Iir濾波器設(shè)計(jì).doc

電子信息工程專(zhuān)業(yè)課程設(shè)計(jì)題目：Iir濾波器設(shè)計(jì)班級(jí)：電信071姓名：袁晶學(xué)號(hào)：200709802摘 要摘 要：本論文首先介紹了濾波器的濾波原理以及模擬濾波器、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。重點(diǎn)介紹了IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。在此基礎(chǔ)上，用DSP虛擬實(shí)現(xiàn)任意階IIR數(shù)字濾波器。此設(shè)計(jì)擴(kuò)展性好，便于調(diào)節(jié)濾波器的性能，可以根據(jù)不同的要求在DSP上加以實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵字： DSP 濾波、IIR數(shù)字低通濾波器第1章 濾波器簡(jiǎn)介從廣義上講，任何對(duì)某些頻率（相對(duì)于其他頻率來(lái)說(shuō)）進(jìn)行修正的系統(tǒng)稱(chēng)為濾波器。嚴(yán)格地講，對(duì)輸入信號(hào)通過(guò)一定的處理得到輸出信號(hào)，這個(gè)處理通常是提取信號(hào)中某頻率范圍內(nèi)的信號(hào)成分，把這種處理的過(guò)程稱(chēng)為濾波。實(shí)現(xiàn)濾波處理的運(yùn)算電路或設(shè)備稱(chēng)為濾波器。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，廣泛應(yīng)用線性濾波和頻譜分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行加工處理，模擬濾波是處理連續(xù)信號(hào)，數(shù)字濾波則是處理離散信號(hào)，而后者是在前者的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。我們知道，無(wú)源或有源模擬濾波器是分立元件構(gòu)成的線性網(wǎng)絡(luò)，他們的性能可以用線性微分方程來(lái)描述，而數(shù)字濾波器是個(gè)離散線性系統(tǒng)，要用差分方程來(lái)描述，并以離散變換方法來(lái)分析。這些方程組可以用專(zhuān)用的或通用的數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，數(shù)字濾波器的濾波過(guò)程是一個(gè)計(jì)算過(guò)程，它將輸入信號(hào)的序列數(shù)字按照預(yù)定的要求轉(zhuǎn)換成輸出數(shù)列。1.1 濾波器的工作原理1.1.1 模擬濾波器的工作原理我們知道，模擬濾波器是對(duì)模擬信號(hào)實(shí)行線性濾波的一種線性時(shí)不變系統(tǒng)，如圖1.1所示。在時(shí)域內(nèi)，它的動(dòng)態(tài)特性可以用系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)來(lái)描述，也就是該濾波系統(tǒng)在任何時(shí)刻對(duì)輸入單位沖激信號(hào)=（t）的輸出響應(yīng)。這個(gè)函數(shù)從時(shí)域上反映了該濾波系統(tǒng)的傳輸特性。對(duì)于任意輸入信號(hào)，系統(tǒng)的輸出可以卷積表示： = (1.1)上式表明在對(duì)線性濾波器系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，采用了疊加原理，先將任意輸入信號(hào)波形分成不同時(shí)間的窄脈沖之和，再分別求出各個(gè)脈沖通過(guò)濾波器之后的響應(yīng)，并進(jìn)行線性疊加從而得到總的輸出信號(hào)。模擬濾波器,H(s)圖1.1模擬濾波器原理在頻域分析時(shí)，線性濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)等于系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)的拉普拉斯變換： （1.2）很明顯，當(dāng)s=j，上式就是傅立葉變換的表達(dá)式，它反映了濾波器的傳輸特性對(duì)各種頻率的響應(yīng)，也就是濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，它決定著濾波特性。當(dāng)濾波器輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的拉普拉斯變換，得 （1.3）這表明兩信號(hào)卷積的變換等于各自變換的乘積。在頻譜關(guān)系上，一個(gè)輸入信號(hào)的頻譜，經(jīng)過(guò)濾波器的作用后，被變換成的頻譜。因此，根據(jù)不同的濾波要求來(lái)選定，就可以得到不同類(lèi)型的模擬濾波器。還可以看出，濾波器的濾波過(guò)程就是完成信號(hào)與它的單位沖激函數(shù)響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)卷積運(yùn)算過(guò)程。1.1.2 數(shù)字濾波器的工作原理在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時(shí)間序列。如圖1.2所示。設(shè)輸入序列為，離散或數(shù)字濾波器對(duì)單位抽樣序列的響應(yīng)為。因在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖激函數(shù)在時(shí)域連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用。數(shù)字濾波器,H(z)圖1.2 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器的序列將是這兩個(gè)序列的離散卷積，即 （1.4） 同樣，兩個(gè)序列卷積的z變換等于個(gè)自z變換的乘積，即 （1.5）用代入上式，其中T為抽樣周期，則得到 （1.6）式中和 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而為單位抽樣序列響應(yīng)的頻譜。由此可見(jiàn)，輸入序列的頻譜經(jīng)過(guò)濾波后，變?yōu)?，按照的特點(diǎn)和我們處理信號(hào)的目的，選取適當(dāng)?shù)氖沟臑V波后的符合我們的要求。