傅立葉變換在工程上的應用

傅立葉變換在工程上的應用摘要：傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法, 傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用。而小波分析應用于機械故障振動信號分析的優(yōu)越性及其應用的進展和特點，小波變換技術在旋轉機械動靜碰摩故障診斷的理論研究和實際應用，最后提出小波分析應用于故障診斷存在的問題以及對其應用前景的展望。關鍵詞：傅里葉變換與應用 快速傅里葉變換 小波分析 小波應用傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。快速傅氏變換 英文名是fast Fourier transform快速傅氏變換（FFT）是離散傅氏變換(DFT)的快速算法，它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現，但是對于在計算機系統(tǒng)或者說數字系統(tǒng)中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。設x(n)為N項的復數序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次復數乘法和N-1次復數加法，而一次復數乘法等于四次實數乘法和兩次實數加法，一次復數加法等于兩次實數加法，即使把一次復數乘法和一次復數加法定義成一次“運算”（四次實數乘法和四次實數加法），那么求出N項復數序列的X（m）,即N點DFT變換大約就需要N2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N2=次運算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列（設N=2k,k為正整數），分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要（N/2）2次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以后，總的運算次數就變成N+2（N/2）2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時，總的運算次數就變成了次，節(jié)省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去，直到分成兩兩一組的DFT運算單元，那么N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運算，N在1024點時，運算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點數越多，運算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性。在數學領域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。任意的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現代數學發(fā)現傅立葉變換具有非常好的性質,使得它如此的好用和有用,讓人不得不感嘆造物的神奇: 1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當的范數,它還是酉算子; 2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似; 3. 正弦基函數是微分運算的本征函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內,頻率是個不變的性質,從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取; 4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段; 5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT). 正是由于上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。小波分析 (Wavelet)小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起地?，F在，它已經在科技信息產業(yè)領域取得了令人矚目的成就。電子信息技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是圖像和信號處理?，F今，信號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，信號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構（或恢復）。從數學地角度來看，信號與圖像處理可以統(tǒng)一看作是信號處理（圖像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應用中，都可以歸結為信號處理問題。現在，對于其性質隨實踐是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應用中的絕大多數信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。小波分析是當前應用數學和工程學科中一個迅速發(fā)展的新領域，經過近10年的探索研究，重要的數學形式化體系已經建立，理論基礎更加扎實。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應用數學、物理學、計算機科學、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學科。數學家認為，小波分析是一個新的數學分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調分析、數值分析的完美結晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。事實上小波分析的應用領域十分廣泛，它包括：數學領域的許多學科；信號分析、圖像處理；量子力學、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學成像與診斷；地震勘探數據處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數學方面，它已用于數值分析、構造快速數值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。(1)小波分析用于信號與圖像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖像的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。(2)小波在信號分析中的應用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。(3)在工程技術等方面的應用。