備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學大一輪復習-熱點聚焦與擴展-專題17-恒成立問題——數(shù)形結(jié)合法.doc

專題17 恒成立問題數(shù)形結(jié)合法【熱點聚焦與擴展】不等式恒成立問題常見處理方法： 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立； 討論參數(shù).1、函數(shù)的不等關(guān)系與圖象特征：（1）若，均有的圖象始終在的下方（2）若，均有的圖象始終在的上方2、在作圖前，可利用不等式的性質(zhì)對恒成立不等式進行變形，轉(zhuǎn)化為兩個可作圖的函數(shù)3、要了解所求參數(shù)在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作圖時可“先靜再動”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖象，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）5、在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備6、什么情況下會考慮到數(shù)形結(jié)合？利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，往往具備以下幾個特點：（1）所給的不等式運用代數(shù)手段變形比較復雜，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖象變換作圖（2）所求的參數(shù)在圖象中具備一定的幾何含義（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征【經(jīng)典例題】例1【2019屆浙江省金華十校4月模擬】若對任意的，存在實數(shù)，使 恒成立，則實數(shù)的最大值為_【答案】9【解析】若對任意的， 恒成立，可得：恒成立，令，原問題等價于：，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)分類討論：(1)當時，原問題等價于存在實數(shù)滿足：，故，解得：，則此時；(2)當時，原問題等價于存在實數(shù)滿足：，原問題等價于存在實數(shù)滿足：，故，解得：，則此時；當時，原問題等價于存在實數(shù)滿足：，故，解得：，則此時；綜上可得：實數(shù)的最大值為.點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.例2.【2019屆一輪訓練】已知log (xy4)4xm3恒成立，則x的取值范圍是_【答案】(，1)(3，)【解析】不等式可化為m(x1)x24x30在0m4時恒成立令f(m)m(x1)x24x3.結(jié)合二次函數(shù)的圖象得即x3.故答案為：(，1)(3，)例5.已知不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】可得：，綜上可得：.【名師點睛】（1）通過常系數(shù)函數(shù)圖象和恒成立不等式判斷出對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進而縮小了參數(shù)討論的取值范圍.（2）學會觀察圖象時要抓住圖象特征并抓住符合條件的關(guān)鍵點（例如本題中的）.（3）處理好邊界值是否能夠取到的問題.例6.若不等式對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖象，扮演的角色為對數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖象進一步可得只需時，即，所以例7. 已知函數(shù)，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】m+1m【名師點睛】本題也可以用最值法求解：若，則，而是開口向上的拋物線，最大值只能在邊界處產(chǎn)生，所以，再解出的范圍即可.例8.