抽象代數(shù)模擬試卷(答案).docx

抽象代數(shù)考試模擬試卷（答案）考試形式： 閉卷 考試時(shí)間： 120 分鐘 滿分： 100 分。 題 號(hào)一二三四五六七八九十總 分得 分評(píng)閱人 注意：1、所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊，寫在其它紙上一律無(wú)效。 2、密封線左邊請(qǐng)勿答題，密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記。得分一、判斷和計(jì)算題（共10分）判斷下列代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為群，并計(jì)算群中每個(gè)元素的階： 1） N6, +6 2） N60， 6 答： N6, +6 是群，（7分）元素012345階163236 N60， 6 不是群。（3分）學(xué)號(hào)： 姓名： 學(xué)院： 年級(jí)： 專業(yè)： - 密 封 線 -得分二、證明題（共10分）證明兩個(gè)群 G1, + 與 G2, * 的積代數(shù)G1G2, 是群。答：設(shè)G1的幺元為e1，G2的幺元為e2。對(duì)任意， 是G1G2的幺元。（3分）運(yùn)算是可結(jié)合的。（4分），每個(gè)元素存在逆元。（3分）故G1G2, 是群。得分三、計(jì)算題（共10分）設(shè)，求a、b和ab在對(duì)稱群S6中的階。答：a的階是4；（3分）b的階是6；（3分）的階是6。（4分）得分四、證明題（共10分）設(shè)G是群，且HKG。證明：若HvG，KvG，則K/HvG/H。證明：易證HvK。（2分）對(duì)任意aHG/H， kHK/H，有 （3分）因?yàn)閍ka1K，所以，。（3分）故K/HvG/H。（2分）得分五、證明題（共10分）若A和B為環(huán)的子環(huán)，證明AB也是的子環(huán)。證明：顯然，。（2分）對(duì)任意，因，則有；（3分）因，則有；（3分）因，則有；（2分）故AB是的子環(huán)。學(xué)號(hào)： 姓名： 學(xué)院： 年級(jí)： 專業(yè)： - 密 封 線 -得分六、計(jì)算題（共10分）x2+ x + 1是上的2次不可約多項(xiàng)式。求域的階和域中元素x+1的乘法階。答：的階為 （4分）（6分）元素x+1的乘法階為5。得分七、證明題（共10分）證明域Q(i)與域同構(gòu)。證明：，定義映射。顯然f是Q(i)到的雙射。（2分）（4分）即（4分）故f是同構(gòu)映射。得分八、應(yīng)用題（共10分）畫出格S30，D和S45，D的哈斯圖。指出其中的有補(bǔ)格和分配格。答：S30，D和S45，D的哈斯圖：（4分）S30，D是有補(bǔ)格和分配格。（4分）S45，D是分配格。（2分）得分九、證明題（共10分）證明在任何布爾代數(shù)中下述結(jié)論成立： a = b ( a * b ) ( a * b ) = 0證明：1）a = b ( a * b ) ( a * b ) = 0( a * b ) ( a * b ) = ( a * a ) ( a * a ) = 0（2分）2) ( a * b ) ( a * b ) = 0 a = b ( a * b ) ( a * b ) = 0 a * b = 0 且 a * b = 0（2分）因（3分） （3分）故a = b。學(xué)號(hào)： 姓名： 學(xué)院： 年級(jí)： 專業(yè)： - 密 封 線 -得分十、證明題（共10分）設(shè)是分配格，a,bL。設(shè)X = x| xL 且 a*bxaY = y| yL 且 byab且令：f(x) = xb ,xX。證明：1）X，Y是L的子格； 2）f是X到Y(jié)的同構(gòu)映射。答： 對(duì)任意x1, x2X, x1a , x2a x1*x2x1x2aa*bx1, a*bx2, a*bx1*x2x1x2即x1*x2X，x1x2X所以X是L的子格。（2分） 對(duì)任意y1, y2Y, 同理可證Y是L的子格。y1ab , y2ab y1*y2x1x2abby1, by2, by1*y2y1y2即y1*y2Y，y1y2Y。（2分） 對(duì)任意xX, a*bxa，xbab，xb(a*b) bb，即xbY。 f是X到Y(jié)的單射函數(shù)。對(duì)任意yY, 因by, 有a*by*aa, f(y*a)=(y*a)b=(yb)*(ba)=y*(ba)=y即f是滿射, 所以，f是雙射函數(shù)。（2分） 對(duì)任意x1, x2X, 因?yàn)閒(x1*x2)=(x1*x2) b=(x1b) * (x2