1.2 濾波器的基本特性1.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性如利用模擬電路直接對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行處理則構(gòu)成模擬濾波器，它是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。如果利用離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)數(shù)字信號(hào)（時(shí)間離散、幅度量化的信號(hào)）進(jìn)行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的差分方程表示為： 系統(tǒng)函數(shù)表示:數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述，包括幅度特性和相位特性。按信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)的特性（主要是幅頻特性）來(lái)分類(lèi)：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類(lèi)型。（1） 低通數(shù)字濾波器：圖1.3所示|H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf圖1.3 低通數(shù)字濾波器的頻譜（2） 高通數(shù)字濾波器：圖1.4所示|H(ej)|c-c-22圖1.4 高通數(shù)字濾波器的頻譜（3） 帶通數(shù)字濾波器：圖1.5所示|H(ej)|2-2-221-1圖1.5 帶通數(shù)字濾波器的頻譜（4）帶阻數(shù)字濾波器：圖1.6所示1|H(ej)|2-2-22-1 圖1.6 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜 其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合。1.2.2 無(wú)限沖擊響應(yīng)IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以分成無(wú)限沖擊響應(yīng) IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器兩類(lèi)。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實(shí)各種頻率特性要求，但它們?cè)谟?jì)算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。(1) FIR濾波器(非遞歸型):(2) IIR濾波器（遞歸型） 還有一些其他的分類(lèi)方法，例如在特定場(chǎng)合使用的濾波器。1.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏）；最大阻帶增益；通帶截止頻率；阻帶截止頻率。如圖1.7所示dB0dBdB圖1.7 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)第2章 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（Butterworth濾波器.切比雪夫（Chebyshev）濾波器等。這些工作的理論分析和設(shè)計(jì)方法在20世紀(jì)30年代就完成，然而煩瑣.冗長(zhǎng)的數(shù)字計(jì)算使它難以付諸實(shí)用。直到50年代，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的逐步成熟，求出大量設(shè)計(jì)參數(shù)和圖表，這種方法才得到廣泛應(yīng)用。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有波動(dòng)發(fā)，可以提高選擇性。這樣根據(jù)具體要求可以選擇不同類(lèi)型的濾波器。模擬濾波器按幅度特征可以分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅度特性如圖2.1所示，但我們?cè)O(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過(guò)頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類(lèi)型的濾波器帶通帶阻圖2.1 模擬濾波器理想幅度特性低通高通2.1 模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法利用頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器的步驟為：（1）給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率或上、下邊界頻率等。（2）確定濾波器階數(shù)（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。（4）按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有，和，其中和分別稱(chēng)為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。 是通帶（=0）中的最大衰減系數(shù)，是阻帶的最小衰減系數(shù)，和一般用dB表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成： （2.1） （2.2）如果=0處幅度已歸一化為一，即，和表示為 （2.3） （2.4）以上技術(shù)指標(biāo)用圖2.2表示，圖中稱(chēng)為3dB 截止頻率，因,-20 10.7070圖2.2 低通濾波器的幅度特性濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿(mǎn)足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此 = (2.5)如果能由，求出，那么就可以求出所需的，對(duì)于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達(dá)式，可以直接引用。這里要說(shuō)明的是必須是穩(wěn)定的。因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的的極點(diǎn)落在右半平面。