組合雜題的故事大字.doc

組合雜題的故事一、組合雜題1已知凸九邊形的任意5個(gè)內(nèi)角的正弦與其余4個(gè)內(nèi)角的余弦之和都等于某個(gè)常數(shù)值若九個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角等于120，試求常數(shù)的值解：九個(gè)內(nèi)角中任意選5個(gè)，記為x1，x2，x3，x4，x5，余下4個(gè)記為y1，y2，y3，y4，由題意，sinx1sinx2sinx3sinx4sinx5cosy1cosy2cosy3cosy4，且siny1sinx2sinx3sinx4sinx5cosx1cosy2cosy3cosy4，所以 sinx1cosy1siny1cosx1，即sinx1cosx1siny1cosy1，所以 sin(x145)sin(y145)，又0x1，y1180，則 y1x1 或y145180(x145)，即y1270x1設(shè)y1120，x1任意，或x1120，y1任意，可知九個(gè)角的度數(shù)只有兩種，120和150， 設(shè)有k個(gè)120，9k個(gè)150，則k120(9k)150(92)180，所以 k3，所以5sin150cos1503cos1201 ABCB1+DD1EC1E1A12如圖已知五邊形A1B1C1D1E1內(nèi)接于邊長為1的正五邊形ABCDE，求證：五邊形A1B1C1D1E1中至少有一條邊長度不小于cos證：假定所有五條邊都小于cos，如圖B1CC 1中，ABCB1+DD1EC1E1A1cuvcos2c2= x2+y22xycos=x2+y2+2xycos=(x+y)22xy(1cos)=(x+y)24xysin2(x+y)2(x+y)2sin2=(x+y)2cos2，即x+y1，由此可以推得正五邊形的周長小于5，與題設(shè)矛盾3已知一凸n邊形的任意相鄰兩個(gè)內(nèi)角的差都是20試求n的最大值(2014年江蘇)解：(1)證明n為偶數(shù)記凸n邊形為A1A2An，則A2A120，A3A220A12020，AkA12012020A1pk20qk20，其中pk為“”號(hào)的個(gè)數(shù)，qk為“”的個(gè)數(shù)，且pkqkk1令kn1，即知An+1A1pn+120qn+120A1pn+120(npn+1)20A1，得pn+1npn+1，即n2pn+1，所以n為偶數(shù) (2)證明n34設(shè)n個(gè)內(nèi)角中最大的為x，則所有內(nèi)角中至少還應(yīng)包括另一角x20，且所有內(nèi)角中任意相鄰的兩角不相同，且其和不超過2x20，即平均不超過x10，故有(n2)180A1A2Ann(x10)，nx(n2)180n10因?yàn)閤180，所以n180nx(n2)180n10，從而n36，又因?yàn)閚為偶數(shù)，所以n34 (3)證明n=34能取到不妨設(shè)凸34邊形內(nèi)角中只有兩個(gè)值x和x20，它們相間出現(xiàn)，各為一半，有17(2x20)32180，x180x200，知存在滿足條件的凸34邊形由(1)(2)(3)可知，n的最大值為34二、組合概念簡述組合：把一些對象(元素)按要求構(gòu)成整體(集合)叫做組合大多數(shù)雜題均可以歸結(jié)為組合問題組合問題：(1)存在性問題；(2)構(gòu)造方法；(3)計(jì)數(shù)問題；(4)最優(yōu)化問題研究思路：基礎(chǔ)知識(shí)；基本常識(shí)；基本原理；常規(guī)方法難點(diǎn)：解題思路的探求；情境轉(zhuǎn)化推理論證的表述三、組合試題的故事1任意六個(gè)人，他們每兩個(gè)人之間要么相互認(rèn)識(shí)，要么相互不認(rèn)識(shí)證明：(1)必定存在三個(gè)人，他們之間兩兩都認(rèn)識(shí)或者兩兩都不認(rèn)識(shí)；(2)必定存在兩個(gè)三人組，每個(gè)三人組中，兩兩都認(rèn)識(shí)或者兩兩都不認(rèn)識(shí)2對平面上的每個(gè)點(diǎn)染紅色或藍(lán)色證明：存在同色的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形，其三邊長分別為1，2，(泰國2013) CBDOAFEBADGABCFEDG3平面上每個(gè)點(diǎn)染紅色或藍(lán)色證明：存在兩個(gè)三角形相似，相似比為2015，且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色4在正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上各停有一只喜鵲偶受驚嚇，眾喜鵲都飛去一段時(shí)間后，它們又都回到這些頂點(diǎn)上，仍是每個(gè)頂點(diǎn)上一只，但未必都回到原來的頂點(diǎn)求所有正整數(shù)n，使得一定存在3只喜鵲，以它們前后所在的頂點(diǎn)分別形成的三角形或同為銳角三角形，或同為直角三角形，或同為鈍角三角形5男女學(xué)生共n人圍坐一圓桌，規(guī)定相鄰為同性時(shí)兩人中間插一枝紅花，異性時(shí)兩人中間插一枝藍(lán)花結(jié)果發(fā)現(xiàn)所插紅花與藍(lán)花數(shù)目一樣證明：n一定是4的倍數(shù) 分析： 先走一步，簡化問題，設(shè)紅花k枝，則藍(lán)花k枝，人和花一樣多，n=2k； 