(第20講)不等式的綜合應用.doc

題目 高中數(shù)學復習專題講座不等式知識的綜合應用高考要求 不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點內容之一，作為解決問題的工具，與其他知識綜合運用的特點比較突出 不等式的應用大致可分為兩類 一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實際應用問題；另一類是建立函數(shù)關系，利用均值不等式求最值問題、本難點提供相關的思想方法，使考生能夠運用不等式的性質、定理和方法解決函數(shù)、方程、實際應用等方面的問題 重難點歸納1 應用不等式知識可以解決函數(shù)、方程等方面的問題，在解決這些問題時，關鍵是把非不等式問題轉化為不等式問題，在化歸與轉化中，要注意等價性 2 對于應用題要通過閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關系，建立起能反映其本質屬性的數(shù)學結構，從而建立起數(shù)學模型，然后利用不等式的知識求出題中的問題 典型題例示范講解 例1用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關于h的解析式；(2)設容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關系式，棱錐表面積和體積的計算及用均值定論求函數(shù)的最值 知識依托 本題求得體積V的關系式后，應用均值定理可求得最值 錯解分析 在求得a的函數(shù)關系式時易漏h0 技巧與方法 本題在求最值時應用均值定理 解 設h是正四棱錐的斜高，由題設可得 消去由 (h0)得 所以V，當且僅當h=即h=1時取等號故當h=1米時，V有最大值，V的最大值為立方米 例2已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當1x1時|f(x)|1 (1)證明 |c|1；(2)證明 當1 x1時，|g(x)|2；(3)設a0，有1x1時， g(x)的最大值為2，求f(x) 命題意圖 本題主要考查二次函數(shù)的性質、含有絕對值不等式的性質，以及綜合應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力 知識依托 二次函數(shù)的有關性質、函數(shù)的單調性是藥引，而絕對值不等式的性質靈活運用是本題的靈魂 錯解分析 本題綜合性較強，其解答的關鍵是對函數(shù)f(x)的單調性的深刻理解，以及對條件“1x1時|f(x)|1”的運用；絕對值不等式的性質使用不當，會使解題過程空洞，缺乏嚴密，從而使題目陷于僵局 技巧與方法 本題(2)問有三種證法，證法一利用g(x)的單調性；證法二利用絕對值不等式 |a|b|ab|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關系 (1)證明 由條件當=1x1時，|f(x)|1，取x=0得 |c|=|f(0)|1，即|c|1 (2)證法一 依題設|f(0)|1而f(0)=c，所以|c|1 當a0時，g(x)=ax+b在1，1上是增函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1) |f(x)|1，(1x1)，|c|1，g(1)=a+b=f(1)c|f(1)|+|c|=2，g(1)=a+b=f(1)+c(|f(2)|+|c|)2，因此得|g(x)|2 (1x1)；當a0時，g(x)=ax+b在1，1上是減函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1)，|f(x)|1 (1x1)，|c|1|g(x)|=|f(1)c|f(1)|+|c|2 綜合以上結果，當1x1時，都有|g(x)|2 證法二 |f(x)|1(1x1)|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，f(x)=ax2+bx+c，|ab+c|1，|a+b+c|1，|c|1，因此，根據(jù)絕對值不等式性質得 |ab|=|(ab+c)c|ab+c|+|c|2，|a+b|=|(a+b+c)c|a+b+c|+|c|2，g(x)=ax+b，|g(1)|=|a+b|=|ab|2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在1，1上的最大值只能在區(qū)間的端點x=1或x=1處取得，于是由|g(1)|2得|g(x)|2，(1x1 當1x1時，有01，10，|f(x)|1，(1x1)，|f |1，|f()|1；因此當1x1時，|g(x)|f |+|f()|2 (3)解 因為a0，g(x)在1，1上是增函數(shù)，當x=1時取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)f(0)=2 1f(0)=f(1)212=1，c=f(0)=1 因為當1x1時，f(x)1，即f(x)f(0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸，由此得0 ，即b=0 由得a=2，所以f(x)=2x21 例3設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的兩個根x1、x2滿足0x1x2 (1)當x0，x1時，證明xf(x)x1；(2)設函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明 x0 解 (1)令F(x)=f(x)x，因為x1，x2是方程f(x)x=0的根，所以F(x)=a(xx1)(xx2) 當x(0，x1)時，由于x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)0，即xf(x)x1f(x)=x1x+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)0xx1x2，x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20x1f(x)0，由此得f(x)x1 (2)依題意 x0=，因為x1、x2是方程f(x)x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根 x1+x2=x0=，因為ax21，x0 學生鞏固練習 1 定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，+)的圖像與f(x)的圖像重合，設ab0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號是( )f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(a)g(b) f(a)f(b)g(b)g(a) f(a)f(b)g(b)g(a)A B C D 2 下列四個命題中 a+b2 sin2x+4 設x，y都是正數(shù)，若=1，則x+y的最小值是12 若|x2|，|y2|，則|xy|2，其中所有真命題的序號是_ 3 某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與車庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站_公里處 