2.2 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇2.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇巴特沃斯濾波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅頻特性模平方為 (2.6)式中N是濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，；當(dāng)=時(shí)，是3dB截止頻率。不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性如圖2.3所示，這一幅頻特性具有下列特點(diǎn)：（1）最大平坦性：可以證明：在=0點(diǎn)，它的前（2N-1）階導(dǎo)數(shù)都等于0，這表明巴特沃斯濾波器在=0附近一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點(diǎn)的最大平坦性來(lái)逼近理想低通濾波器?！白钇巾憫?yīng)”即由此而來(lái)。（2）通帶，阻帶下降的單調(diào)性。這種濾波器具有良好的相頻特性。（3）3dB的不變性：隨著N的增加，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅頻特性都通過(guò)-3dB點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，特性以20NdB/dec速度下降。圖2.3 不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性現(xiàn)根據(jù)式（2.6）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）。令=s/j，帶入式（2.6）對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)： (2.7)即為的極點(diǎn)，此極點(diǎn)分布有下列特點(diǎn)：(1)的2N個(gè)極點(diǎn)以/N為間隔均勻分布在半徑為的圓周上，這個(gè)圓稱(chēng)為巴特沃斯圓。(2)所有極點(diǎn)以j軸為對(duì)稱(chēng)軸成對(duì)稱(chēng)分布，j軸上沒(méi)有極點(diǎn)。(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在的實(shí)軸上；N為偶函數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒(méi)有極點(diǎn)。所有復(fù)數(shù)極點(diǎn)兩兩呈共軛對(duì)稱(chēng)分布。圖2.4畫(huà)出了N=3時(shí)的極點(diǎn)分布。全部零點(diǎn)位于s=處。j圖2.4 N=3時(shí)Ha（s）Ha（-s）極點(diǎn)分布為得到穩(wěn)定的，取全部左半平面的極點(diǎn)。 （2.8）當(dāng)N為偶數(shù)時(shí) （2.9）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí) （2.10）為使用方便把式（2.9）和式（2.10）對(duì)進(jìn)行歸一化處理，為此，分子分母各除以，并令，稱(chēng)為歸一化復(fù)頻率：（N為偶數(shù)） （2.11） （N為奇數(shù)）（2.12）用歸一化頻率表示的頻率特性稱(chēng)為原型濾波特性（即歸一化復(fù)頻率s 的虛部）。對(duì)式（2.6）所示的低通巴特沃斯特性用表示得到： （2.13）稱(chēng)為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率=1。若給出模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)要求：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋，阻帶衰減，要確定butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù)N及截止頻率。，的意義如圖所示。當(dāng)=時(shí)， 即，以截至頻率（幅值下降3dB）為1，化為相對(duì)為相對(duì)的相對(duì)頻率由上式可寫(xiě)為。同理，當(dāng)=時(shí)， 。由此可見(jiàn) N應(yīng)向上取整，再用MATLAB 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率。就是切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)，給定N，即可求的2N個(gè)極點(diǎn)分布。由式（2.22）實(shí)部與虛部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關(guān)系可以看出，此極點(diǎn)分布滿(mǎn)足橢圓方程，其短軸和長(zhǎng)軸分別為 （2.23）圖2.7畫(huà)出了N=3時(shí)切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布。abj 圖2.7極點(diǎn)所在的橢圓可以和半徑為a的圓和半徑為b的圓聯(lián)系起來(lái)，這兩個(gè)圓分別稱(chēng)為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。N階切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)等于N階巴特沃斯小圓極點(diǎn)的橫坐標(biāo)取左半平面的極點(diǎn)： k=1,2，N （2.24）則切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)： （2.25）其中，常數(shù)A=。因而切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為： （2.27）切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率不是像巴特沃斯濾波器中所規(guī)定的（-3dB）處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。