浙江省富陽市大源中學(xué)初中數(shù)學(xué) 興趣活動課 欺騙眼睛的幾何問題課件.ppt

欺騙眼睛的幾何問題 抽屜原理與算命 電腦算命 看起來挺玄乎 只要你報(bào)出自己出生的年 月 日和性別 一按按鍵 屏幕上就會出現(xiàn)所謂性格 命運(yùn)的句子 據(jù)說這就是你的 命 其實(shí)這充其量不過是一種電腦游戲而已 我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說明它的荒謬 抽屜原理又稱鴿籠原理或狄利克雷原理 它是數(shù)學(xué)中證明存在性的一種特殊方法 舉個最簡單的例子 把3個蘋果按任意的方式放入兩個抽屜中 那么一定有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的蘋果 這是因?yàn)槿绻恳粋€抽屜里最多放有一個蘋果 那么兩個抽屜里最多只放有兩個蘋果 運(yùn)用同樣的推理可以得到 原理1把多于n個的物體放到n個抽屜里 則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體 原理2把多于mn個的物體放到n個抽屜里 則至少有一個抽屜里有m 1個或多于m l個的物體 如果以70年計(jì)算 按出生的年 月 日 性別的不同組合數(shù)應(yīng)為70 365 2 51100 我們把它作為 抽屜 數(shù) 我國現(xiàn)有人口11億 我們把它作為 物體 數(shù) 由于1 1 21526 51100 21400 根據(jù)原理2 存在21526個以上的人 盡管他們的出身 經(jīng)歷 天資 機(jī)遇各不相同 但他們卻具有完全相同的 命 這真是荒謬絕倫 在我國古代 早就有人懂得用抽屜原理來揭露生辰八字之謬 如清代陳其元在 庸閑齋筆記 中就寫道 余最不信星命推步之說 以為一時 注 指一個時辰 合兩小時 生一人 一日生十二人 以歲計(jì)之則有四千三百二十人 以一甲子 注 指六十年 計(jì)之 止有二十五萬九千二百人而已 今只以一大郡計(jì) 其戶口之?dāng)?shù)已不下數(shù)十萬人 如咸豐十年杭州府一城八十萬人 則舉天下之大 自王公大人以至小民 何啻億萬萬人 則生時同者必不少矣 其間王公大人始生之時 必有庶民同時而生者 又何貴賤貧富之不同也 在這里 一年按360日計(jì)算 一日又分為十二個時辰 得到的抽屜數(shù)為60 360 12 259200 所謂 電腦算命 不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里 誰要算命 即根據(jù)出生的年月 日 性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦的各個 柜子 里取出所謂命運(yùn)的句子 這種在古代迷信的亡靈上罩上現(xiàn)代科學(xué)光環(huán)的勾當(dāng) 是對科學(xué)的褻瀆 欺騙眼睛的幾何問題 生活中我們常常相信親眼所見 但又常常為自己的眼睛所騙 魔術(shù)就是一個很好的例子 數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù) 請看下面問題1這兩個圖形 如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2 我們將會發(fā)現(xiàn) 與圖1相比 圖2多出了一個洞 這怎么可能呢 理性會提出這樣的疑問 奧妙何在我們姑且按下不表 讓喜歡思考的同學(xué)先動動腦子 我們還是來看一個更簡單的問題2吧 將圖3中面積為13 13 169的正方形裁剪成圖中標(biāo)出的四塊幾何圖形 然后重新拼接成圖 計(jì)算可知長方形的面積為8 21 168 比正方形少了一個單位的面積 真不可思議 這兩個問題是這樣的令人驚奇和難以理解 值得我們花費(fèi)一些時間動手按照所說的剪裁方法做一做 以問題2為例 我們在白紙上將正方形量好畫出 剪成四塊 重新安排后拼成長方形 除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確 我們一般是不會發(fā)現(xiàn)拼接成的長方形在對角線附近發(fā)生了微小的重疊 正是沿對角線的微小重疊導(dǎo)致了一個單位面積的丟失 要證實(shí)這一點(diǎn)我們只要計(jì)算一下長方形對角線的斜率和正方形拼接各片相應(yīng)邊的斜率 比較一下就會清楚了 問題 中涉及到四個數(shù)據(jù)5 8 13和21 有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)會認(rèn)出這是著名的斐波那契數(shù)列中的四項(xiàng) 斐波那契數(shù)列的特征是它的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和 1 1 2 3 5 8 13 21 34 我們還可以使用這個數(shù)列中的其他相鄰四項(xiàng)來試驗(yàn)這個過程 無論選取哪四項(xiàng) 都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長方形的面積是不會相等的 有時正方形的面積比長方形多一個單位面積 有時則正好相反 多做幾次上述實(shí)驗(yàn) 我們就會得出斐波那契數(shù)列的一個重要性質(zhì) 這個數(shù)列任意一項(xiàng)的平方等于它前后相鄰兩項(xiàng)之積加1或減1 用公式表示就是 b2 ac 1 其中b2表示正方形的面積 ac表示長方形的面積 知道了這個事實(shí) 我們就可以自己構(gòu)造類似于問題2的幾何趣題 上面的這個斐波那契數(shù)列是以1 1兩數(shù)開始的 廣義的斐波那契數(shù)列可以從任意兩數(shù)開始 比如說 用廣義斐波那契數(shù)列2 2 4 6 10 16 做上述試驗(yàn) 就會多得或丟失四個單位的面積 如果用a b c表示廣義斐波那契數(shù)列的相鄰三項(xiàng) 以x表示 得 或 失 的數(shù)字 則下列兩式成立 我們還可以來研究這樣一個有趣的問題 把正方形按上述方法剪成四塊 是否會拼接成一個與它面積相等的長方形 要回答這個問題 可以令方程組中的x等于零 再解之得唯一正解是 其中 恰是著名的黃金分割比 通常用來表示 它是一個無理數(shù) 等于1 618033 這就是說 唯一的每項(xiàng)平方等于前后相鄰兩項(xiàng)之積的斐波那契數(shù)列是 1 1 2 3 4 要證明它的確是斐波那契數(shù)列 只要證明它等價于數(shù)列1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 就可以了 只有用這個數(shù)列相鄰項(xiàng)數(shù)表示的長度來分割正方形 才可以拼出面積不變的長方形 我們再回到問題1 題中涉及到的數(shù)據(jù)1 1 2 3 5 8 13恰是斐波那契數(shù)列的前七項(xiàng) 因此問題 實(shí)際上是問題 的一個復(fù)雜化版本 計(jì)算一下圖中兩個大小三角形斜邊的斜率 那么一開始的疑問已不講自明 最后再給喜歡思考的同學(xué)提出一個與前兩個問題略有不同的問題3 圖5這個正方形按圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)分割成了五塊幾何圖形 剪開后重新拼接成圖 奇怪 又多出了一個洞 這次斜線處并無疊合 少掉的一個