數(shù)字信號處理復(fù)習(xí)知識點(第一章到第四章)PPT課件

第四章快速傅立葉變換 FFT 一 直接用DFT計算的運算量與用FFT計算的運算量比較 減少運算量的途徑 二 FFT算法中一些概念 按時間抽取法解過程的規(guī)律 1 原位運算 in place 2 碼位倒讀規(guī)則 亂序輸入 順序輸出 1 級 概念將N點DFT先分成兩個N 2點DFT 再是四個N 4點DFT 直至N 2個兩點DFT 每分一次稱為 一 級運算 因為N 2M所以N點DFT可分成M級依次m 0 m 1 M 1共M級 2 組 概念 每一級都有N 2個蝶形單元 例如 N 8 則每級都有4個蝶形單元 每一級的N 2個蝶形單元可以分成若干組 每一組具有相同的結(jié)構(gòu) 相同的因子分布 第m級的組數(shù)為 例 N 8 23 分3級 m 0級 分成四組 每組系數(shù)為m 1級 分成二組 每組系數(shù)為m 2級 分成一組 每組系數(shù)為 3 因子的分布 結(jié)論 每由后向前 m由M 1 0級 推進一級 則此系數(shù)為后級系數(shù)中偶數(shù)序號的那一半 三 一個完整N 8的按DIT時間抽取FFT的運算流圖 x 0 x 4 x 2 x 6 x 1 x 5 x 3 x 7 X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 m 0 m 1 m 2 一個完整N 8的按DIF頻率抽取FFT的運算流圖 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 X 0 X 4 X 2 X 6 X 1 X 5 X 3 X 7 m 0 m 1 m 2 2 直接利用FFT流圖方法的推導(dǎo) 可知 只須將頻域成份一個求共軛變換 即 1 將X k 的虛部乘以 1 即先取X k 的共軛 得X k 2 將X k 直接送入FFT程序即可得出Nx n 3 最后再對運算結(jié)果取一次共軛變換 并乘以常數(shù)1 N 即可以求出IFFT變換的x n 的值 此為DFT可用FFT程序 3 用CZT求解DFT的流圖 6 說明1 1 A為起始樣點位置 6 說明2 2 zk是z平面一段螺線上的等分角上某一采樣點 6 說明3 6 說明4 10 CZT運算量與直接運算量比較 當M N足夠小時 直接算法運算量少 但M N值比較大時 大于50 CZT算法比直接算法的運算量少得多 例M 50 N 50 N M 2500次而CZT 1600次 重疊相加法 1 x n 為分段 每段長為p點 p選擇與M數(shù)量組相同 用xi n 表示x n 的第i段 重疊保留法 第三章離散傅立葉變換 DFT 一 四種不同的傅立葉變換對傅里葉級數(shù) FS 連續(xù)時間 離散頻率的傅里葉變換 連續(xù)傅里葉變換 FT 連續(xù)時間 連續(xù)頻率的傅里葉變換 序列的傅里葉變換 DTFT 離散時間 連續(xù)頻率的傅里葉變換 離散傅里葉變換 DFT 離散時間 離散頻率的傅里葉變換 四種付里葉變換形式的歸納 二 DFS定義 設(shè)為周期為N的周期序列 則其離散傅里葉級數(shù) DFS 變換對為 正變換反變換其中 三 DFT 1 定義正變換反變換X k x n 為有限長序列的離散付里葉變換對 已知其中一個序列就能確定另一個序列 2 DFT性質(zhì) 時移特性已知DFT x n X k 則DFT x n m NRN n WN mkX k 頻移特性設(shè)頻域N點 有限長序列X k 則 3 圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對比 4 奇偶虛實關(guān)系表 四 頻域抽樣理論 長度為M的有限長序列 頻域抽樣不失真的條件 頻域抽樣點數(shù)N要大于或等于序列長度M 即滿足N M 此時可得到表明長度為N 或小于N 的有限長序列可用它的z變換在單位圓上的N個均分點上的抽樣值精確地表示 五 DFT做傅里葉變換 級數(shù) 的逼近時所產(chǎn)生的問題 混疊現(xiàn)象 頻譜泄漏柵欄效應(yīng) 1 混疊現(xiàn)象 利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換 為避免混疊失真 要求滿足抽樣定理 即奈奎斯特準則 fs 2fh其中fs為抽樣頻率 fh為信號最高頻率 但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh 其上限要受抽樣間隔F的約束 抽樣間隔F即頻率分辨力 它是記錄長度的倒數(shù) 即Tp 1 F若抽樣點數(shù)為N 則抽樣間隔與fs的關(guān)系為F fs N 2fh N 混疊現(xiàn)象的結(jié)論 由F fs N 2fh N看出 在N給定時 為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs 必然導(dǎo)致F增加 即頻率分辨力下降 反之 若要提高頻率分辨力即減小F 則導(dǎo)致減小fs 最終必須減小信號的高頻容量 以上兩點結(jié)論都是在記錄長度內(nèi)抽樣點數(shù)N給定的條件下得到的 所以在高頻容量fh與頻率分辨力F參數(shù)中 保持其中一個不變而使另一個性能得以提高的唯一辦法 就是增加記錄長度內(nèi)的點數(shù)N 即fh和F都給定時 則N必須滿足N 2fh F這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理 例如加窗 情況下 為實現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件 2 頻譜泄漏注意點 由于我們無法取無數(shù)個點 所以在DFT時 時域的截斷是必然的 因而泄漏也是必然存在的 為了減少頻率泄漏可采用 1 適當加大窗口寬度 增加M值 2 采用適當形狀的窗函數(shù)截斷指出 泄漏是不能與混疊完全分開的 3 減小柵欄效應(yīng)方法 減小柵欄效應(yīng)的一個方法是在所取數(shù)據(jù)的末端加一些零值點 使一個周期內(nèi)點數(shù)增加 但是不改變原有的記錄數(shù)據(jù) 這種方法等效于加長了周期Tp 因公式F 1 Tp F是抽樣間隔 Tp增加 抽樣間隔變小 從而能保持原來頻譜形式不變的情況下使譜線變密 也就使頻譜抽樣點數(shù)增加 這樣 原來看不到的頻譜分量就有可能看到了 序列的傅立葉變換和性質(zhì) 教材78頁 表2 3 x n 的傅立葉變換定義如下 可見還是w的周期函數(shù) 周期為 比較后可見 序列的