第一章-實(shí)數(shù)集與函數(shù)PPT課件

1 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 第一節(jié)實(shí)數(shù) 2 一實(shí)數(shù)及其性質(zhì) 有理數(shù) 為整數(shù) 實(shí)數(shù)也可用有限十進(jìn)小數(shù)或無(wú)限十進(jìn)循環(huán)小數(shù)表示無(wú)理數(shù) 無(wú)限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)目的 為了討論需要 將有限小數(shù) 包括整數(shù) 也表示為無(wú)限小數(shù) 并作如下規(guī)定 上一頁(yè) 下一頁(yè) 3 對(duì)于正有限小數(shù) 包括正整數(shù) 表示成無(wú)限小數(shù) 再將所得無(wú)限小數(shù)前加負(fù)號(hào) 1 當(dāng)時(shí) 其中為非負(fù)整數(shù) 記 2 當(dāng)為正整數(shù)時(shí) 記 例如 2 對(duì)于負(fù)有限小數(shù) 包括負(fù)數(shù) 先將 例如 3 對(duì)于 4 二實(shí)數(shù)的大小比較 定義設(shè) 為非負(fù)實(shí)數(shù) 稱有理數(shù) 為的位不足近似 而有理數(shù)為的位過(guò)剩 近似 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 稱 為的位不足近似 為的位過(guò)剩近似 5 注 實(shí)數(shù)的不足近似當(dāng)增大不減 即有 而過(guò)剩近似當(dāng)增大時(shí)不增 即有 對(duì)于非負(fù)實(shí)數(shù)有 均為實(shí)數(shù) 命題 設(shè) 與為實(shí)數(shù) 則 的等價(jià)條件是 存在非負(fù)整數(shù) 使得 其中表示 的位不足近似 表示的位過(guò)剩近似 起證明見附錄 第八節(jié) 6 例1設(shè)為實(shí)數(shù) 證明 存在有理數(shù)滿足 證明由于 故存在非負(fù)整數(shù) 使得 令 則為有理數(shù) 且有 即有 說(shuō)明 任意兩實(shí)數(shù)間都有有理數(shù) 實(shí)數(shù)的性質(zhì) 1實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性 2有序性 3傳遞性 4具有阿基米德 性 即對(duì)任何 若 則存在正整數(shù) 使得 7 實(shí)數(shù)的稠密性 即任何兩實(shí)數(shù)之間必有另一實(shí)數(shù) 且既有有理數(shù) 見例 也有無(wú)理數(shù) 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 例 設(shè) 證明 若對(duì)任何正數(shù) 有 則 證明 反證 若 取 有 矛 盾 所以必有 注 為常數(shù) 不能為變數(shù) 二絕對(duì)值與不等式 自看 8 第二節(jié)數(shù)集確界原理 定義設(shè) 為開區(qū)間 記為 數(shù)集 數(shù)集 都稱為半開半閉區(qū)間 分別 記為和 以上這幾類區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間 滿足關(guān)系式的全體實(shí)數(shù)的集合記作 這里符號(hào) 讀作 無(wú)窮大 讀作 正無(wú)窮大 類似的地 我們記 一區(qū)間與鄰域 9 其中讀作 負(fù)無(wú)窮大 以上幾類數(shù)集都稱為無(wú)限區(qū)間 有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間 設(shè) 滿足絕對(duì)值不等式的全體實(shí)數(shù)的集合稱為點(diǎn)的鄰域 記作 或簡(jiǎn)單地寫作即有 點(diǎn)的空心鄰域定義為 或簡(jiǎn)單地記作 注意 與的差別在于 不包含點(diǎn) 此外 我們還常用到以下幾種鄰域 點(diǎn)的右鄰域簡(jiǎn)記為 點(diǎn)的左鄰域簡(jiǎn)記為 10 11 12 13