若波紋參數(shù)滿(mǎn)足，可以求的-3dB處的角頻率為 （2.28）將式（2.27）表示的對(duì)歸一化，得到切比雪夫I型2.2.2低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) （2.29）對(duì)不同的N，式（2.29）的分母多項(xiàng)式已制成表格，供設(shè)計(jì)參考。和butterworth低通模擬濾波器設(shè)計(jì)一樣，若給定性能指標(biāo)要求：，確定Chebyshev低通模擬濾波器最小階數(shù)N和截止頻率（-3dB頻率）。2.2.2.1 Chbbyshev I型由式可得 故階數(shù)N可由下式求得 式中，截至頻率由上面兩式用Matlab 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率 2.2.2.2 Chbbyshev II型Chbbyshev II型通帶內(nèi)是平滑的，而阻帶具有等波紋起伏特性。因此，在階數(shù)N的計(jì)算公式上是相同的，而-3dB截止頻率則不同。2.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇橢圓的模擬低通濾波器圓形的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 式中，為小于1的正書(shū)，表示波紋情況；為截止頻率；）為橢圓函數(shù)，定義為當(dāng)N為偶數(shù)（N=2m）時(shí),當(dāng)N為奇數(shù)（N=2m+1）時(shí), 其中橢圓模擬濾波器特點(diǎn)是：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性。何以上濾波器相比，相同的性能指標(biāo)所需要的階數(shù)最小。但頻率響應(yīng)應(yīng)具有明顯的非線性。由式濾波器的階數(shù)可由下式確定， ， 式中 由上式計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率。2.2.4貝塞爾濾波器貝塞爾模擬低通濾波器原型的特點(diǎn)是在零頻時(shí)具有最平坦的群延遲，并在整個(gè)通帶內(nèi)延遲幾乎不變。在零頻時(shí)的群延遲為。由于這一特點(diǎn)，貝塞爾模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號(hào)形狀不變。濾波器傳遞漢書(shū)具有下面形式第3章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR濾波器是一種數(shù)字濾波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如式 （3.1）由于它的脈沖響應(yīng)序列是無(wú)限長(zhǎng)的，故稱(chēng)無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器。IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)濾波器某些性能指標(biāo)要求，設(shè)計(jì)濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。它和FIR濾波器相比優(yōu)點(diǎn)是在滿(mǎn)足相同性能指標(biāo)要求條件下，IIR濾波器的階數(shù)要明顯低于FIR濾波器。但I(xiàn)IR濾波器的相位是非線性的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法可分為三種：模擬濾波器變換（經(jīng)典設(shè)計(jì)法）、直接設(shè)計(jì)法、參數(shù)模型設(shè)計(jì)法、最大平滑濾波器設(shè)計(jì)。3.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì) 基于模擬濾波器變換原理，首先是根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器變換成滿(mǎn)足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這就是IIR濾波器設(shè)計(jì)的經(jīng)典法。經(jīng)典法可設(shè)計(jì)出低通、高通、帶通、帶阻等各種IIR濾波器。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器采用下面的主要步驟：模擬低通濾波原型頻率變換模擬離散化IIR濾波器由上可見(jiàn)，經(jīng)典設(shè)計(jì)法是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果。第二步完成后，一個(gè)達(dá)到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)工作就全部完成。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的方法。設(shè)計(jì)過(guò)程是：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。這樣設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題就是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將s平面上的轉(zhuǎn)換成z平面上的H(z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿(mǎn)足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其傳輸函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果則要求H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)部。 （2）數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率至間成線性關(guān)系。 將傳輸函數(shù)從s平面?zhèn)鲹Q到z平面的方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。我們先研究脈沖響應(yīng)不變法。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=LTLT.