變量與函數(shù)-知識講解

變量與函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1知道現(xiàn)實(shí)生活中存在變量和常量，變量在變化的過程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍）；2能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見簡單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個(gè)值，會求出相應(yīng)的函數(shù)值3. 理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其解析式之間的關(guān)系，會判斷一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上，明確交點(diǎn)坐標(biāo)反映到函數(shù)上的含義.4. 初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點(diǎn)法”畫一個(gè)函數(shù)的圖象的一般步驟，對已知圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關(guān)系【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、變量、常量的概念在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量.數(shù)值保持不變的量叫做常量.要點(diǎn)詮釋：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對某個(gè)變化過程而言的.例如，速度60千米/時(shí)是常量，時(shí)間和里程為變量.要點(diǎn)二、函數(shù)的定義一般地，在一個(gè)變化過程中. 如果有兩個(gè)變量與，并且對于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù).要點(diǎn)詮釋：對于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：（1）函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系；（2）對于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實(shí)際意義；（3）判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對于允許取的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的值與它相對應(yīng).（4）兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個(gè)條件：函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時(shí)容易忽視，這點(diǎn)應(yīng)注意.要點(diǎn)三、函數(shù)的定義域與函數(shù)值函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域.要點(diǎn)詮釋：考慮自變量的取值必須使解析式有意義。（1）當(dāng)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)解析式是分式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)；（3）當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實(shí)數(shù)； （4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的底數(shù)不為零；（5）當(dāng)解析式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義.是的函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.在函數(shù)用記號表示時(shí)，表示當(dāng)時(shí)的函數(shù)值.要點(diǎn)詮釋：對于每個(gè)確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個(gè)函數(shù)值對應(yīng)的自變量可以是多個(gè).比如：中，當(dāng)函數(shù)值為4時(shí)，自變量的值為2.要點(diǎn)四、函數(shù)的圖象對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.要點(diǎn)詮釋：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點(diǎn)、連線.列表時(shí)，自變量的取值范圍應(yīng)注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或太小，以便于描點(diǎn)和全面反映圖象情況.【典型例題】類型一、變量與函數(shù)1、下列等式中，是的函數(shù)有（ ） A .1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)【答案】C；【解析】要判斷是否函數(shù)，需判斷兩個(gè)變量是否滿足函數(shù)的定義.對于 當(dāng)取2，有兩個(gè)值和它對應(yīng)，對于，當(dāng)取2，有兩個(gè)值2和它對應(yīng)，所以這兩個(gè)式子不滿足函數(shù)的定義的要求：都有唯一確定的值與對應(yīng)，所以不是函數(shù)，其余三個(gè)式子滿足函數(shù)的定義，故選C.【總結(jié)升華】在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).抓住函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞語“都有唯一確定的值”，與之間的對應(yīng)，可以是“一對一”，也可以是“多對一”，不能是“一對多”.舉一反三：【變式】下列函數(shù)中與表示同一函數(shù)的是（ ）A. B. C. D.【答案】D；提示：表示同一函數(shù)，自變量的取值要相同，化簡后的解析式要相同.2、如圖所示，下列各曲線中表示是的函數(shù)的有( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】 C；【解析】這是一道函數(shù)識別題，從函數(shù)概念出發(fā)，領(lǐng)悟其內(nèi)涵，此題不難得到答案，不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系【總結(jié)升華】在函數(shù)概念中注意兩點(diǎn)：有兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量每取一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量就有唯一的一個(gè)值與其對應(yīng)類型二、函數(shù)解析式3、求出下列函數(shù)的定義域.（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案與解析】 解：（1），為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)都有意義；（2），要使函數(shù)有意義，需230，即；（3），要使函數(shù)有意義，需230，即；（4），要使函數(shù)有意義，需210，即；（5），為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)都有意義；（6），要使函數(shù)有意義，需，即3且2.【總結(jié)升華】自變量的取值范圍必須使整個(gè)解析式有意義.4、如圖所示，在ABC中，C90，AC6，BC10，設(shè)P為BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合，且CP若表示APB的面積 (1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求自變量的取值范圍【答案與解析】 解： (1)因?yàn)锳C6，C90，BC10，所以又，所以，即(2)因?yàn)辄c(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合，BC10，所以010【總結(jié)升華】利用三角形面積公式找到函數(shù)關(guān)系式，要把握點(diǎn)P是一動點(diǎn)這個(gè)規(guī)律，結(jié)合圖形觀察到點(diǎn)P移動到特殊點(diǎn)，便可求出自變量的取值范圍舉一反三：【變式】 小明在勞動技術(shù)課中要制作一個(gè)周長為80的等腰三角形請你寫出底邊長()與腰長()的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的取值范圍【答案】解：由題意得，80,所以，由于三角形兩邊之和大于第三邊，且邊長大于0，所以，解得所以.類型三、函數(shù)值5、 若與的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，的值為（ ） A5 B10 C4 D4【答案】C；【解析】.【總結(jié)升華】把代入關(guān)系式可求得函數(shù)值.類型四、函數(shù)的圖象6、星期日晚飯后，小紅從家里出去散步，如圖所示，描述了她散步過程中離家的距離（）與散步所用的時(shí)間（）之間的函數(shù)關(guān)系，該圖象反映的過程是：小紅從家出發(fā)，到了一個(gè)公共閱報(bào)欄，看了一會報(bào)后，繼續(xù)向前走了一段，在郵亭買了一本雜志，然后回家了依據(jù)圖象回答下列問題（1）公共閱報(bào)欄離小紅家有_米，小紅從家走到公共閱報(bào)欄用了_分鐘；（2）小紅在公共閱報(bào)欄看新聞一共用了_分鐘；（3）郵亭離公共閱報(bào)欄有_米，小紅從公共閱報(bào)欄到郵亭用了_分鐘；（4）小紅從郵亭走回家用了_分鐘，平均速度是_米分鐘【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由圖象可知，0到4分鐘，小紅從家走到離家300米的報(bào)欄，4到10分鐘，在公共報(bào)欄看新聞，10到13分鐘從報(bào)欄走到200米外的郵亭，13到18分鐘，從離家500米的郵亭返回家里.【總結(jié)升華】這個(gè)函數(shù)圖象是由幾條線段組成的折線，其中每條線段代表一個(gè)階段的活動.這條線段左右