中學物理中的數(shù)學方法

淺探中學物理中的數(shù)學方法趙丙亮（內蒙古杭錦后旗奮斗中學 ）摘要：所謂物理中的數(shù)學方法，就是把具體的物理狀態(tài)、過程以及物理量之間的關系用數(shù)學語言表達出來，并進行分析、演算和推導，以形成對問題的判斷、解釋和預測?？梢哉f，任何物理試題的求解過程實質上就是將一個物理問題轉化為數(shù)學問題再經(jīng)過求解還原為物理結論的過程。關鍵詞：數(shù)學方法；物理教學；物理思維；物理本質。在中學物理中，解決物理問題的主要工具是數(shù)學，中學物理考試大綱中明確要求考生有“應用數(shù)學工具解決物理問題的能力”。高考物理試題的解答離不開數(shù)學知識和方法的應用，借助物理知識考查數(shù)學能力選拔優(yōu)秀考生是高考命題的永恒主題。所謂物理中的數(shù)學方法，就是把具體的物理狀態(tài)、過程以及物理量之間的關系用數(shù)學語言表達出來，并進行分析、演算和推導，以形成對問題的判斷、解釋和預測?？梢哉f，任何物理試題的求解過程實質上就是將一個物理問題轉化為數(shù)學問題再經(jīng)過求解還原為物理結論的過程。常用的數(shù)學方法，就是利用基本物理公式、物理規(guī)律列出方程（即轉化為數(shù)學問題），然后解方程得出物理結論。 下面介紹一些特殊、典型的利用我們所學的數(shù)學知識來解決物理問題的方法。一、幾何法：幾何法是解決物理問題的常用的一種方法，例如在力的合成與分解或運動的合成與分解問題，常用幾何法作圖找一個直角三角形來解決物理問題。再如帶電粒子在有界磁場中的運動問題，常用幾何法利用圓的知識來解決物理問題。下面通過一實例利用幾何相似三角形法來解決物理問題。GTNABO例1重為G的小球，用一根長度為L的輕繩吊起來，置于一半徑為R的球面上，小球懸點在球心的正上方距球面最小距離為h，小球可視為質點，求：輕繩對小球的拉力和半球體對小球的支撐力分別是多少？hROBA解析：對小的受力分析，重力G ，和拉力T和支持力N小球平衡。三個力構成閉合三角形，如圖由 ABO和 ABO相似，對應邊成比例所以 得 而 得 二、圖象法：圖象能形象是表達地表達物理規(guī)律、直觀地描述物理過程、鮮明地表示物理量之間的相互關系。圖象在整個物理學中應用相當廣泛，是分析物理問題的有效手段之一。高考大綱明確指出，必要時考生能運用幾何圖形、函數(shù)圖象進行表達、分析。例2一輛汽車在恒定功率牽引下，要平直的公路上由靜止出發(fā)，在4min的時間內行駛了1800m，則4min末的汽車速度（ ）A、等于7.5m/sB、大于7.5m/s C、等于15m/s D、小于15m/s解析：汽車在恒定功率牽引下做加速度越來越小的加速直線運動，如下圖中圖線1所示；如果讓汽車從靜止開始做勻加速直線運動（下左圖線2），并且在4min的時間內行駛1800m的位移，那么當圖中面積1和面積2相等時，則汽車在4min末的速度為。從圖中可知汽車速度小于15m/s。若汽車做勻速直線運動（上右圖線2），并且在4min的時間內行駛1800m，那么當圖中面積1和面積2相等時，則汽車在4min末的速度為，從圖可知，汽車速度大于7.5m/s。故本題正確選項為B、D。例3一只蝸牛從地面開始沿豎直電線桿上爬，它上爬的速度v與它離地面的高度h之間滿足的關系是。其中常數(shù)l=20cm，v0=2cm/s。求它上爬20cm所用的時間。解析：因蝸牛運動的時間是由每一小段時間累加而成。即，故可作出圖象。利用圖象面積可得時間t。hho由得，故圖象為一條直線，如圖所示。圖中陰影部分面積即為所求的時間，即 。代入數(shù)據(jù)得t=15s。三、極值法：在求解物理極值問題中,經(jīng)常用“三角函數(shù)極值法”和“二次函數(shù)極值法” 來解決物理問題。N1mgOAN2xyOA例4如圖質量為m的球放在傾角為的光滑斜面上，試分析擋板AO與斜面間的傾角多大時。AO所要的壓力最?。拷馕觯簩π∏蚴芰Ψ治鋈鐖D建立如圖坐標由F合=0 得N1cos= N2cos(+)+mg N1sin= N2sin(+) 化簡、得：N2sin= mg sin N2=當=/2時， Nmin= mg sin。A。UR0RRx例5.如圖所示。電路中R0為定值的電阻，R為滑動變阻器，總阻值為R。