中學(xué)物理中的數(shù)學(xué)方法

淺探中學(xué)物理中的數(shù)學(xué)方法趙丙亮（內(nèi)蒙古杭錦后旗奮斗中學(xué) ）摘要：所謂物理中的數(shù)學(xué)方法，就是把具體的物理狀態(tài)、過程以及物理量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進(jìn)行分析、演算和推導(dǎo)，以形成對問題的判斷、解釋和預(yù)測?？梢哉f，任何物理試題的求解過程實(shí)質(zhì)上就是將一個(gè)物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；物理教學(xué)；物理思維；物理本質(zhì)。在中學(xué)物理中，解決物理問題的主要工具是數(shù)學(xué)，中學(xué)物理考試大綱中明確要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力”。高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，借助物理知識考查數(shù)學(xué)能力選拔優(yōu)秀考生是高考命題的永恒主題。所謂物理中的數(shù)學(xué)方法，就是把具體的物理狀態(tài)、過程以及物理量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進(jìn)行分析、演算和推導(dǎo)，以形成對問題的判斷、解釋和預(yù)測。可以說，任何物理試題的求解過程實(shí)質(zhì)上就是將一個(gè)物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程。常用的數(shù)學(xué)方法，就是利用基本物理公式、物理規(guī)律列出方程（即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題），然后解方程得出物理結(jié)論。 下面介紹一些特殊、典型的利用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題的方法。一、幾何法：幾何法是解決物理問題的常用的一種方法，例如在力的合成與分解或運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題，常用幾何法作圖找一個(gè)直角三角形來解決物理問題。再如帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，常用幾何法利用圓的知識來解決物理問題。下面通過一實(shí)例利用幾何相似三角形法來解決物理問題。GTNABO例1重為G的小球，用一根長度為L的輕繩吊起來，置于一半徑為R的球面上，小球懸點(diǎn)在球心的正上方距球面最小距離為h，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，求：輕繩對小球的拉力和半球體對小球的支撐力分別是多少？hROBA解析：對小的受力分析，重力G ，和拉力T和支持力N小球平衡。三個(gè)力構(gòu)成閉合三角形，如圖由 ABO和 ABO相似，對應(yīng)邊成比例所以 得 而 得 二、圖象法：圖象能形象是表達(dá)地表達(dá)物理規(guī)律、直觀地描述物理過程、鮮明地表示物理量之間的相互關(guān)系。圖象在整個(gè)物理學(xué)中應(yīng)用相當(dāng)廣泛，是分析物理問題的有效手段之一。高考大綱明確指出，必要時(shí)考生能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析。例2一輛汽車在恒定功率牽引下，要平直的公路上由靜止出發(fā)，在4min的時(shí)間內(nèi)行駛了1800m，則4min末的汽車速度（ ）A、等于7.5m/sB、大于7.5m/s C、等于15m/s D、小于15m/s解析：汽車在恒定功率牽引下做加速度越來越小的加速直線運(yùn)動(dòng)，如下圖中圖線1所示；如果讓汽車從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)（下左圖線2），并且在4min的時(shí)間內(nèi)行駛1800m的位移，那么當(dāng)圖中面積1和面積2相等時(shí)，則汽車在4min末的速度為。從圖中可知汽車速度小于15m/s。若汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)（上右圖線2），并且在4min的時(shí)間內(nèi)行駛1800m，那么當(dāng)圖中面積1和面積2相等時(shí)，則汽車在4min末的速度為，從圖可知，汽車速度大于7.5m/s。故本題正確選項(xiàng)為B、D。例3一只蝸牛從地面開始沿豎直電線桿上爬，它上爬的速度v與它離地面的高度h之間滿足的關(guān)系是。其中常數(shù)l=20cm，v0=2cm/s。求它上爬20cm所用的時(shí)間。解析：因蝸牛運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是由每一小段時(shí)間累加而成。即，故可作出圖象。利用圖象面積可得時(shí)間t。hho由得，故圖象為一條直線，如圖所示。圖中陰影部分面積即為所求的時(shí)間，即 。代入數(shù)據(jù)得t=15s。三、極值法：在求解物理極值問題中,經(jīng)常用“三角函數(shù)極值法”和“二次函數(shù)極值法” 來解決物理問題。N1mgOAN2xyOA例4如圖質(zhì)量為m的球放在傾角為的光滑斜面上，試分析擋板AO與斜面間的傾角多大時(shí)。AO所要的壓力最?。拷馕觯簩π∏蚴芰Ψ治鋈鐖D建立如圖坐標(biāo)由F合=0 得N1cos= N2cos(+)+mg N1sin= N2sin(+) 化簡、得：N2sin= mg sin N2=當(dāng)=/2時(shí)， Nmin= mg sin。A。UR0RRx例5.如圖所示。電路中R0為定值的電阻，R為滑動(dòng)變阻器，總阻值為R。當(dāng)在電路二端加上恒定電壓U，移動(dòng)R的觸片，可改變電流表示數(shù)的范圍是多少？解析：設(shè)和R0并聯(lián)的變阻器的阻值為Rx，則串聯(lián)變阻器的阻值為R-Rx電路中總電流 電流表中電流 由、得：當(dāng) 時(shí)，IA最小。