代表拉氏變換，對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén)，得到，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，它是h(n)在采樣點(diǎn)上等于。 設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示： （3.2）式中為的單階極點(diǎn)。將逆拉氏變換得到： （3.3）式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén),得到： （3.4） 對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： (3.5) 對(duì)比3.2、3.5式，的極點(diǎn)映射到z平面，其極點(diǎn)變成，系數(shù)不變化。下面我們分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里我們以采樣信號(hào)作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的采樣信號(hào)用表示， （3.6）對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到： （3.7）式中是在采樣點(diǎn)t=n T時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： （3.8） 我們知道模擬信號(hào)的傅立葉變換和其采樣信號(hào)的傅立葉變換和其采樣信號(hào)的傅立葉變換之間的關(guān)系滿(mǎn)足式： （3.9）將代入上式，得 （3.10）由 （3.8）、（3.10）式得到： （3.11）上式表明將模擬信號(hào)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延遲后，再按照（3.8）式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H（z）。（3.8）式可稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè) 按照（3.8）式，得到：因此得到： （3.12）那么 上式關(guān)系式說(shuō)明，s平面的虛軸（）映射z平面的單位圓（），s平面左平面（）映射z平面單位內(nèi)（），s平面右半平面映射平面單位圓外（）。這說(shuō)明如果因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到（）仍是因果穩(wěn)定的。另外，注意到z=是一個(gè)周期函數(shù)，可寫(xiě)成M為任意整數(shù)當(dāng)不變，模擬頻率變化2/T的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變?；蛘哒f(shuō)，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)z平面。此時(shí)所在的s平面與所在的z平面的映射關(guān)系如圖所示。當(dāng)模擬頻率從變化到時(shí)，數(shù)字頻率則從變化到，且按照（3.12）式，即與之間成線性關(guān)系。但是，從模擬信號(hào)到采樣信號(hào)，其拉氏變換要按照式。其為周期，沿虛軸方向進(jìn)行周期化。如果原模擬信號(hào)得頻帶不是限于之間，則會(huì)在得奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到平面上，在附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖相應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖所示。這種會(huì)使設(shè)計(jì)出的濾波器在附近的頻率特性，程度不同地偏離模擬濾波在附近的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使濾波器不滿(mǎn)足給定的技術(shù)指標(biāo)。因此，希望設(shè)計(jì)的濾波器使帶限濾波器，如果不是帶限的，例如高通濾波器，帶阻濾波器，需要在高通帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率以上的頻帶，以避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會(huì)增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計(jì)。假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，即滿(mǎn)足將關(guān)系式代入，得到：說(shuō)明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。上式中，的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當(dāng)T較小時(shí)，就會(huì)有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令那么,此時(shí)一般的極點(diǎn)是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在式中講一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)（只有實(shí)數(shù)乘法）的形式為如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式為利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha（s），s=j，經(jīng)過(guò)非線性頻率壓縮后用Ha（s1），=j1表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： （3.13）式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從-/T經(jīng)過(guò)0變化到/T時(shí)，則由-經(jīng)過(guò)0變化到+，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有 （3.14）再通過(guò) 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到： （3.15） （3.16）式（3.15）或式（3.16）稱(chēng)為雙線性變換。