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象只有一個交點,則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】或【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,例9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時， ，若，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】是奇函數(shù)且在時是分段函數(shù)（以為界），且形式比較復雜，恒成立的不等式較難轉(zhuǎn)化為具體的不等式，所以不優(yōu)先考慮參變分離或是最值法.從數(shù)形結(jié)合的角度來看，一方面的圖象比較容易作出，另一方面可看作是的圖象向右平移一個單位所得，相當于也有具體的圖象.所以考慮利用圖象尋找滿足的條件.先將寫為分段函數(shù)形式：，作出正半軸圖象后再根據(jù)奇函數(shù)特點，關(guān)于原點對稱作出負半軸圖象.恒成立，意味著的圖象向右平移一個單位后，其圖象恒在的下方.通過觀察可得在平移一個單位至少要平移個長度，所以可得： 答案：.例10【2019屆河南省高三4月考試】已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）上恒成立，時再分兩種情況討論可得時，在上恒成立，當時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得不滿足題意，進而可得結(jié)果.試題解析：（1），在處取到極值，即，.經(jīng)檢驗，時，在處取到極小值.（2），令，當時，在上單調(diào)遞減.又，時，不滿足在上恒成立.時，單調(diào)遞增，.又，故不滿足題意.當時，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.又，時，故不滿足題意.綜上所述，.【精選精練】1【2019屆東莞市高三畢業(yè)班第二次綜合考試】已知函數(shù)若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】C2.若函數(shù)有極大值點和極小值點，則導函數(shù)的大致圖象可能為（ ）A. B. C. D. 【答案】C則導函數(shù)在區(qū)間上為正數(shù)，在區(qū)間上為負數(shù)，在區(qū)間上為正數(shù)；觀察所給的函數(shù)圖象可知，只有C選項符合題意.本題選擇C選項.3已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】二次函數(shù)的對稱軸為；該函數(shù)在上是增函數(shù)；，實數(shù)的取值范圍是，故選B.4. 若,不等式恒成立,則的取值范圍是_【答案】或【解析】思路：本題中已知的范圍求的范圍，故構(gòu)造函數(shù)時可看作關(guān)于的函數(shù)，恒成立不等式變形為 ,設,即關(guān)于的一次函數(shù)，由圖象可得：無論直線方向如何，若要，只需在端點處函數(shù)值均大于0即可，即,解得：或答案：或【名師點睛】（1）對于不等式，每個字母的地位平等，在構(gòu)造函數(shù)時哪個字母的范圍已知，則以該字母作為自變量構(gòu)造函數(shù).（2）線段的圖象特征：若兩個端點均在坐標軸的一側(cè)，則線段上的點與端點同側(cè).（3）對點評（2）的推廣：已知一個函數(shù)連續(xù)且單調(diào)，若兩個端點在坐標軸的一側(cè)，則曲線上所有點均與端點同側(cè).5.設，若時均有，則_【答案】答案： 6.【2019屆二輪訓練】當實數(shù)x，y滿足時，axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】要使平面區(qū)域在直線的下方，則只要在直線上或直線下方即可，即，得，綜上，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為.7【2019屆二輪訓練】已知函數(shù)f1(x)|x1|，f2(x)x1，g(x)，若a，b1,5，且當x1，x2a，b時， 0恒成立，則ba的最大值為_【答案】5【解析】 且 恒成立， 在區(qū)間上單調(diào)第增，函數(shù) 當 時， ，單調(diào)減；當 單調(diào)增；當時， ，單調(diào)遞增 的最大值為故答案為5.8【2019屆吉林省長春市高三監(jiān)測（三）】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】9【2019屆吉林省長春市高三監(jiān)測（三）】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】當，當，故.