6S是由在同一條直線上6n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)集合，隨機(jī)地選擇其中的4n個(gè)點(diǎn)染成藍(lán)色，其余2n個(gè)染成綠色證明：存在一條線段，使其包含S中的3n個(gè)點(diǎn)，其中2n個(gè)點(diǎn)位藍(lán)色，n個(gè)點(diǎn)為綠色 四、閱讀例將每一個(gè)整數(shù)染成紅色或藍(lán)色已知對于任意一個(gè)有限的連續(xù)整數(shù)集A，紅色整數(shù)個(gè)數(shù)與藍(lán)色整數(shù)個(gè)數(shù)之差的絕對值不大于1000證明：存在一個(gè)滿足上述條件且由2000個(gè)連續(xù)整數(shù)組成的集合A，使得紅色整數(shù)和藍(lán)色整數(shù)各1000個(gè)(意大利2013)分析：每一個(gè)整數(shù)都染色了，且對于任意有限的連續(xù)整數(shù)集A，紅色整數(shù)個(gè)數(shù)與藍(lán)色整數(shù)個(gè)數(shù)之差的絕對值不大于1000 數(shù)集1，2，3，2000中紅色的數(shù)r1個(gè)，藍(lán)色的數(shù)b1個(gè)，|r1b1|1000，我們關(guān)心有沒有b1=1000？r1=1000？ 數(shù)集2，3，2000，2001中紅色的數(shù)r2個(gè)，藍(lán)色的數(shù)b2個(gè)，|r2b2|1000；我們關(guān)心有沒有b2=1000？r2=1000？數(shù)集3，4，2001，2002中紅色的數(shù)r3個(gè)，藍(lán)色的數(shù)b3個(gè)，|r3b3|1000；我們關(guān)心有沒有b3=1000？r3=1000？數(shù)集k，k+1，k+2，k+3，k+1999中紅色的數(shù)rk個(gè)，藍(lán)色的數(shù)bk個(gè)，|rkbk|1000；證明存在bk=1000！rk=1000！個(gè)體中無線索，整體觀察有玄機(jī)！解：設(shè)數(shù)集k，k+1，k+2，k+3，k+1999中紅色的數(shù)恰有rk個(gè)，若r1=1000，則數(shù)集1，2，3，2000即為所求；若r11000，則r1999，假定rk999，k=1,2,，1000001，則r1+ r2001+ r4001+ r1000001999501，在數(shù)集1，2，3，1002000中，藍(lán)色的數(shù)與紅色的數(shù)之差d10020002999501=1002，與題設(shè)矛盾 即當(dāng)k=2,3,，1000001時(shí)，存在rk1000設(shè)rj+1是r1，r2，r1000001中從左到右第一個(gè)不小于1000的紅色數(shù)個(gè)數(shù)，即rj999，rj+11000，注意到rj是數(shù)集j，j+1，j+2，j+3，j+1999中紅色的數(shù)的個(gè)數(shù)，rj+1是數(shù)集j+1，j+2，j+3，j+1999，j+2000中紅色的數(shù)的個(gè)數(shù)， 若j，j+2000同色，rj= rj+1，不合；若j紅，j+2000藍(lán)，rj+1= rj1，不合； 惟有當(dāng)j藍(lán)，j+2000紅，rj+1= rj+1可能，此時(shí)rj=999，rj+1=1000，即數(shù)集j+1，j+2，j+3，j+1999，j+2000中紅色數(shù)的個(gè)數(shù)與藍(lán)色數(shù)的個(gè)數(shù)均為1000五、參考1設(shè)集合S=1，2，3，2014，從S中最多能選出多少個(gè)數(shù)，可以使得其中任意兩個(gè)數(shù)的和不能被它們的差整除？ AmAk10A1B1BkBm2已知平面上10個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交是否存在直線l，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論3在邊長為1的正方形內(nèi)放入有限個(gè)圓(圓與圓之間可以有重疊)，所有圓的周長之和為10 證明：存在一條直線至少與4個(gè)圓相交或相切4將2007個(gè)整數(shù)放在一個(gè)圓周上，使得任意相鄰的5個(gè)數(shù)中有三個(gè)的和等于另兩個(gè)數(shù)的和的兩倍 證明：這2007個(gè)數(shù)都是0(2007年白俄羅斯) 5在一張矩形紙上畫有一個(gè)圓米老鼠在圓內(nèi)選中了n個(gè)點(diǎn)(但不在紙上標(biāo)注出來)，稱為“米氏點(diǎn)”唐老鴨試圖猜出這n個(gè)“米氏點(diǎn)”在每一次嘗試中，唐老鴨(在圓內(nèi)或圓外)指出一個(gè)點(diǎn)，米老鼠則告訴他，該點(diǎn)離最近的尚未被猜出的“米氏點(diǎn)”的距離是多少如果該距離為0，則算他猜中一個(gè)“米氏點(diǎn)”唐老鴨會(huì)在紙上標(biāo)注點(diǎn)，會(huì)累加距離，還會(huì)運(yùn)用圓規(guī)和直尺(有刻度)作圖試問，唐老鴨是否一定可在少于(n+1)2次嘗試后，猜出所有“米氏點(diǎn)”?6如圖，圓形的水池被分割為2n(n5)個(gè)“格子”我們把有公共隔墻(公共邊或公共弧