當在電路二端加上恒定電壓U，移動R的觸片，可改變電流表示數(shù)的范圍是多少？解析：設和R0并聯(lián)的變阻器的阻值為Rx，則串聯(lián)變阻器的阻值為R-Rx電路中總電流 電流表中電流 由、得：當 時，IA最小。最小值 當Rx =0或Rx =R時，IA最大。最大值故：電流表示數(shù)范圍為: 五、極限法：極限法是指運用極限思維，把所涉及的變量在不超過變量取值范圍的條件下，使某些量的變化抽象成無限大或無限小去思考解決實際問題的一種解題方法.下面我們就來看一下極限法在物理學中的重要應用.BDVCABAEBDVCA例6如圖物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺上有一定滑輪D一根輕繩一端固定在C點，再繞過滑輪B、D，BC段水平，如圖1所示，當以水平恒定速度v拉繩的自由端時，A沿水平面前進，求當跨過B的兩根繩子夾角為時，A的速度為多大？解析：設經(jīng)時間t物體由A運動到A，如圖，當t0時物體從A運動到A，看作勻速運動，速度等于A點瞬時速度，做DE=DB，則繩子自由端運動的距離S=BE+BB， t0則可以認為BEBD，這樣，BE=B Bcos，即S= B Bcos+B B=B B（1+ cos）當t0時，VA= B B/t 而V=S/t 故可得V= VA（1+ cos） 所以，物體A運動速度VA = V/（1+ cos）六、重要不等式法：在物理學中經(jīng)常運用數(shù)學重要不等式a2+b22 ab (當且僅當a=b 時取等號) 來解決物理問題。例7物體沿一直線做勻變速運動，在t時間內通過的路程為S，它在中間位置處速度為V1，在中間時間速度為V2，則V1與V2的大小相比有：（ ）A、V1 V2 B、V1= V2 C、V1 V2 故選A 例8甲、乙二人同時從同一地點A出發(fā)沿直線同向達到地點B。甲在前段時間和后半段時間內的運行速度分別是V1和V2（V1V2）；乙在前半路程和后半路程內運行速度分別為V1和V2。問甲和乙兩人誰先到達B點。 解析：要想知道誰先到B點，只須比較甲、乙二人走完全程所用的時間，所用時間較短者先到達。解析：設A、B兩點的距離為S，甲、乙各走完全程所用時間分別為t1 和t2，則有 由得 由得 所以 由數(shù)學重要不等式有：V12+V222V1V2，而（V1V2，且在實數(shù)范圍內）所以有V12+V22+2V1V24V1V2則：t1/t21，t1t2 因此甲先到達B點。七、數(shù)列法：物理中有一類涉及物理過程重復發(fā)生的問題，但每一個重復過程均不是原來過程的完全重復，是一種變化了的重復，隨著物理過程的重復，某些物理量發(fā)生著有規(guī)律的變化，解決該類問題的基本思路是利用數(shù)學的數(shù)列思想方法來求解。例9一固定斜面，傾角=45斜面長L=2.00m 在斜面下端有一與斜面垂直的擋板，以質量為m的質點。從斜面最高點沿斜面下滑。初速度為零。質點沿斜面下滑到斜面最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞，已知質點與斜面間的因數(shù)為=0.2 試求該質點從開始運動到與擋板發(fā)生第十一次碰撞過程之中運動的總路程。解析：若質點從斜面最高點第一次到達斜面的最底點時速度為v1。由動能定理得： 質點與擋板發(fā)生彈性碰撞后以v1開始沿斜面上滑，若上滑的最大路程為L1。則有由動能定理得： 由 、 二式得 同理可得第二次碰后上滑路程為L2 則有：依此類推 可見每次碰撞后的路程為等比數(shù)列，令則與擋板發(fā)生第十一次碰撞總路程為S代入數(shù)值得：S=9.86m以上只是我對數(shù)學方法在物理教學中的一點比較初淺的探討，當然，數(shù)學方法在物理教學中的應用，不僅局限于這幾個方面，諸如假設法、反證法、微元法等等在物理教學中都有應用。應該注意，數(shù)學方法只是使物理思維定量化、精確化、簡明化的工具，它不能代替物理思維，我們要通過定義的數(shù)學形式理解它的物理本質，而不應該純數(shù)學地運用物理公式。對于數(shù)學公式，要強調其物理意義，提出數(shù)學方法是表述物理規(guī)律的手段和工具，要遵循物理本質而不能代替物理本質。參考文獻：1中學物理中常用的數(shù)學方