故答案為：10當時，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是_【答案】3【解析】令，則由題意可知，當且僅當，即時，等號成立，從而故實數(shù)的最大值是故答案為：3.另法：的圖象即函數(shù)的圖象向右、向上均平移1單位得到，結(jié)合圖象可得解.11【2019屆寧夏銀川高三4月模擬】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，給出以下命題：當時，；函數(shù)有個零點；若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是；對恒成立，其中，正確命題的序號是_【答案】若方程有解，則，且對恒成立，故錯誤，正確.故答案為.12函數(shù)的定義域為（為實數(shù)）.（1）若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）若在定義域上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用單調(diào)性的定義，根據(jù)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，可得不等式恒成立，從而可求的取值范圍；（2）利用分離參數(shù)思想原題意等價于恒成立，函數(shù)在上單調(diào)減，時，函數(shù)取得最小值，即. 日月崇拜是原始宗教的重要內(nèi)容之一，中國古代很早就有祭祀日月的宗教禮俗。殷人將日月稱東母與西母，周代依據(jù)日月的時間屬性行朝日夕月的祭禮，“夕月”即秋分日的晚上在西門外祭月。春秋戰(zhàn)國時，日月神被稱為東皇公、西王母。沂南漢畫像石中東王公、西王母分坐在柱收物（昆侖山）上，西王母兩旁跪有搗藥的玉兔，由此可知，晉代郭璞圖贊中“昆侖月精”的說法言之有據(jù)，而后世的月神嫦娥即由西王母演變而來。秦漢時期日月祭祀仍為皇家禮制，此后直至明清歷代都有秋分祭月的禮儀。上古時期祭月列入皇家祀典而例行祭祀后，民間缺少了祭月的消息，這可能與古代社會的神權(quán)控制有關(guān)，像日月這樣的代表陰陽的天地大神，只有皇家才能與之溝通，一般百姓無緣祭享。隋唐以后，隨著天文知識的豐富與文化觀念的進步，人們對月亮有了較理性的認識，月亮的神圣色彩明顯消褪。這時皇家也逐漸失去了對月神祭祀的獨占權(quán)。對一般平民來說，月亮不再是那樣“高不可及”。唐朝雖沒有中秋節(jié)，但唐人精神浪漫，親近自然，中秋賞月已成為文人的時尚，吟詠中秋明月的華章麗句尋?？梢?，如許渾鶴林寺中秋夜玩月云：“中秋云盡出滄海，半夜露寒當碧天。輪彩漸移金殿外，鏡光猶掛玉樓前?！痹谒未星锕?jié)已成為民俗節(jié)日。文人沿襲賞月古風，但其情趣大異于唐人。唐人大多由月亮的清輝聯(lián)想到河山的壯美，友朋千里，邀賞明月，詩酒風流，如白居易八月十五日夜禁中獨直，對月憶元九“三五夜中新月色，二千里外故人心”，就借秋月抒發(fā)了感物懷人的情思。宋人常以月之陰晴圓缺，喻人生變化無常，蘇軾中秋月“暮云收盡溢清寒，銀漢無聲轉(zhuǎn)玉盤。此生此夜不長好，明月明年何處看”就寄托著這種浩嘆。似乎中秋明月的清光，也難掩宋人的感傷。不過對于宋人來說，中秋還有另一種形態(tài)，即世俗的歡愉。北宋東京中秋夜，“貴家結(jié)飾臺榭，民間爭占酒樓玩月”（東京夢華錄）。南宋杭州中秋夜更是熱鬧，在銀蟾光滿之時，王孫公子、富家巨室，莫不登樓，臨軒玩月，酌酒高歌；中小商戶也登上小小月臺，安排家宴，“團圓子女，以酬佳節(jié)”（夢梁錄）；市井貧民“解衣市酒，勉強迎歡，不肯虛度”。團圓是中秋節(jié)俗的中心意義。宋人的團圓意識已與中秋節(jié)令發(fā)生關(guān)聯(lián)，宋代城市居民闔家共賞圓月，就體現(xiàn)了這一倫理因素。明清時期，由于理學的浸染，民間社會鄉(xiāng)族觀念增強，人們對家庭更為依戀，中秋節(jié)正是加強親族聯(lián)系的良機?！爸星锩耖g以月餅相連，取團圓之義”（明代田汝成西湖游覽志奈），月餅在宋代已經(jīng)出現(xiàn)，但以月餅為中秋特色食品及祭月供品的風俗大概始于明朝，小小的月餅在民間生活中作為團圓的象征與聯(lián)系親族情感的信物互相饋送。節(jié)日是日常生活的亮點，節(jié)俗文化是時代精神的聚焦。中秋經(jīng)歷了文人賞月的雅趣，民間拜月的情趣，以及有心吃月餅而無心看月的俗趣，節(jié)俗形態(tài)從古至今發(fā)生了重大變化。