初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題一、矩形中的折疊1將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線(xiàn)上，CBD= 度2如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，再過(guò)點(diǎn)A折疊使折痕DEBC，若AB=4，AC=3，則ADE的面積是 3如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線(xiàn)BD重合，得折痕DG，求AG的長(zhǎng)根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到相等的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即可4把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著B(niǎo)F折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則DFB等于（）注意折疊前后角的對(duì)應(yīng)關(guān)系5如圖，沿矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角FEC=64，則1= 度；EFG的形狀 三角形對(duì)折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫(huà)出對(duì)折前后的圖形，便于尋找對(duì)折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰GEF7如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對(duì)折，展平，得折痕EF（如圖）；延CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B處，（如圖）；展平，得折痕GC（如圖）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C處，（如圖）；沿GC折疊（如圖）；展平，得折痕GC，GH（如圖）（1）求圖中BCB的大??；（2）圖中的GCC是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由理清在每一個(gè)折疊過(guò)程中的變與不變8如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，將其沿EF折疊，則圖中四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等9如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)G處，求四邊形BCFE的面積注意折疊過(guò)程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角相等10如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上不與A、D重合MN為折痕，折疊后BC與DN交于P(1)連接BB，那么BB與MN的長(zhǎng)度相等嗎？為什么？ (2)設(shè)BM=y，AB=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時(shí)，折疊起來(lái)的梯形MNCB面積最??？并驗(yàn)證你的猜想二、紙片中的折疊11如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則的度數(shù)等于（） 題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)，同位角相等，及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊的角與其對(duì)應(yīng)角相等，和平角為180度的性質(zhì)，注意EAB是以折痕AB為底的等腰三角形12如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC，使CAB=45，則后重合部分的面積為在折疊問(wèn)題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補(bǔ)充完整，對(duì)于矩形（紙片）折疊，折疊后會(huì)形成“平行線(xiàn)+角平分線(xiàn)”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形ABC13將寬2cm的長(zhǎng)方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長(zhǎng)是 注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，會(huì)出現(xiàn)“平行線(xiàn)+角平分線(xiàn)”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形APQ14如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，DEF=20，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的CFE的度數(shù)是（）本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變由題意知DEF=EFB=20圖bGFC=140，圖c中的CFE=GFC-EFG15將一張長(zhǎng)為70cm的長(zhǎng)方形紙片ABCD，沿對(duì)稱(chēng)軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與CD間的距離為60cm，則原紙片的寬AB是（）16一根30cm、寬3cm的長(zhǎng)方形紙條，將其按照?qǐng)D示的過(guò)程折疊（陰影部分表示紙條的反面），為了美觀(guān)，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，則最初折疊時(shí)，求MA的長(zhǎng)三、三角形中的折疊17如圖，把RtABC（C=90），使A，B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則CE：AE=18在A(yíng)BC中，已知AB=2a，A=30，CD是AB邊的中線(xiàn)，若將ABC沿CD對(duì)折起來(lái)，折疊后兩個(gè)小ACD與BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前ABC的面積的（1）當(dāng)中線(xiàn)CD等于a時(shí)，重疊部分的面積等于 ；（2）有如下結(jié)論（不在“CD等于a”的限制條件下）：AC邊的長(zhǎng)可以等于a；折疊前的ABC的面積可以等于；折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線(xiàn)段AB與中線(xiàn)CD平行且相等其中， 結(jié)論正確（把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)都填上，若認(rèn)為都不正確填“無(wú)”）注意“角平分線(xiàn)+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對(duì)比，找出相等的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊19在A(yíng)BC中，已知A=80，C=30，現(xiàn)把CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得CDE，對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：（1）如圖（1）把CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，則求1+2的和；（2）如圖（2）把CDE沿DE折疊覆蓋A，則求1+2的和；（3）如圖（3）把CDE沿DE斜向上折疊，探求1、2、C的關(guān)系（1）根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；（2）連接DG，將ADG+AGD作為一個(gè)整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求；（3）將2看作180-2CED，1看作2CDE-180，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求由于等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以在折疊三角形時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形20觀(guān)察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片ABC（ABAC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)折疊，使得AC落在A(yíng)B邊上，折痕為AD，展開(kāi)紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF（如圖）小明認(rèn)為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由實(shí)踐與運(yùn)用：(1)將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）求圖中的大小由于角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是角的對(duì)稱(chēng)軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線(xiàn)有關(guān)。