從s平面映射到平面，再?gòu)钠矫嬗成涞絲平面，其映射情況如圖3.1所示。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系 ，平面的 /T之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，Ha（s）因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H（z）也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。令 ，并代入（3.15）式中，有 （3.17）ImRez平面js平面j11s1平面/T-/T圖3.1 雙線性變換法的映射關(guān)系上式說(shuō)明，s平面上與平面上的成非線性正切關(guān)系，如圖3.2所示。在=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)增加是，增加得愈來(lái)愈快；當(dāng)趨近時(shí)，趨近于。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。-0圖3.2 雙線性變換法的頻率變換與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖3.3所示。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是：如果的刻度是均勻的，則影射到z平面的刻度不是均勻的，而是隨增加愈來(lái)愈密。000000圖3.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡(jiǎn)單的代數(shù)公式（3.15）將Ha（s）直接轉(zhuǎn)換成H（z），這是該變換法的優(yōu)點(diǎn)。但當(dāng)階數(shù)稍高時(shí)，將H（z）整理成需要的形式，也不是一件簡(jiǎn)單的工作。3.3 IIR濾波器直接設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的經(jīng)典設(shè)計(jì)法只限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，而對(duì)于具有形狀或多頻帶濾波器的設(shè)計(jì)是無(wú)能為力的。 如果所設(shè)計(jì)IIR濾波器幅頻特性比較復(fù)雜，可采用最小二乘法擬合給定的幅頻響應(yīng)，使設(shè)計(jì)的濾波器幅頻特性逼近期望的頻率特性，這種方法稱(chēng)為IIR濾波器的直接設(shè)計(jì)法。 MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)YULEWALK采用直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。函數(shù)YULEWALK采取下面步驟計(jì)算分子多項(xiàng)式：（1） 計(jì)算與分子多項(xiàng)式相應(yīng)的幅值平方響應(yīng)的輔助式；（2） 由輔助分子式和分母多項(xiàng)式計(jì)算完全的頻率響應(yīng)；（3） 計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)；（4） 采用最小二乘法擬合脈沖響應(yīng)最終求得濾波器的分子多項(xiàng)式系數(shù)。 函數(shù)YULEWALK允許我們自由定義濾波器的頻率向量f和幅值向量m，因此該函數(shù)可設(shè)計(jì)具有任意形狀的幅頻響應(yīng)的濾波器，包括多頻帶濾器。3.4 IIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通及帶阻IIR濾波器設(shè)計(jì)除了低通數(shù)字濾波器之外，實(shí)際中還常常需要高通、帶通及帶阻數(shù)字濾波器，這三種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：步驟1：將數(shù)字濾波器H(z)的技術(shù)指標(biāo)p和s，通過(guò)tan(/2)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器G(s)的技術(shù)指標(biāo)p和s，作歸一化處理后，得到p1，ss/p；步驟2：化解為模擬原型濾波器G(s)的技術(shù)指標(biāo)；步驟3：設(shè)計(jì)模擬原型濾波器G(p)；步驟4：將G(p)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)G(s)；步驟5：將G(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)，s=(z1)(z+1)。所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。本節(jié)主要討論通過(guò)IIR數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)法和IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器其轉(zhuǎn)換方法主要有3種：一是直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器；二是先由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器；三是將模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，再通過(guò)變量代換變換成高通、帶通或帶阻濾波器。以先由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器為例首先由頻率變換將模擬低通原型濾波器變換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后根據(jù)雙線性Z變換將模擬高通濾波器變換成相應(yīng)的高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器。其模擬低通原型濾波器變換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器的關(guān)系式如表4-1所示。