微分幾何§6曲面上的測地線

6 1曲面上曲線的測地曲率曲面上曲線C在其上一點(diǎn)P曲率向量在上的投影稱為C在P點(diǎn)的測地曲率 有 命題1 6曲面上的測地線 曲面上曲線C的 在n的投影為若記 考慮在上投影即測地曲率 n 可證 命題2曲面S上的曲線C 它在點(diǎn)P的測地曲率的絕對值等于C在點(diǎn)P的切平面上的正投影曲線的曲率 這是測地曲率的幾何意義 證 曲線C和C 組成的曲面是射影柱面 記為S S 在P的切平面由 下面給出測地曲率的一般計(jì)算公式設(shè)曲面曲線其中s是自然參數(shù) 有 代入有 當(dāng)曲面上的坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)時(shí) 公式化簡為 這個(gè)測地曲率的計(jì)算公式還是不實(shí)用 若再令曲線的切方向和的夾角為 注意到 這個(gè)公式稱為劉維爾公式 再求二階導(dǎo)數(shù)有 代入上頁公式有 命題1曲面上非直線的曲線是測地線的充要條件是除了曲率為零的點(diǎn)以外 曲線的主法線重合于曲面的法線 6 2 曲面上的測地線曲面上的一條曲線 如果它的一點(diǎn)處的測地曲率為零 則稱為測地線 顯然曲面上的直線是測地線 顯然球面上的大圓是測地線 因?yàn)?因?yàn)?從而有方程 因?yàn)?這就是測地線方程 由上一節(jié)介紹的劉維爾公式也可以得到曲面 上的坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)時(shí) 曲面上測地線的方程 由劉維爾公式令 0 即有 由此在給出初始條件下可求測地線惟一的解 代入測地線的方程得 即是平面上的直線 例 利用劉維爾公式證明 平面上的測地線為直線證明 對于平面 命題2過曲面上任一點(diǎn) 給定一個(gè)曲面的切方向 則存在唯一一條測地線切于此方向 測地線的存在性 由測地線的微分方程 在初始要件 由微分方程知識知有唯一解 曲面上任一點(diǎn) 給定一個(gè)的切方向 則存在唯一一條測地線切于此方向 6 3 曲面上的半測地坐標(biāo)網(wǎng) 曲面上的一個(gè)坐標(biāo)網(wǎng) 其中一族是測地線 另一的族是測地線的正交軌線 則這個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)稱半測地坐標(biāo)網(wǎng) 定理 給出曲面上一條曲線 則總存在一個(gè)半測地坐標(biāo)網(wǎng) 它的非測地坐標(biāo)曲線族中包含給定的一條曲線 例平面上的極坐標(biāo)系 和直角坐標(biāo)系是半測地網(wǎng) 在曲面上建立半測地坐標(biāo)網(wǎng) 則曲面的第一基本形式可以化簡為 從而使為解題提供方便 6 4 曲面上測地的短程性定理若給出曲面上充分小的鄰域內(nèi)兩點(diǎn)P和Q則過P Q 兩點(diǎn)的小鄰域內(nèi)的測地線是連接P Q兩點(diǎn)上的曲面曲線中弧長最短的曲線 6 5 高斯 波涅公式在曲面上給出一個(gè)由條光滑曲線段所圍成的曲線多邊形 它圍成的一個(gè)單連通區(qū)域 多邊形是區(qū)域的邊緣 記為 設(shè)曲面的高斯曲率和測地曲率分別為 曲面的面積元素和弧長元素分別為 則有以下高斯 波涅公式 其中是曲線多邊形的第個(gè)角 這是三