要抓住折疊前后圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對(duì)折得折痕EF，折痕與AD邊交于點(diǎn)E，與BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展開(kāi)紙片，此時(shí)恰好有MP=MN=PQ（如圖），求MNF的大小在矩形中的折疊問(wèn)題，通常會(huì)出現(xiàn)“角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等腰三角形21直角三角形紙片ABC中，ACB=90，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中B的度數(shù)是多少？寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程，并畫(huà)出符合條件的后的圖形先確定CDF是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因?yàn)椴淮_定BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，DE=DB，BD=BE，DE=BE，然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可22下列圖案給出了折疊一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形紙片（圖1）的全過(guò)程：首先對(duì)折，如圖2，折痕CD交AB于點(diǎn)D；打開(kāi)后，過(guò)點(diǎn)D任意折疊，使折痕DE交BC于點(diǎn)E，如圖3；打開(kāi)后，如圖4；再沿AE折疊，如圖5；打開(kāi)后，折痕如圖6則折痕DE和AE長(zhǎng)度的和的最小值是（）本題經(jīng)過(guò)了三次折疊，注意理清折疊過(guò)程中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，求兩條線(xiàn)段的和的最小值問(wèn)題可以參見(jiàn)文章/view/f6a6b4dda58da0116c.html23小華將一條1（如圖1），沿它對(duì)稱(chēng)軸折疊1次后得到（如圖），再將圖沿它對(duì)稱(chēng)軸折疊后得到（如圖3），則圖3中一條腰長(zhǎng)；同上操作，若小華連續(xù)將圖1折疊n次后所得到（如圖n+1）一條腰長(zhǎng)為多少？本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的24如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)O1；O1D的中點(diǎn)為D1，第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D1重合，折痕與BD交于點(diǎn)O2；設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2，第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)O3，按上述方法，第n次折疊后的折痕與BD交于點(diǎn)On，則BO1= ，BOn= 問(wèn)題中涉及到的折疊從有限到無(wú)限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì)過(guò)程。在找規(guī)律時(shí)要把最終的結(jié)果寫(xiě)成一樣的形式，觀(guān)察其中的變與不變，特別是變化的數(shù)據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系25如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次紙片折疊，使A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n2），則AP6長(zhǎng)（）此題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是寫(xiě)出前面幾個(gè)有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度的表達(dá)式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力26閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線(xiàn)A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿BnAnC的平分線(xiàn)AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線(xiàn)A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次，BAC是不是ABC的好角？（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為 B = nC應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15、60、105，發(fā)現(xiàn)60和105的兩個(gè)角都是此三角形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角注意折疊過(guò)程中的對(duì)應(yīng)角和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角的和的運(yùn)用，理解三角形中如果有一個(gè)角是好角之后，另兩個(gè)角之間的關(guān)系，通過(guò)這樣的問(wèn)題培養(yǎng)歸納總結(jié)能力27我們知道：任意的三角形紙片可通過(guò)如圖所示的方法折疊得到一個(gè)矩形（1）實(shí)踐：將圖中的正方形紙片通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形（在圖中畫(huà)圖說(shuō)明）（2）探究：任意的四邊形紙片是否都能通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形？若能，直接在圖中畫(huà)圖說(shuō)明；若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫(huà)圖說(shuō)明（要求：畫(huà)圖應(yīng)體現(xiàn)折疊過(guò)程，用虛線(xiàn)表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無(wú)縫隙又無(wú)重疊部分）折疊即對(duì)稱(chēng)28如圖，雙曲線(xiàn)y = （x0）經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，ABC=90，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，ABx軸，將ABC沿AC翻折后得到ABC，B點(diǎn)落在OA上，則四邊形OABC的面積是多少？明白折疊中的對(duì)應(yīng)邊就行29已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D（1）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，設(shè)OB=x，OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；（3）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，且使BDOB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)四、圓中的折疊30如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O的直徑為AD，將正方形的BC邊沿EC折疊，點(diǎn)B落在圓上的F點(diǎn)，求BE的長(zhǎng) 用對(duì)稱(chēng)關(guān)系構(gòu)造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折疊問(wèn)題中求線(xiàn)段長(zhǎng)度的常用方法31如圖，將半徑為8的O沿AB折疊，弧AB恰好經(jīng)過(guò)與AB垂直的半徑OC的中點(diǎn)D，則折痕AB長(zhǎng)為（）注意折疊過(guò)程中形成的對(duì)應(yīng)