模擬低通原型濾波器變換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器頻率變換模擬濾波器類(lèi)型頻率變換公式高通帶通帶阻將模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，再通過(guò)變量代換變換成高通、帶通 或帶阻濾波器該方法中的模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，可以利用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法來(lái)實(shí)現(xiàn)，再通過(guò)變量代換變換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)帶通橢圓濾波器使其幅頻特性逼近于一個(gè)具有如下技術(shù)指標(biāo)的模擬帶通濾波器：Wp1=10Hz,Wp2=20Hz,在通帶內(nèi)的最大衰減為0.5dB,在阻帶內(nèi)的最大衰減為50dB，抽樣頻率為100Hz。MATLAB實(shí)現(xiàn)，該數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如圖所示。wp1=10;wp2=20;Fs=100;rp=0.5;rs=50;wp1=2*pi*wp1;wp2=2*pi*wp2;Bw=wp2-wp1;Wo=sqrt(wp2*wp1);z,p,k=ellipap(7,rp,rs);A,B,C,D=zp2ss(z,p,k);At,Bt,Ct,Dt=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);At1,Bt1,Ct1,Dt1=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs);num,den=ss2tf(At1,Bt1,Ct1,Dt1);H,W=freqz(num,den);plot(W*Fs/(2*pi),abs(H);grid;xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅值);圖4-6 橢圓濾波器的頻率響應(yīng)窗體底端使用雙線性Z變換法設(shè)計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器，給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)為fp100Hz，fs=300Hz，p=3dB，p=20dB，抽樣頻率為Fs=1000Hz。實(shí)現(xiàn)例4-2的MATLAB程序如例程4-2所示，程序的運(yùn)行結(jié)果如圖4-2所示基于雙線性Z變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器：fp=100;fs=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;%wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Fs=Fs/Fs;%Firstly to finish frequency prewarping;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,s)%Note:s!z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k)bs,as=lp2lp(bp,ap,wap)%Note:s=(2/Ts)(z-1)(z+1);Ts=1,that is 2fs=1,fs=0.5;bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2)h,w=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h);grid on。IIR濾波器的DSP實(shí)現(xiàn).在用定點(diǎn)DSP器件設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一個(gè)重要的問(wèn)題就是由于硬件字長(zhǎng)精度有限，運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)溢出。IIR濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，所用的存儲(chǔ)單元少、運(yùn)算次數(shù)少，具經(jīng)濟(jì)、高效的特點(diǎn)。在相位要求不敏感的場(chǎng)合，如語(yǔ)音通信等，很適合用IIR濾波器。 簡(jiǎn)述CCS環(huán)境 CCS，即Code Composer Studio，是TI公司在1999年推出的一個(gè)開(kāi)放、具有強(qiáng)大集成開(kāi)發(fā)環(huán)境。它最初是由GO DSP公司為T(mén)I的C6000系列DSP開(kāi)發(fā)的。在TI收購(gòu)了GO DSP后，將CCS擴(kuò)展到了其它系列。現(xiàn)在所有TI的DSP都可以使用CCS進(jìn)行開(kāi)發(fā)，但是其中的DSPBIOS功能只有C5000和C6000的CCS中才提供。 以前的DSP軟件開(kāi)發(fā)都是在一個(gè)分散的開(kāi)發(fā)環(huán)境下進(jìn)行，程序的編寫(xiě)、代碼的生成以及調(diào)試等都是要通過(guò)命令來(lái)完成，類(lèi)似于以前的DOS，十分煩雜。而CCS的出現(xiàn)是DSP開(kāi)發(fā)軟件的一次革命性的變化。CCS主要由代碼生成工具、CCS集成開(kāi)發(fā)環(huán)境、DSPBIOS和API函數(shù)以及RTDX組成。 CCS主要特點(diǎn)集成可視化代碼編輯界面，可以方便地直接編寫(xiě)C、匯編、.h文件、.cmd文件等。集成代碼生成工具，包括匯編器、優(yōu)化的C編譯器和連接器等。具有完整的基本調(diào)試工具，可以載入執(zhí)行文件(.out)，查看寄存器窗口、存儲(chǔ)器窗口和變量窗口、反匯編窗口等，支持在C源代碼級(jí)進(jìn)行調(diào)試。支持多片DSP聯(lián)合調(diào)試。斷點(diǎn)工具，支持硬件斷點(diǎn)、數(shù)據(jù)空間讀/寫(xiě)斷點(diǎn)、條件斷點(diǎn)等。探針工具，用于進(jìn)行算法仿真，數(shù)據(jù)監(jiān)視等。剖析工具，用于評(píng)估代碼執(zhí)行的時(shí)間。數(shù)據(jù)圖形顯示工具，可繪制時(shí)域/頻域波形、眼圖、星座圖等，并可以自動(dòng)刷新。提供GEI工具，用戶(hù)可以根據(jù)需要編寫(xiě)自己的控制面板/菜單，從而方便直觀地修改變量，配置參數(shù)。