高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（第2課時(shí)）數(shù)列的通項(xiàng)與遞推公式學(xué)案新人教A版.docx

第2課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)與遞推公式學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解遞推公式的含義(重點(diǎn)).2.掌握遞推公式的應(yīng)用(難點(diǎn)).3.會(huì)求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)(易錯(cuò)點(diǎn))1.借助利用數(shù)列的遞推公式求具體項(xiàng)或求通項(xiàng)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).2.借助數(shù)列最大(小)項(xiàng)的求法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1數(shù)列遞推公式(1)兩個(gè)條件：已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示(2)結(jié)論：具備以上兩個(gè)條件的公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式思考：所有數(shù)列都有遞推公式嗎？提示不一定例如精確到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列數(shù)：1，1.4，1.41，1.414，沒(méi)有遞推公式2數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式思考：僅由數(shù)列an的關(guān)系式anan12(n2，nN*)就能確定這個(gè)數(shù)列嗎？提示不能數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無(wú)初始值，那么這個(gè)數(shù)列是不能確定的1符合遞推關(guān)系式anan1的數(shù)列是()A1，2，3，4，B1, ，2，2，C，2, ，2，D0, ，2，2，答案B2數(shù)列an中，an1an2an，a12，a25，則a5()A3 B11 C5 D19Da3a2a1527，a4a3a27512，a5a4a312719，故選D.3已知a11，an1(n2)，則a5_a21112，a311，a411，a511.4數(shù)列an中，若an1ann0，則a2 018a2 017_2 017由an1ann，得a2 018a2 0172 017.由遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)【例1】已知數(shù)列an中，a11，a22，以后各項(xiàng)由anan1an2(n3)給出(1)寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)通過(guò)公式bn構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列bn，寫(xiě)出數(shù)列bn的前4項(xiàng)解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故數(shù)列an的前5項(xiàng)依次為a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4項(xiàng)依次為b1，b2，b3，b4.由遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)的方法(1)根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可(2)若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式，如an2an11.(3)若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式，如an1.1已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a11，以后的各項(xiàng)由公式an1給出，試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1，.數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的求法【例2】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n1)，試問(wèn)數(shù)列an有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由思路探究：an1an等于多少？n為何值時(shí)，an1an0？an1an0?解法一：(單調(diào)性法)an1an(n2)(n1)，當(dāng)n0，即an9時(shí)，an1anan1；故a1a2a3a11a12，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9、10項(xiàng)，且a9a10.法二：(最大項(xiàng)法)設(shè)ak是數(shù)列an的最大項(xiàng)則即整理得得9k10，k9或10，即數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a9a10.求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；如本題利用差值比較法來(lái)探討數(shù)列的單調(diào)性，以此求解最大項(xiàng)二是設(shè)ak是最大項(xiàng)，則有對(duì)任意的kN*且k2都成立，解不等式組即可2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann25n4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2，3，數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)(2)法一：ann25n4，可知對(duì)稱(chēng)軸方程為n2.5.又nN*，故n2或3時(shí)，an有最小值，且a2a3，其最小值為225242.法二：設(shè)第n項(xiàng)最小，由得解這個(gè)不等式組，得2n3，n2或3，a2a3且最小a2a3225242.由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式探究問(wèn)題1某劇場(chǎng)有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，滿(mǎn)足a120，an1an2，你能歸納出數(shù)列an的通項(xiàng)公式嗎？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各項(xiàng)歸納可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN*，n30)2對(duì)于任意數(shù)列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立嗎？若數(shù)列an滿(mǎn)足：a11，an1an2，你能求出它的通項(xiàng)an嗎？提示等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若數(shù)列an中的各項(xiàng)均不為0，等式a1an成立嗎？若數(shù)列an滿(mǎn)足：a13，2，則它的通項(xiàng)an是什么？提示等式a1an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，將這些式子兩邊分別相乘可得222.則2n1，所以an32n1(nN*)【例3】(1)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，an1an，nN*，求通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，求通項(xiàng)公式an.思路探究：(1)先將an1an變形為an1an，照此遞推關(guān)系寫(xiě)出前n項(xiàng)中任意相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，這些式子兩邊分別相加即可求解(2)先將anan1(n2)變形為，按此遞推關(guān)系，寫(xiě)出所有前后兩項(xiàng)滿(mǎn)足的關(guān)系，兩邊分別相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana1(1)()()1.an11，an(n2)又n1時(shí)，a11，符合上式，an(nN*)(2)a11，anan1(n2)，ana11.又n1時(shí)，a11，符合上式，an(nN*)1(變條件)將例題(2)中的條件“a11，anan1(n2)”變?yōu)椤癮12，an13an(nN*)”寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)，猜想an并加以證明解由a12，an13an，得：a23a132，a33a2332322，a43a33322332，a53a43332342，猜想：an23n1，證明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.將上面的n1個(gè)式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.2將例題(1)中的條件“a11，an1an，nN*”變?yōu)椤癮1，anan1an1an(n2)”求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解anan1an1an，1.2n1.n1，an.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an1anf(n)或an1g(n)an，則可以分別通過(guò)累加或累乘法求得通項(xiàng)公式，即：(1)累加法：當(dāng)anan1f(n)時(shí)，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通項(xiàng)公式(2)累乘法：當(dāng)g(n)時(shí)，常用ana1求通項(xiàng)公式1an與an是不同的兩種表示，an表示數(shù)列a1，a2，an，是數(shù)列的一種簡(jiǎn)記形式而an只表示數(shù)列an的第n項(xiàng)，an與an是“個(gè)體”與“整體”的從屬關(guān)系2數(shù)列的表示方法(1)圖象法；(2)列表法；(3)通項(xiàng)公式法；(4)遞推公式法3通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別：通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體的n值，就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列an與n之間關(guān)系的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.1判斷正誤(1)根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng)()(2)有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)()(3)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法()(4)所有的數(shù)列都有遞推公式()答案(1)(2)(3)(4)提示并不是所有的數(shù)列都有遞推公式，如的精確值就沒(méi)有遞推公式2數(shù)列2，4，6，8，10，的遞推公式是()Aanan12(n2)Ban2an1(n2)Ca12，anan12(n2)Da12，an2an1(n2)CA，B中沒(méi)有說(shuō)明某一項(xiàng)，無(wú)法遞推，D中a12，a24，a38，不合題意3數(shù)列an中，an，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是()Aa1，a50Ba1，a44Ca45，a44Da45，a50Can1.當(dāng)n1，44且nN*時(shí)，an單調(diào)遞減，當(dāng)n45