數(shù)列極限復(fù)習(xí)題.doc

數(shù)學(xué)分析（1，2，3）復(fù)習(xí)題第二章 極限與連續(xù)數(shù)列的極限與無窮大量一 數(shù)列極限的定義 寫出數(shù)列的定義 舉幾個(gè)數(shù)列的例子（1） （2） （3）2、什么是數(shù)列極限簡述為什么學(xué)習(xí)數(shù)列的極限 2.數(shù)列極限的定義寫出數(shù)列極限定義 表述沒有極限 。用定義來驗(yàn)證數(shù)列極限(1) 證明. (2) 證明.(3) 證明.(4) 證明.(5) 證明，其中. 敘述關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)(1) 關(guān)于： (2) 關(guān)于： (3) 數(shù)列極限的幾何理解： (4) 給出數(shù)列極限的等價(jià)定義（鄰域定義）： (5) 證明都是發(fā)散數(shù)列.二 無窮小數(shù)列給出無窮小數(shù)列的定義 證明數(shù)列收斂于的充要條件是為無窮小數(shù)列。三 證明收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1（保不等式性）設(shè)數(shù)列與均收斂，若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則。性質(zhì)2（保號性）若（或），則對任何（或），存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有（或）。性質(zhì)3（極限唯一性）若數(shù)列收斂，則它只有一個(gè)極限。性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列、都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則數(shù)列收斂，且.求：求數(shù)列的極限。性質(zhì)5（有界性）若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列。注：數(shù)列收斂則必有界，反之未必。試舉一例四 證明數(shù)列極限的運(yùn)算法則性質(zhì)（極限的四則運(yùn)算法則）若、為收斂數(shù)列，則也都收斂，且有;.若再做假設(shè)及，則數(shù)列也收斂，且有.使用極限的四則運(yùn)算法則:(1)求，其中.(2)求五 單調(diào)有界數(shù)列在研究比較復(fù)雜的極限問題時(shí)，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問題）。這是極限理論的兩基本問題。下面將重點(diǎn)討論極限的存在性問題。定義若數(shù)列的各項(xiàng)滿足不等式，則稱為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列例如：為遞減數(shù)列；為遞增數(shù)列。定理（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。(1) 設(shè)其中，證明數(shù)列收斂。(2) 證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：(3) 證明存在六 無窮大量的定義1.無窮大量的定義定義：2.無窮大量的定義幾何解釋：3. 證明是無窮大量4.給出正無窮大量和負(fù)無窮大量的定義七 無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算1、 無窮大量和無窮小量的關(guān)系證明：為無窮大量，當(dāng)且僅當(dāng)，為無窮小量，這里要求有意義。2、 無窮大量的一些運(yùn)算法則(1) 證明：正無窮大量的和仍是正無窮大量，負(fù)無窮大量的和仍是