DSP/BIOS和API函數(shù)以及RTDX插件DSP/BIOS(Basic Input Output System)和API(Application Program Interface)函數(shù)為CCS的主要插件之一。DSPBIOS可以看作是一個(gè)準(zhǔn)實(shí)時(shí)操作系統(tǒng)，支持TI DSP芯片的各種實(shí)時(shí)操作系統(tǒng)都是以DSP/BIOS作為底層軟件，為嵌入式應(yīng)用提供基本的運(yùn)行服務(wù)。并且，它還能實(shí)時(shí)獲取目標(biāo)機(jī)的信息，并將其傳遞給主機(jī)上的BIOSCOPE工具，對(duì)應(yīng)用程序進(jìn)行實(shí)時(shí)分析RTDX (Real Time Data Exchange)插件是CCS中另一個(gè)十分重要的插件。實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)交換技術(shù)為CCS提供了一個(gè)實(shí)時(shí)、連續(xù)的可視環(huán)境，開(kāi)發(fā)人員可以看到DSP應(yīng)用程序工作的真實(shí)過(guò)程。RTDX允許系統(tǒng)開(kāi)發(fā)者在不停止運(yùn)行目標(biāo)應(yīng)用程序的情況下在計(jì)算機(jī)和DSP芯片之間傳輸數(shù)據(jù)，同時(shí)還可以在主機(jī)上利用對(duì)象鏈接嵌入(OLE)技術(shù)分析和觀察數(shù)據(jù)。RTDX可以在DSPBIOS中使用，也可以脫離DSP/BIOS使用。由于CCS中的Simulator不支持RTDX，所以必須在連接有硬件仿真器或目標(biāo)板的Emulator下使用。 CCS配置 擊桌面圖標(biāo)的“setup CCStudio v3.1”圖標(biāo)，運(yùn)行CCS設(shè)置程序，如圖所示：點(diǎn)擊AddSave&quit完成設(shè)置。用標(biāo)準(zhǔn)配置文件設(shè)置系統(tǒng)配置 CCS環(huán)境中工程文件的使用 建立工程文件在CCS集成環(huán)境下開(kāi)發(fā)匯編程序或者C/C+程序，首先要建立一個(gè)工程項(xiàng)目文件（*.pjt），再向工程項(xiàng)目文件中添加匯編程序源文件（*.asm），C/C+源文件（*.c）和鏈接命令文件（*.cmd），并設(shè)置工程項(xiàng)目選項(xiàng)。使用CCS開(kāi)發(fā)應(yīng)用程序的一般步驟如下：創(chuàng)建或打開(kāi)一個(gè)工程項(xiàng)目文件（*.pjt），編輯各類(lèi)文件，可以使用CCS提供的集成編輯環(huán)境，對(duì)鏈接命令文件和源程序進(jìn)行編輯。對(duì)工程項(xiàng)目進(jìn)行編譯。在編譯過(guò)程中如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，將在編譯鏈接信息視窗（build）窗口中顯示錯(cuò)誤信息，用戶(hù)可以根據(jù)顯示的信息找到錯(cuò)誤的位置，更改錯(cuò)誤。對(duì)結(jié)果和數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和算法評(píng)估。用戶(hù)可以利用CCS提供的探測(cè)點(diǎn).圖形顯示和性能評(píng)價(jià)等工具，對(duì)運(yùn)行結(jié)果及輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，評(píng)估算法的可能性。 下面分別進(jìn)行介紹建立工程文件，單擊ProjectNew命令，系統(tǒng)將彈出如圖所示的對(duì)話框，在該對(duì)話框中輸入項(xiàng)目文件名，如iir單擊“完成”系統(tǒng)就會(huì)創(chuàng)建一個(gè)名為iir.pjt的工程項(xiàng)目文件。創(chuàng)建新文件選擇FileNew可打開(kāi)一個(gè)新的編輯窗口。在新窗口中輸入源代碼。選擇FileSave，在出現(xiàn)的對(duì)話框中輸入一個(gè)文件名，并選擇一個(gè)擴(kuò)展名（C源代碼選擇*.c，匯編源代碼選擇*.asm），然后單擊保存將源程序保存。 向工程項(xiàng)目中添加文件添加文件：?jiǎn)螕鬚rojectAdd File to Project命令然后會(huì)彈出如圖所示的對(duì)話框，單擊打開(kāi)完成對(duì)文件的添加。向工程項(xiàng)目中添加文件對(duì)話框 編譯鏈接和運(yùn)行目標(biāo)文件 對(duì)程序進(jìn)行編譯鏈接對(duì)程序進(jìn)行編譯：執(zhí)行ProjectCompile命令就可以對(duì)當(dāng)前的匯編程序進(jìn)行編譯生成.obj文件。如果程序存在語(yǔ)法錯(cuò)誤，那么就會(huì)在下面的編譯鏈接信息框中顯示錯(cuò)誤信息。根據(jù)錯(cuò)誤提示，讀者可對(duì)程序進(jìn)行修改2。對(duì)程序進(jìn)行編譯鏈接執(zhí)行ProjectBuild命令，就可以對(duì)當(dāng)前的項(xiàng)目文件同時(shí)進(jìn)行編譯，匯編和鏈接操作，并生成與工程項(xiàng)目名稱(chēng)相同的可執(zhí)行的.out文件。如果有錯(cuò)誤信息，則會(huì)在“編譯鏈接”信息框中顯示。也可以執(zhí)行Project下的build All命令，所有項(xiàng)目中的文件重新編譯，匯編和鏈接，生成.out文件。 裝載.out文件單擊主菜單“File”中“Load Program”選項(xiàng)，在對(duì)話框中，在CCS安裝目錄下，找到構(gòu)建該工程的Debug目錄，選擇構(gòu)建生成后的.out文件，并打開(kāi)CCS裝載完畢后，該“*.out”文件到目標(biāo)dsp之后，會(huì)自動(dòng)彈出“Disassembly”窗口如圖所示。CCS調(diào)試程序時(shí)出現(xiàn)的視窗加工程界面代碼如下：extern void InitC5402(void);extern void OpenMcBSP(void);extern void CloseMcBSP(void);extern void READAD50(void);extern void WRITEAD50(void);/* Main Function Program*/ #include stdio.h #include math.h #def