4 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，bR，a0)，設方程f(x)=x的兩實數(shù)根為x1，x2 (1)如果x12x24，設函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0，求證x01；(2)如果|x1|2，|x2x1|=2，求b的取值范圍 5 某種商品原來定價每件p元，每月將賣出n件，假若定價上漲x成(這里x成即，0x10 每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的 z倍 (1)設y=ax，其中a是滿足a1的常數(shù)，用a來表示當售貨金額最大時的x的值；(2)若y=x，求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍 6 設函數(shù)f(x)定義在R上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且當x0時，0f(x)1 (1)求證 f(0)=1，且當x0時，f(x)1；(2)求證 f(x)在R上單調遞減；(3)設集合A= (x，y)|f(x2)f(y2)f(1)，集合B=(x，y)|f(axg+2)=1，aR，若AB=，求a的取值范圍 7 已知函數(shù)f(x)= (b0)的值域是1，3，(1)求b、c的值；(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當x1，1時的單調性，并證明你的結論；(3)若tR，求證 lgF(|t|t+|)lg 參考答案 1 解析 由題意f(a)=g(a)0，f(b)=g(b)0，且f(a)f(b)，g(a)g(b)f(b)f(a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)而g(a)g(b)=g(a)g(b)g(a)+g(b)g(a)g(b)=2g(b)0，f(b)f(a)g(a)g(b)同理可證 f(a)f(b)g(b)g(a)答案 A2 解析 不滿足均值不等式的使用條件“正、定、等” 式 |xy|=|(x2)(y2)|(x2)(y2)|x2|+|y2|+=2 答案 3 解析 由已知y1=；y2=0 8x(x為倉庫與車站距離)費用之和y=y1+y2=0 8x+ 2=8當且僅當0 8x=即x=5時“=”成立答案 5公里處4 證明 (1)設g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1，且x0 x12x24，(x12)(x22)0，即x1x22(x1+x2)4，(2)解 由方程g(x)=ax2+(b1)x+1=0可知x1x2=0，所以x1，x2同號1若0x12，則x2x1=2，x2=x1+22，g(2)0，即4a+2b10 又(x2x1)2=2a+1= (a0)代入式得，232b 解得b2若 2x10，則x2=2+x12g(2)0，即4a2b+30又2a+1=，代入式得22b1 解得b 綜上，當0x12時，b，當2x10時，b 5 解 (1)由題意知某商品定價上漲x成時，上漲后的定價、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是 p(1+)元、n(1)元、npz元，因而，在y=ax的條件下，z=ax2+100+ 由于a1，則010 要使售貨金額最大，即使z值最大，此時x= (2)由z= (10+x)(10x)1，解得0x5 6 (1)證明 令m0，n=0得 f(m)=f(m)f(0) f(m)0，f(0)=1取m=m，n=m，(m0)，得f(0)=f(m)f(m)f(m)=，m0，m0，0f(m)1，f(m)1(2)證明 任取x1，x2R，則f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)，f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在R上為單調減函數(shù) (3)由，由題意此不等式組無解，數(shù)形結合得 1，解得a23a，7 (1)解 設y=，則(y2)x2bx+yc=0xR，的判別式0，即 b24(y2)(yc)0，即4y24(2+c)y+8c+b20 由條件知，不等式的解集是1，31，3是方程4y24(2+c)y+8c+b2=0的兩根c=2，b=2，b=2(舍）(2)任取x1，x21，1，且x2x1，則x2x10，且(x2x1)(1x1x2)0，f(x2)f(x1)=0，f(x2)f(x1)，lgf(x2)lgf(x1)，即F(x2)F(x1)F(x)為增函數(shù) 即u，根據(jù)F(x)的單調性知F()F(u)F()，lgF(|t|t+|)lg對任意實數(shù)t 成立 課前后備注 數(shù)學中的不等式關系數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，恩格斯在自然辯證法一書中指出，數(shù)學是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式，數(shù)學中蘊含著極為豐富的辯證唯物主義因素，等與不等關系正是該點的生動體現(xiàn)，它們是對立統(tǒng)一的，又是相互聯(lián)系、相互影響的；等與不等關系是中學數(shù)學中最基本的關系 等的關系體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美和統(tǒng)一美，不等關系則如同仙苑奇葩呈現(xiàn)出了數(shù)學的奇異美 不等關系起源于實數(shù)的性質，產生了實數(shù)的大小關系，簡單不等式，不等式的基本性質，如果把簡單不等式中的實數(shù)抽象為用各種數(shù)學符號集成的數(shù)學式，不等式發(fā)展為一個人丁興旺的大家族，由簡到繁，形式各異 如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關系，又產生了重要不等式、均值不等式等 不等式是永恒的嗎？顯然不是，由此又產生了解不等式與證明不等式兩個極為重要的問題 解不等式即尋求不等式成立時變量應滿足的范圍或條件，不同類型的不等式又有不同的解法；不等式證明則是推理性問題或探索性問題 推理性即在特定條件下，闡述論證過程，揭示內在規(guī)律，基本方法有比較法、綜合法、分析法；探索性問題大多是與自然數(shù)n有關的證明問題，常采用觀察歸納猜想證明的思路，以數(shù)學歸納法完成證明 另外，不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構造法等 數(shù)學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系 不等式的知識滲透在數(shù)學中的各個分支，相互之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此不等式又可作為一個工具來解決數(shù)學中的其他問題，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題無一不與不等式有著密切的聯(lián)系 許多問題最終