最小值 當(dāng)Rx =0或Rx =R時(shí)，IA最大。最大值故：電流表示數(shù)范圍為: 五、極限法：極限法是指運(yùn)用極限思維，把所涉及的變量在不超過變量取值范圍的條件下，使某些量的變化抽象成無限大或無限小去思考解決實(shí)際問題的一種解題方法.下面我們就來看一下極限法在物理學(xué)中的重要應(yīng)用.BDVCABAEBDVCA例6如圖物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺上有一定滑輪D一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過滑輪B、D，BC段水平，如圖1所示，當(dāng)以水平恒定速度v拉繩的自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求當(dāng)跨過B的兩根繩子夾角為時(shí)，A的速度為多大？解析：設(shè)經(jīng)時(shí)間t物體由A運(yùn)動(dòng)到A，如圖，當(dāng)t0時(shí)物體從A運(yùn)動(dòng)到A，看作勻速運(yùn)動(dòng)，速度等于A點(diǎn)瞬時(shí)速度，做DE=DB，則繩子自由端運(yùn)動(dòng)的距離S=BE+BB， t0則可以認(rèn)為BEBD，這樣，BE=B Bcos，即S= B Bcos+B B=B B（1+ cos）當(dāng)t0時(shí)，VA= B B/t 而V=S/t 故可得V= VA（1+ cos） 所以，物體A運(yùn)動(dòng)速度VA = V/（1+ cos）六、重要不等式法：在物理學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用數(shù)學(xué)重要不等式a2+b22 ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)取等號) 來解決物理問題。例7物體沿一直線做勻變速運(yùn)動(dòng)，在t時(shí)間內(nèi)通過的路程為S，它在中間位置處速度為V1，在中間時(shí)間速度為V2，則V1與V2的大小相比有：（ ）A、V1 V2 B、V1= V2 C、V1 V2 故選A 例8甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)A出發(fā)沿直線同向達(dá)到地點(diǎn)B。甲在前段時(shí)間和后半段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)行速度分別是V1和V2（V1V2）；乙在前半路程和后半路程內(nèi)運(yùn)行速度分別為V1和V2。問甲和乙兩人誰先到達(dá)B點(diǎn)。 解析：要想知道誰先到B點(diǎn)，只須比較甲、乙二人走完全程所用的時(shí)間，所用時(shí)間較短者先到達(dá)。解析：設(shè)A、B兩點(diǎn)的距離為S，甲、乙各走完全程所用時(shí)間分別為t1 和t2，則有 由得 由得 所以 由數(shù)學(xué)重要不等式有：V12+V222V1V2，而（V1V2，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）所以有V12+V22+2V1V24V1V2則：t1/t21，t1t2 因此甲先到達(dá)B點(diǎn)。七、數(shù)列法：物理中有一類涉及物理過程重復(fù)發(fā)生的問題，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來過程的完全重復(fù)，是一種變化了的重復(fù)，隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量發(fā)生著有規(guī)律的變化，解決該類問題的基本思路是利用數(shù)學(xué)的數(shù)列思想方法來求解。例9一固定斜面，傾角=45斜面長L=2.00m 在斜面下端有一與斜面垂直的擋板，以質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。從斜面最高點(diǎn)沿斜面下滑。初速度為零。質(zhì)點(diǎn)沿斜面下滑到斜面最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞，已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的因數(shù)為=0.2 試求該質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到與擋板發(fā)生第十一次碰撞過程之中運(yùn)動(dòng)的總路程。解析：若質(zhì)點(diǎn)從斜面最高點(diǎn)第一次到達(dá)斜面的最底點(diǎn)時(shí)速度為v1。由動(dòng)能定理得： 質(zhì)點(diǎn)與擋板發(fā)生彈性碰撞后以v1開始沿斜面上滑，若上滑的最大路程為L1。則有由動(dòng)能定理得： 由 、 二式得 同理可得第二次碰后上滑路程為L2 則有：依此類推 可見每次碰撞后的路程為等比數(shù)列，令則與擋板發(fā)生第十一次碰撞總路程為S代入數(shù)值得：S=9.86m以上只是我對數(shù)學(xué)方法在物理教學(xué)中的一點(diǎn)比較初淺的探討，當(dāng)然，數(shù)學(xué)方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用，不僅局限于這幾個(gè)方面，諸如假設(shè)法、反證法、微元法等等在物理教學(xué)中都有應(yīng)用。應(yīng)該注意，數(shù)學(xué)方法只是使物理思維定量化、精確化、簡明化的工具，它不能代替物理思維，我們要通過定義的數(shù)學(xué)形式理解它的物理本質(zhì)，而不應(yīng)該純數(shù)學(xué)地運(yùn)用物理公式。對于數(shù)學(xué)公式，要強(qiáng)調(diào)其物理意義，提出數(shù)學(xué)方法是表述物理規(guī)律的手段和工具，要遵循物理本質(zhì)而不能代替物理本質(zhì)。參考文獻(xiàn)：1中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方