一部中秋節(jié)俗形態(tài)演變史，也是一部中國民眾心態(tài)的變遷史。（摘編自蕭放團圓餅與月亮節(jié)中秋節(jié)俗形態(tài)的變遷）1下列關(guān)于原文內(nèi)容的表述，不正確的一項是( )A對于日月，殷人稱東母與西母，春秋戰(zhàn)國時稱東皇公、西王母，漢代稱東王公、西王母，從這些稱呼可以看出，中國古人的日月崇拜有一脈相承之處。B唐宋兩代都有文人賞月的風尚。唐人多借月表達對自然美景的欣賞贊美，體現(xiàn)出詩酒風流的情趣，而宋人常因月抒發(fā)感傷之情。C南宋時的都城杭州，中秋夜熱鬧非凡，不僅富家巨室、中小商戶宴飲賞玩，“以酬佳節(jié)”，連財力匱乏的市井貧民也勉力尋歡，足見中秋在當時已是非常重要的節(jié)日。D中秋的節(jié)俗文化經(jīng)歷了不斷豐富與演變的過程，如宋人賦予中秋節(jié)闔家團圓的意義，明人則將月餅引入中秋節(jié)，作為團圓的象征與聯(lián)系親族感情的信物。2下列理解和分析，不符合原文意思的一項是( )A弦、望、晦、朔是月亮在運行過程中被人觀察到的不同形態(tài)，是中國大多數(shù)節(jié)日設定的基準，如中秋節(jié)的設定就與“望”有關(guān)。B中秋節(jié)源于原始宗教中的月亮崇拜，但形成較晚。唐代文人已有中秋之夜賞月的風尚，到宋代，中秋則成為重要的民俗節(jié)日。C沂南漢畫像石中的西王母為月神，居于昆侖山，后演變?yōu)樵律矜隙?。晉代郭璞圖贊中“昆侖月精”的說法即以此神話為依據(jù)。D唐朝的一般民眾將月亮視為欣賞的對象，而不再覺得它高不可及，這跟天文知識的豐富、文化觀念的進步和皇家喪失對祭月的獨占權(quán)大有關(guān)系，3根據(jù)原文內(nèi)容，下列說法不正確的一項是( )A月為天地大神，在宗教祭祀中地位重要，上古時期統(tǒng)治者獨占祭月權(quán)之后，直至隋唐以前，一般民眾無權(quán)祭月，中國民間也沒有祭月的風俗。B盡管唐宋文人賞月的情趣大異，但白居易八月十五日夜禁中獨直，對月憶元九和蘇軾中秋月都是借月抒懷的感傷之作，表達了對友人的思念之情。C在宋代，中秋已是團圓佳節(jié)，到明清時期，理學的影響增強了民間社會的鄉(xiāng)族觀念和人們對家庭的依戀，于是中秋節(jié)更成為共享天倫與聯(lián)系親族的良機。D中秋節(jié)俗形態(tài)豐富，從文人雅士賞玩明月，到民間闔家團圓共賞明月，再到以月餅相贈加強親族聯(lián)系，這些習俗的演變折射了時代精神的變遷。（二）文學類文本閱讀（14分）閱讀下面的文字，完成4-6題。百年震柳梁衡1920年12月16日，寧夏海原縣發(fā)生了一場全球最大的地震。是日晚8時，風暴大起，四野塵霾，大地顫動，山移、地裂、河斷、城陷。黃土高原經(jīng)這一抖，如骨牌倒地，土塊橫飛。老百姓驚呼：“山走了！”有整座山滑行三四公里者，最大滑坡面積竟毗連三縣，達兩千平方公里。山一倒就瞬間塞河成湖，形成無數(shù)的大小“海子”。地震中心原有一大鹽湖，為西北重要的產(chǎn)鹽之地。湖底突然鼓起一道滾動的陡坎，如有人在湖下推行，竟滴水不漏地將整個湖面向北移了一公里，稱之為“滾湖”。所有的地標都被扭曲、翻騰得面目全非。大地瞬間裂開一條237公里長的大縫，橫貫甘肅、陜西、寧夏。裂縫如閃電過野，利刃破竹，見山裂山，見水斷水，將城池村莊一劈兩半，莊禾田疇被撕為碎片。當這條閃電穿過海原縣的一條山谷時，谷中正有一片旺盛的柳樹，它照樣噼噼啪啪，一路撕了下去。但是沒有想到，這些柔枝弱柳，雖被搖得東倒西歪，斷枝拔根，卻沒有氣絕身死?？裾鹬螅幸豢秒m被撕為兩半，但又挺起身子，頑強地活了下來，至今仍屹立在空谷之中，這就是那棵有名的震柳。 我不知道這株柳，該稱它是一棵還是兩棵。它同根，同干，同樣的樹紋，頭上還枝葉連理。但地震已經(jīng)將它從下一撕為二，現(xiàn)在兩個半邊樹中間可穿行一人，而每一半也都有合抱之粗了。人老看臉，樹老看皮。經(jīng)過百年歲月的煎熬，這樹皮已如老人的皮膚，粗糙，多皺，青筋暴突。紋路之寬可容進一指，東奔西突，似去又回，一如黃土高原上的千溝萬壑。這棵樹已經(jīng)有500年，就是說地震之時它已是400歲的高齡，而大難后至今又過了100歲。 看過樹皮，再看樹干的開裂部分，真讓你心驚肉跳。平常，鋸開一根木頭，無論從哪個方向切入，那剖面上的年輪圖案都幻化無窮，美不勝收，以至于木紋裝飾成了我們生活中不可或缺的風景，木紋之美也成了生命之美的象征。但是現(xiàn)在，面對樹心我找不到一絲的年輪。如同五馬分尸，地裂閃過，先是將樹的老根嘎嘎嘣嘣地扯斷，又從下往上扭裂、撕剝樹皮，然后再將樹心的木