為x 1 所以此時方程無解 綜上 函數(shù)f x 的零點只有0 故選d 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知三個函數(shù)f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零點依次為a b c 則a a b cb a c bc b a cd c a b 答案 解析 故f x 2x x的零點a 1 0 g 2 0 g x 的零點b 2 方法二由f x 0得2x x 由h x 0得log2x x 作出函數(shù)y 2x y log2x和y x的圖象 如圖 由圖象易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的個數(shù)是a 1b 2c 3d 4 答案 解析 數(shù)形結(jié)合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的圖象如圖 y x2 2x 的圖象與y a2 1的圖象總有兩個交點 5 已知函數(shù)則使方程x f x m有解的實數(shù)m的取值范圍是a 1 2 b 2 c 1 2 d 1 2 答案 解析 當x 0時 x f x m 即x 1 m 解得m 1 當x 0時 x f x m 即x m 解得m 2 即實數(shù)m的取值范圍是 1 2 故選d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知x r 符號 x 表示不超過x的最大整數(shù) 若函數(shù)f x a x 0 有且僅有3個零點 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若函數(shù)f x x2 ax b的兩個零點是 2和3 則不等式af 2x 0的解集是 答案 解析 f x x2 ax b的兩個零點是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的兩根 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知函數(shù)若存在實數(shù)b 使函數(shù)g x f x b有兩個零點 則a的取值范圍是 答案 解析 0 1 令 x x3 x a h x x2 x a 函數(shù)g x f x b有兩個零點 即函數(shù)y f x 的圖象與直線y b有兩個交點 結(jié)合圖象 圖略 可得ah a 即aa2 解得a1 故a 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因為函數(shù)f x 在r上單調(diào)遞減 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 衡水期中 若a 1 設(shè)函數(shù)f x ax x 4的零點為m 函數(shù)g x logax x 4的零點為n 則的最小值為 答案 解析 1 設(shè)f x ax g x logax h x 4 x 則h x 與f x g x 的交點a b橫坐標分別為m n m 0 n 0 因為f x 與g x 關(guān)于直線y x對稱 所以a b兩點關(guān)于直線y x對稱 又因為y x和h x 4 x交點的橫坐標為2 所以m n 4 又m 0 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 作出函數(shù)f x 的圖象 如圖所示 故f x 在 0 1 上是減函數(shù) 而在 1 上是增函數(shù) 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若方程f x m有兩個不相等的正根 求m的取值范圍 解答 由函數(shù)f x 的圖